【中學(xué)最值問題常用解題方法分析7900字（論文）】

中學(xué)最值問題常用解題方法研究摘要在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，最值問題占有重要的地位，而最值問題涉及范圍廣，這導(dǎo)致最值問題內(nèi)容分散，解法多變，要解決最值問題要具有較強(qiáng)的綜合能力，這給中學(xué)教學(xué)帶來了很大的挑戰(zhàn)，許多中學(xué)生對(duì)最值問題認(rèn)識(shí)不夠全面，導(dǎo)致在解決最值問題時(shí)不能靈活地運(yùn)用解題方法解決最值問題造成嚴(yán)重失分，因此，系統(tǒng)地研究最值問題的解法，總結(jié)出各類最值問題對(duì)應(yīng)的解法，為學(xué)生解決此類問題提供幫助，同時(shí)本文也從教師以解決-問題為例設(shè)計(jì)了相關(guān)教案，給一線老師作為教學(xué)參考。本文的主要內(nèi)容大致可分為三個(gè)部分，第一，通過查閱和分析相關(guān)文獻(xiàn)資料梳理了研究背景以及研究意義；第二，筆者根據(jù)自身的學(xué)習(xí)研究確定了最值問題的主要類型和相應(yīng)解法，并通過具體例題給出詳細(xì)的解題方法；第三提出教學(xué)設(shè)計(jì)策略。關(guān)鍵詞：最值問題；中學(xué)數(shù)學(xué)；解題方法；教學(xué)設(shè)計(jì)目錄TOC\o"1-3"\h\u231791緒論 1222641.1研究的背景 132191.2研究意義和價(jià)值 1154361.2.1研究意義 120401.2.2研究價(jià)值 1284482中學(xué)最值問題的常見解題方法 228382.1中學(xué)教學(xué)中的最值問題 2294642.2常見解題方法 2140332.2.1定義法 2107742.2.2配方法 3163652.2.3判別式法 5283242.2.4換元法 651752.2.5數(shù)形結(jié)合法 8181853.2.6導(dǎo)數(shù)法 10230063中學(xué)階段最值相關(guān)的教學(xué)策略 1376033.1概念課 1388753.1.1以生為本，注重概念構(gòu)建過程 1346193.1.2概念課教學(xué)案例 13148513.2習(xí)題課 14197123.2.1針對(duì)重點(diǎn)，注重思維 14275983.2.2習(xí)題課教學(xué)案例 15242603.3復(fù)習(xí)課 16214313.3.1系統(tǒng)整理，設(shè)疑激趣 1660293.3.2復(fù)習(xí)課教學(xué)案例 16326184結(jié)論 187011參考文獻(xiàn) 191緒論1.1研究的背景最值問題在整個(gè)中學(xué)階段的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的頻率較高，這部分內(nèi)容對(duì)中學(xué)階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要意義，在《2017年版普通稿中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要求學(xué)生理解函數(shù)圖象的意義和變化情況，并且會(huì)用圖像和符號(hào)語言來描繪函數(shù)的最值，準(zhǔn)確理解最值的具體含義，并要求會(huì)求解初等函數(shù)的最值。結(jié)合實(shí)際的例子，能運(yùn)用中學(xué)階段所學(xué)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)如基本不等式、函數(shù)、線性規(guī)劃等知識(shí)來求解最值問題。且最值問題在中學(xué)階段重要考試中出現(xiàn)頻率較高，因此，我們可以知道最值問題對(duì)于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來說很重要。另外最值問題有較強(qiáng)的時(shí)用性，除了在數(shù)學(xué)中，最值問題還經(jīng)常應(yīng)用于物理、化學(xué)等一些自然學(xué)科中。1.2研究意義和價(jià)值1.2.1研究意義最值問題考察到的知識(shí)范圍廣且分散杜較高，解一道最值問題，常常會(huì)用多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且對(duì)學(xué)生思維能力的要求很高；題型多變，最值問題出現(xiàn)的形式多種多樣，可能出現(xiàn)在基礎(chǔ)題當(dāng)中，中檔題和綜合性的題中也很常見，甚至是以難題的形式。要求學(xué)生要熟悉各種數(shù)學(xué)思想，和數(shù)學(xué)中各部分的知識(shí)，除此之外還要培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)綜合能力。很多時(shí)候?qū)W生在面對(duì)此類問題時(shí)往往不能找到正確切入口，從而導(dǎo)致面對(duì)最值問題時(shí)大量失分，對(duì)于老師而言因?yàn)樯婕爸R(shí)面較廣，很難系統(tǒng)地給學(xué)生講解清楚各種類型的解法，遇到此類問題時(shí)老師備課上課較為困難。