數(shù)學(xué)物理方法總結(jié)(改)

數(shù)學(xué)物理方法總結(jié)復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)式:z=x+iy復(fù)數(shù)的三角式和指數(shù)式:和歐拉公式:{柯西-黎曼方程(或稱為柯西-黎曼條件):{(其中f(z)=u+iv)函數(shù)f(z)=u+iv在點及其領(lǐng)域上處處可導(dǎo),則稱f(z)在點解析.在區(qū)域B上每一點都解析,則稱f(z)是在區(qū)域B上的解析函數(shù).解析函數(shù)的性質(zhì):1.若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析,則(為常數(shù))是B上的兩組正交曲線族.2.若函數(shù)在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調(diào)和函數(shù),即例題:已知某解析函數(shù)f(z)的實部,求虛部和這個解析函數(shù).解答:由于=2;=-2;則曲線積分法=2x;=-2y.根據(jù)C-R條件有:=2y;=2x.于是;湊全微分顯式法由上式可知則易得則顯然不定積分法上面已有=2y;=2x則第一式對y積分,x視為參數(shù),有.上式對x求導(dǎo)有,而由C-R條件可知,從而.故v=2xy+C.復(fù)變函數(shù)的積分單連通區(qū)域柯西定理如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域上解析,則沿上任意一分段光滑閉合閉合曲線l(也可以是的邊界),有.復(fù)連通區(qū)域柯西定理如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù),則.式中l(wèi)為區(qū)域外邊界線,諸為區(qū)域內(nèi)邊界線,積分均沿邊界線的正方向進(jìn)行.即.柯西公式n次求導(dǎo)后的柯西公式冪級數(shù)展開冪級數(shù)其中,,,,……都是復(fù)常數(shù).比值判別法(達(dá)朗貝爾判別法)1.若有則收斂,絕對收斂.若極限存在,則可引入記號R,,于是,若,則絕對收斂.2.若,則后項與前項的模之比的極限,即說明發(fā)散.例題:求冪級數(shù)的收斂圓,z為復(fù)變數(shù).解答:由題意可得故().泰勒級數(shù)展開設(shè)f(z)在以為圓心的圓內(nèi)解析,則對圓內(nèi)的任意z點,f(z)可展為冪級數(shù),,其中,為圓內(nèi)包含z且與同心的圓.例題:在的領(lǐng)域上將展開解答:函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),而.則在的領(lǐng)域上的泰勒展開.雙邊冪級數(shù)洛朗級數(shù)展開設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析,則對環(huán)域上的任一點z,f(z)可展為冪級數(shù).其中,積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線.例題1:在的環(huán)域上將展為洛朗級數(shù).解答:例題2:在的領(lǐng)域上將展為洛朗級數(shù).解答:由題意得則有z-1的-1次項,而()故.留數(shù)定理留數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點,,……,解析,在閉區(qū)域上除,,……,外連續(xù),則.其中,.推論1:單極點的留數(shù)為.推論2:若f(z)可以表示為P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在點解析,是Q(z)的一階零點().,則.上式最后一步應(yīng)用了羅畢達(dá)法則.留數(shù)定理的應(yīng)用類型一.作自變量代換.則式子變?yōu)?例題:計算.解答:,Z的單極點為.則,由于不在圓內(nèi).故.類型二.積分區(qū)間是;復(fù)變函數(shù)f(z)在實軸上沒有奇點,在上半平面除了有限個奇點外是解析的;當(dāng)z在上半平面及實軸上時,zf(z)一致地.則式子可以變?yōu)閧f(z)在上半平面所有奇點的留數(shù)之和}.例題:計算.解答:的單極點為.,故.類型三,,積分區(qū)間是;偶函數(shù)F(x)和奇函數(shù)G(x)在實軸上沒有奇點,在上半平面除了有限個奇點外是解析的;當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上,F(z)及G(z)一致地.則式子可以變?yōu)?.若類型二,類型三的實軸上有有限個奇點,則有.其中,在類型三中f(x)應(yīng)理解為或.Fourier變換傅里葉級數(shù)周期為2l的函數(shù)f(x)可以展開為級數(shù).其中,{,={.注:積分上下限只要滿足上-下=2l即可.復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)其中.傅里葉積分傅里葉變換式{復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分{傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)定理F[f’(x)]=iwF(w)積分定理F[]=相似性定理F[f(ax)]=延遲定理F[]=位移定理F[]=卷積定理若F[]=,F[]=,則F[*]=.其中稱為和的卷積.函數(shù){.{.函數(shù)的一些性質(zhì)1.是偶函數(shù).2.{.3..Laplace變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換的一些性質(zhì)線性定理若,,則.導(dǎo)數(shù)定理.積分定理L[].相似性定理.位移定理.延遲定理.卷積定理若,,則,其中稱為和的卷積.數(shù)學(xué)物理定解問題(1)均勻弦的微小振動,均勻桿的縱振動,傳輸線方程,均勻薄膜的微小橫振動,流體力學(xué)與聲學(xué)方程,電磁波方程的形式為或或.(2)擴散方程,熱傳導(dǎo)方程的形式為或.(3)穩(wěn)定濃度分布,穩(wěn)定溫度分布,靜電場,穩(wěn)定電流場方程的形式為(拉普拉斯方程).(4)以上方程中意為,意為.若以上各方程均為有源,則方程為各方程=f(x,y,z,t).定解條件初始條件初始”位移”,初始”速度”.邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件銜接條件.(T為張力)達(dá)朗貝爾公式定界問題達(dá)朗貝爾公式.其中,.分離變數(shù)法泛定方程(若該方程可以使用分離變量法,則可以化成).在不同的邊界條件下解不同.邊界條件{,X(x)的解為{其中n=1,2,3……{,X(x)的解為{其中k=0,1,2……{,X(x)的解為{其中k=0,1,2……{,X(x)的解為{其中n=0,1,2……T(t)的方程在有n且n=0時的解為;在時的解為;在有k的情況下為.初始條件將u(x,t)=T(t)X(x)帶入初始條件,確定u(x,t)中的常數(shù)項.歐拉型常微分方程.解法為做代換.二階常微分方程級數(shù)解法本征值問題拉普拉斯方程球坐標(biāo)系下.分解為其解為.和(球方程,)球方程又可以分離為其中有,其方程解為{其中m=0,1,2……和(連帶勒讓德方程).柱坐標(biāo)系下.分解為其中有,其方程解為{其中m=0,1,2……和和.當(dāng)時,Z=C+Dz,{;當(dāng)時,,方程R轉(zhuǎn)換為(,m階貝塞爾方程).當(dāng)時,,方程R轉(zhuǎn)換為(,m階虛宗量貝塞爾方程).亥姆霍茲方程.在的領(lǐng)域上l階勒讓德方程的解為其中球函數(shù)高次項的系數(shù)(在乘以適當(dāng)?shù)某?shù)之后),用遞推公式改寫后為,則.則勒讓德多項式為.={.……勒讓德多項式是正交的例題1:以勒讓德多項式為基,在區(qū)間[-