2021高中數(shù)學(xué)人教A版必修四練習(xí)試題（綜合復(fù)習(xí)與測試）含答案解析

2021年09月30日試卷

一、單選題(共9題；共0分)

1、(0分)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足，(x+2)=f(x),且在［-3,-2］上是減函數(shù)，若4B是銳

角三角形力BC的兩個(gè)內(nèi)角，則下列各式一定成立的是()

A.ff<sinA)<f(cosB)B.f^sinA)>f(cosB)

C.f^sinA)>f(sinB)D./(cos4)>f(cosB)

2、(0分)已知函數(shù)y="%)是(-1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(—1,0)是單調(diào)遞增的，4B,C是銳角

△A8C的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是()

A./(sirii4)>f(cosA)B.f(sin/)>f(cosB)

C./(cosC)>f(sinB)D./(sinC)>/(cosB)

3、(0分)若/(%)=cos2%+acos?+%)在區(qū)間(［)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為()

A.[—2,4-oo)B.(—2,4-oo)C.(—co,—4)D.(—co,-4]

—>

4、(0分)給出下面四個(gè)命題：①幾+贏=0；

②族+品=后；③成一盛=余；④0?n=0.其中正確的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

5、(0分)若/(X)=2cos(3x+/)+k,對任意實(shí)數(shù)t都有f?+t)=/?-t)成立，且/(力=-1,

則實(shí)數(shù)k的值等于()

A.-3或1B.1C.T或3D.-3

6、(0分)函數(shù)f(%)=|3cos2；+4sizi23cos2；—2|(0<%<兀)的大致圖象是()

7、(0分)cos50°(遮一tcmio°)的值為()

A.1B.當(dāng)

C.1D.2

8、(0分)函數(shù)/(%)=cos2仔-9+S譏②(|+9-1是()

A.周期為兀的奇函數(shù)B.周期為7T的偶函數(shù)

C.周期為27r的奇函數(shù)D.周期為27r的偶函數(shù)

9、（0分）已知函數(shù)/（%）=sinx+acosx（aGR）圖象的一條對稱軸是％則函數(shù)g（x）=sinx+

/（%）的最大值為)

A.5B.3C.V5D.V3

二、填空題（共10題；共。分）

1。、（。分）已知°是銳角AMC的外接圓圓心，"=6。。,案幾+篝h=2皿八,則實(shí)數(shù)團(tuán)的值

為

11、（。分）將函數(shù)f（x）=sin3xfs3X（°＞。）的圖象向左平移為個(gè)單位長度后，得到

函數(shù)g（x）的圖象，若g（幻在（0,鄉(xiāng)內(nèi)有且僅有一個(gè)最大值與一個(gè)最小值，則3的最大正整

數(shù)值為

12、(0分)已知向量OA=(-1,2),OB=(3,771),若OA1OB,貝I」m=

13、（0分）若tan（a+》=5,則需高嬴

14、（0分）已知點(diǎn)P（tana,cosa）在第三象限，則角a的終邊在第

象限.

15、(0分)已知函數(shù)/■(力=$111(。k￡-251112(興*-學(xué)+1(。>0)的最小正周期為1t，把/,(X)

的圖象向左平移沖單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間[0,守和[2卬,爭上是

單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)R的取值范圍是.

16>(0分)化簡：sin40°(tanl0°—V3)=.

17、(0分)已知cos(a-g)=g,a€(0,￡),則2M旅、=.

18、(0分)若cos(3—a)=:則sin2a=.

19>(0分)函數(shù)f(x)=Asin(3x+6)(/>0,3>0|創(chuàng)V》的圖象如圖所示，則

f(尹---------------

三、解答題(共5題；共0分)

20、(0分)已知函數(shù)/(x)=sin2x-y/3sinxcosx+=mcos(x4-^)-m+2.若對任意的

xlfx2e[0,n],均有/(xj>g(%2)，求m的取值范圍.

21、(0分)已知a71/(%)=(sinx—a)(a—cosx)+V2a.

(1)求當(dāng)a=1時(shí)，/(%)的值域；

(2)若函數(shù)/(%)在。網(wǎng)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求Q的取值范圍.

22、(0分)(本題共12分)已知/(%)=4cosxsin(x—^),xGR.