對(duì)于本論文筆者對(duì)常見的最值問題做了系統(tǒng)地分類并總結(jié)了相應(yīng)的解法，期望給教師提供教學(xué)參考，給學(xué)生解決相關(guān)問題時(shí)提供解題方法。1.2.2研究價(jià)值對(duì)教師而言，教師可以參考本論文的一些解題方法，解題思路以及一些例題，在課堂上給學(xué)生歸納總結(jié)出最值問題的解法和思考的切入點(diǎn)；對(duì)學(xué)生而言，學(xué)生根據(jù)本文的一些解題的技巧，思考方向等增強(qiáng)自己的解題能力，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)自己面對(duì)較難的問題時(shí)探究問題和解決問題的能力，并為以后進(jìn)入大學(xué)，學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)做好交充分的準(zhǔn)備，從這些方面不難看出本文的研究很有必要。2中學(xué)最值問題的常見解題方法2.1中學(xué)教學(xué)中的最值問題經(jīng)過本人對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究發(fā)現(xiàn)，在中學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的最值問題的主要類型是所謂的：1.（單元）函數(shù)的最值計(jì)算問題，如：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等的最值計(jì)算問題；2.多元函數(shù)的最值計(jì)算問題；3.數(shù)列中的最值問題；4.立體幾何中的最值問題；5.解析幾何中的最值問題；6最值問題與不等式；7.其他各種類型的最值問題,，這些最值問題都是和各個(gè)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)接合起來考察的，并且有些題甚至把本來不相關(guān)地兩部分知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來。2.2常見解題方法2.2.1定義法在函數(shù)的基本性質(zhì)中根據(jù)函數(shù)的圖像和函數(shù)的單調(diào)性得出最值得定義為“設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若滿足:（1）對(duì)于都有；（2）使得，則稱實(shí)數(shù)是函數(shù)的最大值(maximumvalue)同樣地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若滿足:（1）對(duì)于都有；（2）使得，則稱實(shí)數(shù)是函數(shù)的最小值(minimumvalue)”。雖然最值得定義看起來很不起眼，但是內(nèi)涵豐富，可千萬不容小瞧，很多看起來很復(fù)雜的的題，從基本定義出發(fā)往往有意想不到的效果。此類方法一般用于解決函數(shù)問題中出現(xiàn)的最值問題。例1求函數(shù)的最小值。分析：為上的分段函數(shù)，故可以寫出此函數(shù)對(duì)應(yīng)的解析式，然后可以得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出此函數(shù)最小值；但是根據(jù)對(duì)這道題的觀察，充分利用其獨(dú)有的特點(diǎn)，這道題可以直接利用最小值的定義來求解，解題過程更為簡潔。解：由絕對(duì)值不等式得：，又因?yàn)?，結(jié)合最小值的定義知.例2設(shè)為定義在，和求證：.分析：對(duì)于奇函數(shù)，我們一直把其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的這個(gè)特點(diǎn)掛在嘴邊，所以這道題要我們論證的問題時(shí)顯然成立的，但是現(xiàn)在真的要求我們寫出具體的論證過程，好像有點(diǎn)無從下手，這時(shí)候我們應(yīng)該學(xué)會(huì)“返璞歸真”，利用最原始的定義來解決這道題。證明：因在上的最大值為，故有：都有且使得,則可得必為在上的最小值，因?yàn)橛羞@兩條成立則有：，有,則,所以;由知使得,于是.例3已知,關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)根求的最小值。分析：分析：這道例題是2012年湖南高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題，當(dāng)時(shí)這道題給的參考答案過程很復(fù)雜，在程漢波的《“變換主元，柳暗花明”一一簡解一道競(jìng)賽題引發(fā)的思考》中用變換主元和數(shù)形結(jié)合的方法給出了一個(gè)更為簡潔直觀的解答。解：設(shè)為方程的實(shí)根，則有,變形得：則，經(jīng)檢驗(yàn)可取得等號(hào)，故的最小值為8.評(píng)注：用定義法求最值時(shí)首先要掌握最值的定義和含義，在遇到復(fù)雜的問題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。2.2.2配方法配方法來源于二次函數(shù)，是用來解決二次函數(shù)問題的常見方法，配方法的意思就是把非完全平方二次函數(shù)配成完全平方的形式所以解題時(shí)先觀察題型，如果遇到二次函數(shù)或能夠轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型，解題時(shí)可以優(yōu)先考慮利用配方法來求解。在解題的過程當(dāng)中還需特別注意函數(shù)的定義域。例4設(shè)為實(shí)數(shù)，求函數(shù)得最小值。分析：根據(jù)給出的函數(shù)解析式一發(fā)現(xiàn)，可以將方程的解析式化為完全平方相加的形式。解：由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)，取得最小值-6.例5設(shè)且求為何值時(shí)，取得最大值和最小值，并求出其最大值和最小值。分析：由已知得，代入可得到一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，然后可以用配方法，求出其的最大值和最小值，此題得解。解：由已知得代入得：因?yàn)榍?則,當(dāng)時(shí)，取得最大值為;當(dāng)時(shí)，取得最小值為1,綜上，.例6求函數(shù)的最值。分析：觀察函數(shù)如果不做變形直接接不能得出最大最小值，再觀察其中有一個(gè)可以考慮將其降角升冪，將函數(shù)表達(dá)式中含有的兩種類型的三角函數(shù)化為同一種，再將其通過配方的方法得出最值。解：可知，取即當(dāng)時(shí)，；取時(shí).評(píng)注：解最值問題時(shí)若是想用配方法來解題，必須把最值問題中出現(xiàn)的函數(shù)解析式化為二次函數(shù)，之后再觀察此二次函數(shù)的解析式對(duì)應(yīng)的圖像的特點(diǎn)，再結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)來運(yùn)用配方的方法求解，求解時(shí)要確定函數(shù)的定義域。2.2.3判別式法在解決最值問題時(shí)常要求我們求解分式最值問題，還有一類比較不常見的無理函數(shù)最值問題，這兩種往往采用判別式法，如遇到通過已知條件可以將函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于某個(gè)變量的二次方程的話，要想最后解決問題我們還需再結(jié)合一元二次方程的判別式。例7已知函數(shù)，求其最值。分析：從整體看，其是自變量為的函數(shù)，通過整理得即，由于可以用“”求的取值，從而此題可得解。解：由整理可得,因?yàn)?，?dāng)時(shí)無解，所以，必須使得,由此可得：;又因?yàn)?所以的最小值等于.例8設(shè)，且滿足，求的最小值。解：令，則，轉(zhuǎn)化為的最小值問題，將代入題設(shè)條件，化簡整理得到關(guān)于的一元二次方程,該方程有解，則,解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，故的最小值為.例9如果實(shí)數(shù)滿足等式，求的最大值。解：設(shè)，則，代入，整理得：,該方程有解，則,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.評(píng)注：一般對(duì)于能夠?qū)⒁阎獥l件得到的解析式化為一元二次函數(shù)的題型，比較適合用判別式法，當(dāng)將其他變量代換時(shí)要注意變量的變化及其取值范圍。2.2.4換元法換元法就是把遇到的數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)式子不看式子里的拆分結(jié)構(gòu)只當(dāng)做是一個(gè)整體，應(yīng)用換元法就引入了新的變量，應(yīng)注意由原來的式子變?yōu)楹行伦兞康氖阶舆@個(gè)過程當(dāng)中新變量取值范圍的變化，引入新的變量后可以揭示整個(gè)式子的所隱含的數(shù)量關(guān)系，或者將本來看起來沒有聯(lián)系的變量之間聯(lián)系起來，可以達(dá)到化繁為簡的效果。例10設(shè)的最大值和最小值。解：設(shè)，,,則,則，當(dāng)時(shí)，取得最小值：;當(dāng)時(shí)，，取得最大值：,當(dāng)時(shí)，，取得最大值：,因此，,.在這里我們需要注意，設(shè)后，需注意注意參數(shù)的范圍。例11設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，求證.證明：待證不等式關(guān)于是對(duì)稱的，故不妨設(shè)，結(jié)合即得，下面做增量代換,,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，證畢。例12設(shè)，且求的最大值。解：因，故可設(shè)，其中，由得即，,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，p取得最大值.評(píng)注：在最值問題中關(guān)于換元法的題型是多種多樣的，當(dāng)然換元的形式也就是多變的，還有可能出現(xiàn)在解決一些問題時(shí)我們不僅僅只用到一次換元法，可能一道題就要對(duì)它采取多次不同方式的換元，但是無論變換的形式怎么多樣或是要進(jìn)行多少次變換，都要記住每一次變換都要注意引入的新的取值范圍。