(1)求/。)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在ZL4BC中BC=4,sinC=2sinB若/(%)的最大值為/(/),求A48c的面積.

23、(0分)函數(shù)/'(%)=1-2a-2acosx-2sin2欠的最小值為g(a),(QGR)

(1)求g(a)的表達(dá)式；

(2)若g(a)=5求a及此時(shí)f(x)的最大值.

24>(0分)函數(shù)/(%)=sin(a)x+3)(3>0,\(p\<的部分圖象如圖所示，將'=/(%)的圖象向

右平移;個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=g(%)的圖象.

(1)求函數(shù)y=g(%)的解析式；

(2)在44BC中，角4,B,C滿足2si/等=g(C+§+l,且其外接圓的半徑R=2,求44BC

的面積的最大值.

試卷答案

1.【答案】B

【解析】由/(x+2)=/(x)n7=2=/(x)在上是減函數(shù)n/(x)在［0,1］上是增函數(shù)函

數(shù)，又cosB=sing-B)<sinA=f(sinA)>f(cosB),故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和三角函數(shù)，涉及函數(shù)與不等式思想、

數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合

性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先通過已知條件求得周期和;"(X)在［0,1］上是增函數(shù)函數(shù)，再將

cosB=sin(^一B)<sinA=f(sinA)>f(cosB).

2.【答案】C

【解析】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì).對于選項(xiàng)A,由于不能確定sin4cos4的大小，故不能確

定f(sinA)與/(cosB)的大小，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B,由4,B,C是銳角三角形△4BC的三個(gè)

內(nèi)角，則A+B>*得］>4>］一8>0,得sinA>sin^-B),即sinA>cosB,又/(x)定義在(一1,1)上

的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，則/(%)在(0,1)±是減函數(shù)，由sinA>cosB,可得/'(sinA)<

f(cosB),故選項(xiàng)B不正確，對于選項(xiàng)C,同理可得cosC<sinB,又/(x)在(0,1)±是減函數(shù)，由

cosC<sinB,可得f(cosC)>f(sinB),得選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D,同理可ijE/(sinC)<f(cosB),故

選項(xiàng)D不正確，故選C.

3.【答案】D

22

【解析】*.*/(x)=cos2x+acos(-+%)=1—2sm2x—asinx=—2(sin2x+-sinx+-———)4-1=

7、2/21616

—2(sinx++i+(

2

令￡=$譏》,則f(%)=g(t)=—2(t4--)2+14--,由于t=s譏%在區(qū)間6,C)上是增函數(shù)，

故te(1,1),結(jié)合f(x)在區(qū)間(,》上是增函數(shù)，可得f(x)=g(t)=—2(t+22+l+?

在(［,1)上單調(diào)遞增，由于二次函數(shù)g(t)的圖象的對稱軸為刀=一3，A-;>1>Aa<

—4t故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的單調(diào)性，含有參數(shù)的一元二次函數(shù)

的單調(diào)性，屬于中檔題；利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式首先把函數(shù)變形成標(biāo)準(zhǔn)型的二次函

數(shù)，進(jìn)一步利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果.

4.【答案】B

【解析】①幾+贏=3②幾+盛=公；③=

④0?幾=3,所以正確的為①②，選B.

5.【答案】A

【解析】由于/C+t)=/?—t)所以X=g是其對稱軸，即85?3+租)=±1,而/?)=

2cosc3+<p')+k=k+2=—1,所以，k——3或fc=1.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的對稱性，考查三角函數(shù)的最大值和最小值.形如/(a+x)=

f(a-x),說明的是函數(shù)/'(x)的對稱軸是x=a,形如/'(x+a)=f(x),說明的是函數(shù)/"(x)的周

期為a,這些都需要平時(shí)熟記.根據(jù)/(》的函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)最大值和最小值，可求得

k的值.

6.【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=|3cos2：+4sin2?cos2?-2|

C0SX+1.1-C0SXri..

，/(x)=|3x-^―+-----2|=|cosx|

0<X<7T

C0SX,XG(0,-)

…一,X嗎7)

故選B

點(diǎn)睛：（1）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖像時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義

及其應(yīng)用方向.（2）在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)

時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.