2.2.5數(shù)形結(jié)合法對(duì)于很多最值問題，如果按照一般的方法來解決，解題過程往往會(huì)比較繁瑣，而且對(duì)于一些最值問題常規(guī)方法根本沒辦法求解，但如果我們能夠利用幾何的方法來求解這些問題，把原題中的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)到幾何圖形中，用滿足這些數(shù)量關(guān)系的幾何圖形的特性來求解問題，對(duì)于這類最值問題利用此方法求解往往能夠事半功倍地解決問題，這種方法就是我們所說的“數(shù)形結(jié)合法”，數(shù)形結(jié)合法就是把一些用一般代數(shù)方法求解比較困難代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，對(duì)于解決部分最值問題這種方法很簡潔直觀。例13用表示三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)，求的最大值。解：如圖1，建立坐標(biāo)系，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系畫出的圖象．由已知可得，所求的函數(shù)圖像是這三個(gè)函數(shù)的圖像比較處于最下面的部分，由所畫圖像可得圖象的最大值點(diǎn)是函數(shù)的交點(diǎn)，故的.例14已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的比較，數(shù)列是一個(gè)一個(gè)孤立的點(diǎn)集而函數(shù)是連續(xù)的點(diǎn)集，求數(shù)列問題，我們可以先化為函數(shù)問題．，表明點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由題意知為數(shù)列中的最小項(xiàng)，作出函數(shù)的圖象（如圖2），觀察可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.例15求函數(shù)的最大值與最小值。解：可以把這道題理解為在直角坐標(biāo)系上一個(gè)特殊的單位圓上的點(diǎn)，其中一個(gè)在單位圓上點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，其中一個(gè)在圓上點(diǎn)與一個(gè)固定點(diǎn)之間的連接有一個(gè)斜率這個(gè)斜率就是，設(shè)過定點(diǎn)的直線與相切，切點(diǎn)為和．顯然，當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，斜率的最值就是的最值。由相切的條件列方程得，即,解得；或故，函數(shù)的最大值為最小值為評(píng)注：觀察一道題能不能用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，關(guān)鍵是看需要解決的問題中的數(shù)量關(guān)系是不是符合一些幾何的特性，因此找到問題中所含的幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵所在，從上面的例子很容易看出，相對(duì)簡單的公式往往具有類似于眾所周知的公式、幾何量、曲線方程等的結(jié)構(gòu)。在這一點(diǎn)上，我們不僅要靈活運(yùn)用我們的幾何知識(shí)，而且還要靈活運(yùn)用我們的空間想象力，將問題中利用到的一部分幾何意義，與其整體或其余部分聯(lián)系起來。雖然在最值問題中只有很小部分可以利用此方法求解，但是這種方法的特點(diǎn)是不但過程中的每一步都易于理解，而且有助于培養(yǎng)幾何中直觀思考問題的習(xí)慣。3.2.6導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)法求最值，首先要把問題變?yōu)橛嘘P(guān)函數(shù)的問題，然后對(duì)所得的函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求最值變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值，于是原最值問題得解。例16求函數(shù)在區(qū)間上的最值。解：，，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況易知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故有最大值又，故的最小值為.例17求數(shù)列的最大項(xiàng)。解：設(shè)，則，已知在上單調(diào)遞增，在上遞減，故有最大值，即數(shù)列的最大項(xiàng)為第100項(xiàng)，其值為.例18中，，，己知和分別是和的中點(diǎn)，分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)，若,求線段的長度的取值范圍。解：如圖3，根據(jù)已知條件建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)，，有，,由得，,所以,,易求,即的取值范圍為.評(píng)注：導(dǎo)數(shù)法還經(jīng)常用于數(shù)列求最值，其解題過程和一般函數(shù)的最值問題解題過程類似，但是需要注意的是在數(shù)列中所有的項(xiàng)數(shù)都為正整數(shù)在做題時(shí)需要注意，對(duì)項(xiàng)數(shù)求整。三角函數(shù)問題也經(jīng)常會(huì)用導(dǎo)數(shù)法求解。

3中學(xué)階段最值相關(guān)的教學(xué)策略3.1概念課我們應(yīng)該如何評(píng)價(jià)以為數(shù)學(xué)老師的能力，看的也就是他到底能否在數(shù)學(xué)的課堂上有效地幫助我們的學(xué)生真正理解這些數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)的概念雖然看似簡單,但是想要能夠讓我們的學(xué)生真正認(rèn)識(shí)和了解這些數(shù)學(xué)的概念是很難的；章建躍博士強(qiáng)調(diào)：在這類的數(shù)學(xué)游戲中所要玩的也就是一種數(shù)學(xué)概念。在數(shù)學(xué)當(dāng)中概念是所有的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則,只有知道規(guī)則才能玩好數(shù)學(xué)游戲。3.1.1以生為本，注重概念構(gòu)建過程教師在進(jìn)行教學(xué)前首先要足夠了解學(xué)生，因?yàn)?，在不同班?jí)里的學(xué)生，在生理和心理發(fā)展方面都不一樣，所以，我們應(yīng)該要真正做到以每位學(xué)生作為參與者的主體，注重每位學(xué)生的特征和個(gè)體差別，再合理安排教學(xué)，要保證做到自己的教學(xué)方式和教學(xué)進(jìn)度能讓大部分學(xué)生所接受。教師在準(zhǔn)備概念課時(shí)，教師首先要清楚應(yīng)多注重學(xué)生對(duì)本節(jié)課概念的形成過程，在概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，除此之外教師不能只是一味地給學(xué)生灌輸新的概念，比這個(gè)更重要的是要讓學(xué)生建立新概念和舊概念之間的聯(lián)系，講解時(shí)也要相互比較兩者之間有什么不同，吃透這個(gè)概念3.1.2概念課教學(xué)案例例如在講解《函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)》這節(jié)內(nèi)容的概念時(shí)，教學(xué)過程可以采用如下設(shè)計(jì)：第一步：先創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)函數(shù)極值的定義和函數(shù)極值的求解方法。第二步：讓學(xué)生觀察圖4并總結(jié)函數(shù)極值的概念和求法。這樣讓學(xué)生對(duì)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值屬于函數(shù)性質(zhì)中的的整體性質(zhì)，這是兩個(gè)不同的概念。它們之間既有區(qū)別也有聯(lián)系。第三步：讓學(xué)生觀察圖5圖6兩個(gè)圖像，觀察它們是否都有最值。使學(xué)生對(duì)極值的局部性和最值的整體性有所了解，并且能夠明白這是兩個(gè)不同的概念，對(duì)最值有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，從而更加深刻地認(rèn)識(shí)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系，突破本節(jié)難點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)。第四步：讓學(xué)生總結(jié)函數(shù)最值的定義和求法。3.2習(xí)題課3.2.1針對(duì)重點(diǎn)，注重思維在上習(xí)題課前首先要了解課程的關(guān)鍵性難點(diǎn)和學(xué)生的薄弱處，要有針對(duì)性地設(shè)計(jì)習(xí)題，使設(shè)計(jì)出來的題不僅要能夠符合大部分同學(xué)的情況，而且要讓學(xué)生能夠通過完成習(xí)題掌握課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，避免題海戰(zhàn)術(shù)。針對(duì)相似類型的習(xí)題，教師講解時(shí)應(yīng)有所選擇地講解，對(duì)各類題型解題所用的知識(shí)和解題方法做系統(tǒng)的講解，縱向角度的題型應(yīng)按章節(jié)順序講解，橫向角度的題型不應(yīng)按章節(jié)展開一道道講解，應(yīng)按系統(tǒng)知識(shí)展開。所以在設(shè)計(jì)選擇題和填空題時(shí)都要仔細(xì)考慮，在設(shè)計(jì)選擇題時(shí)因考慮為什么要設(shè)置這些選項(xiàng)，這些選項(xiàng)之間有什么關(guān)聯(lián)和不同，要讓學(xué)生從這道題中學(xué)到什么？