7.【答案】C

【解析】cos50-（g—tanlO。）=cos50。X（tcm60。TanlO。）=皿9'"*就2廣。。m60。）=

cos50°xsin（50°）_sinlOO0__coslO0_1故選C

cosl00cos6002cosl00cos60°2cosl00cos600'*

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是：1.切化弦；2.輔助角公式；3.利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式求

解.

8.【答案】C

【解析】分析：把解析式化為y=4s譏（3X+9）的形式后再進(jìn)行判斷可得結(jié)論.

詳解：由題意得

X71X71

fM=cos2(---)+sin2(-+-)-1

1+cos(x—2)1—cos(x+2)

-1

22

=1COS(^-x)cos《+x)

=sinx.

???函數(shù)/Q）是周期為2兀的奇函數(shù).

故選C.

點(diǎn)睛：研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，先根據(jù)三角變換公式把所給的函數(shù)化成y=4s譏(3x+w)或

y=4cos(o)x+0)的形式，然后把cox+3作為一個(gè)整體，并結(jié)合正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行

求解.

9.【答案】C

【解析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差公式.因?yàn)槭呛瘮?shù)f(x)的

一條對稱軸，所以/(0)=/(9即a=1,則g(x)=2sinx+cosx=V5sin(x+9)(其中tan0=|),則函

數(shù)g(x)的最大值為百.故選C.

【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：

先由對稱性得/(0)=/?),求得a=1；

利用輔助角公式化簡得g(x)=V5sin(x+0)；

由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最值

10.【答案】y

【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則有公=易+而,

代入四晶+經(jīng)￡晶=27n筋，可得咨易+理成而)(*),

smCs\nBsinCsinB

由AB1。。得AB-DO=0,

將(*)式兩邊同乘以北，化簡得里法.6+警公./=2瓶(兄)+而).法,

sinCsinB\)

aiiCOSB2COSCtA7

即——cL+--becosA=mcz,

sinCsinB

由正弦定理及上式得?sin2C+,sinBsinCcosA=msin2C,

因?yàn)閟mcwo,

所以cosB+cosAcosC=msinC,

cosB+cos4cosc_-cos(4+C)+cos4cosc_

.AV3

所以m=sin4二—.

sinCsinC2

答案：亨.

點(diǎn)睛：

本題難度較大，主要考查了平面向量的數(shù)量積、正弦定理與余弦定理、兩角和與差的余弦

公式.在解題中既要考慮到向量的運(yùn)算，又要考慮到三角形中的邊角關(guān)系，為了達(dá)到解題

的目的，充分利用正余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)又要結(jié)合條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓阶?/p>

形.

11.【答案】5

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、輔助角公式，考查數(shù)形結(jié)合思

想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.

運(yùn)用輔助角公式將/"(X)化為f(x)=/sin(3x+。)(4＞0,。＞0,|。|《)的形式，并根據(jù)圖象平

移得到g(x)的解析式，然后根據(jù)已知條件得到。的取值范圍，最后得到。的最大正整數(shù)

值.

易知

f{x}=2sin(3x+$(3＞0),工g(x)(x+券=2sin[3(1+9)+竽=2COS(3x+2)，；xW(0,])，

3X+衿§詈+—依題知2n＜曰+衿3",解得學(xué)3＜學(xué)...3的最大正整數(shù)值為5.

12.【答案】|

【解析】由題意可得：BA=0A-0B=(-1,2)-(3,m)=(-4,2-m)

由向量垂直的充要條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：

￡M-￡l=4+2(2-m)=0,

求解關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程可得：m=4.

13.【答案】

6

【解析】tan(a+2)=gi=5,化簡得也放=?.所以一一=四工立=皿四=上

14.【答案】二

【解析】試題分析：由點(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，得到tana<0,cosa<0,從

而得到a所在的象限.

解：因?yàn)辄c(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，所以，tanaVO,cosa<0,則角a的終

邊在第二象限，

故答案為：二.

點(diǎn)評：本題考查第三象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號.

15.【答案】耳號

【解析】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，考

查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.