習(xí)題課的目的并不是教會(huì)學(xué)生怎么樣寫某道題，而是要教會(huì)學(xué)生看到題我要怎么去思考，學(xué)會(huì)怎么樣找準(zhǔn)切入口，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。3.2.2習(xí)題課教學(xué)案例例如在講解《函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)》這節(jié)內(nèi)容的習(xí)題課時(shí)，選取經(jīng)典的習(xí)題讓學(xué)生完成，并且可以可以設(shè)置梯度式的練習(xí)，針對(duì)以上要求，設(shè)計(jì)了如下習(xí)題。求下列函數(shù)的最值。..證明下列不等式。證明對(duì)數(shù)平均不等式：，其中平均值稱為“對(duì)數(shù)平均”（選做）。當(dāng)時(shí)，證明：（選做）。（2019年全國Ⅲ卷，文20）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為,最小值為，求的取值范圍。此習(xí)題課所選題目具有針對(duì)性，教學(xué)過程中需要以生為本，教師可以依據(jù)自己的能力進(jìn)行變式教學(xué)，課堂靈活起來了，課堂效率會(huì)比較高，并且每個(gè)學(xué)生通過本節(jié)習(xí)題課都能有不一樣的收獲。3.3復(fù)習(xí)課3.3.1系統(tǒng)整理，設(shè)疑激趣在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候，關(guān)注更多的往往是找出學(xué)生不懂或薄弱的地方，然后針對(duì)這些弱點(diǎn)進(jìn)行著重講解，因而教師在上復(fù)習(xí)課時(shí)的講解，在基礎(chǔ)一般的學(xué)生看來老師的講解時(shí)雜亂無章，沒有頭緒的，這樣并沒有發(fā)揮復(fù)習(xí)課的真正作用。因而，要正確把握復(fù)習(xí)課的定位，不應(yīng)把通過練習(xí)去鞏固知識(shí)作為復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)，要把促進(jìn)所學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化作為復(fù)習(xí)課的主要目標(biāo)。學(xué)生通過調(diào)動(dòng)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶，或者是在書本中尋找相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)來解決問題，通過系統(tǒng)消化整合知識(shí)，并理解這部分知識(shí)后面的數(shù)學(xué)思想，在這個(gè)過程中，學(xué)生已經(jīng)根據(jù)自身的特點(diǎn)查缺補(bǔ)漏，系統(tǒng)消化了所學(xué)的知識(shí)。這往往會(huì)使學(xué)生感到枯燥無味,這就更加迫切地要求老師在上習(xí)題活動(dòng)時(shí)一定要特別強(qiáng)調(diào)解題活動(dòng)的組織,避免讓老師陷入變得枯燥無味的問題,在同時(shí)也需要讓老師使學(xué)生感到數(shù)學(xué)活動(dòng)是一門很有趣的學(xué)科,充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生們的積極主動(dòng)性,讓我們的學(xué)生能夠始終秉持著強(qiáng)烈的好奇心和自主探究的精神來解題。再者，題的選取也極大地影響了復(fù)習(xí)課的效果，如何評(píng)價(jià)一道題的好壞，并不在于這道題的難度，而在于這道題能否引起學(xué)生的探究興趣，好的題能夠制造一制造出跌宕起伏的懸念，誘導(dǎo)學(xué)生一步步探究，這讓學(xué)生體會(huì)到從“疑無路”的失落到“又一村”喜悅。在解完題后能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。3.3.2復(fù)習(xí)課教學(xué)案例例如在高三復(fù)習(xí)課“最值的解法中”教學(xué)過程可以如下設(shè)計(jì)：第一步：拋出問題，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧求解最值的相關(guān)理論知識(shí)，學(xué)生通過探究問題建立自己的解題思維；如圖所示，給定兩個(gè)長度為1的平面向量,它們的夾角，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且，其中求的最大值。這個(gè)問題難度不大，但解法靈活。這道題的設(shè)置是為了通過這種一題多解的方式，讓同學(xué)們有所對(duì)比和充分利用各方面數(shù)學(xué)知識(shí)，理解最值問題中所蘊(yùn)含的學(xué)科理論知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生通過探究過程的感悟掌握解決問題的本質(zhì)能力，從而使得絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)最值的求解達(dá)到融會(huì)貫