試題以考生熟悉的正弦函數(shù)為載體命制，能很好地考查考生對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三

角恒等變換等知識的掌握程度，突出直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

先把函數(shù)f(x)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，根據(jù)其最小正周期為又求出參數(shù)。的值，運(yùn)用三

角函數(shù)圖象變換的方法可得函數(shù)g(x)的解析式，求出其單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)g(x)在區(qū)間

［0,?和［2m,爭上是單調(diào)遞增函數(shù)，可求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

/(X)=sin(3x-￡)-2sin2G°x-^)+l=sin(°x-^)+cos(°x-爭=sin(°x-^)+sin［^-(3x-

g)］=sin(3x-》+sin(r-3x)=2sin(0xW).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為1r，所以

。=2,則F(x)=2sin(2xq).因?yàn)榘裦(x)的圖象向左平移汐單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖

象，所以g(x)=2sin(2x+“).由-號2knW2x+^W(4GZ),得力+★nWxW'+"(XGZ),

即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)3間6為］(AGZ).當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞

增區(qū)間為［-屋］，當(dāng)k=\時(shí)，函數(shù)g⑺的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為號，爭.又函數(shù)g(x)在區(qū)間

7(0<3,

［0,和和［2加,金上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以2a36解得白勿忘今

36V<2m<^,32

'3O

16.【答案】一1

【解析】原式=.4。。(罌—同=罌和1。。一百8sl。。)=辭擊也1。。—*°sl。。)

-2sin400-sin800

cos40°=1.故答案為一1

coslO°coslO°

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有:

先切化弦，再通分；

利用輔助角公式化簡；

同角互化.

17.【答案】1

【解析】原式=y[2C0Sa~sina.=V^(cosa—sina)=2sin(--a)=211—cos2(--a)=-.

cosa+stna，4，?'45

【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、輔助角公式和二倍角公式，涉及轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思

維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中檔題型.首先利用

余弦的二倍角公式，再利用輔助角公式，進(jìn)而逆用正余弦的平方和公式求得正解.

18.【答案】■

【角翠析】n2a=cos(^—2a)=2cos2—a)—l=2x卷—1=套

19.【答案】0

【解析】由圖可得/(9=0.

20.【答案】m>4

【解析】試題分析：先化簡/(%)，再求得/(%)與g(x)的值域，然后利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原

命題轉(zhuǎn)化為之即0之一[?71+2,解之便可得正解.

試題解析：

/(%)=sin2%-V3sinxcosx+[=~7”—jsin2x+|=1-sin(2x4-9

由％1€[0,TT],得f(%i)G[0,2].

x2[O,TT],當(dāng)mN0時(shí)，9(X2)￡[~2m+2,-1m+2],要使/(右)之g(%2)恒成立，只需。之

-|m+2,解得m24.

當(dāng)m<0時(shí)，g(%2)W+2,-2m+2],要使/(石)之。(冷)恒成立，只需0之一2m+2,矛盾.

綜上m的取值范圍是？nN4.

21.【答案】(1)[-|,V2]；(2)1Wa<魚+1或。=e+彳.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=(sinx—1)(1—cosx)+&=—sinxcosx+sinx+cosx—1+夜，

令t=sinx+cosx,貝!Jt6[—V2,V2],sinxcosx=

g(t)=一宇+t—1+應(yīng)=一/t-+&，當(dāng)t=1時(shí)，

g(t)max=VL當(dāng)￡=/時(shí)，g(t)min=/所以"為的值域?yàn)椋垡?/p>

(2)/(x)=(sinx—Q)(Q—cosx)+y/2a=-sinxcosx+a(sinx+cosx)—a2+V2a,

令〃=sin%+cos%,則當(dāng)時(shí)，uG［—1,72］,sinxcosx=

h(lC)=--------FQIZ_Q2+yp2.d=——(U—Q)2——Q2y［2.d,

f(x)在［0詞內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于九Q)在［-1,1)n{a}內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，［1,或)無零

點(diǎn).因?yàn)?,???hQ)在內(nèi)為增函數(shù)，

/i(l)>0

①若九(〃)在［—1,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，［1,&)無零點(diǎn)，故只需{九(一1)工。=

h(V2)>0

一次+(-^2+1)(1>0

{—a2+(A/2—l)a<0得1Wav企+1；

-a2+2V2a-i>0

②若為/iQ)的零點(diǎn)，［1,V^)內(nèi)無零點(diǎn)，則—a2+2y/2a—|=0,得(1=7^±冬經(jīng)檢驗(yàn)，a=

企+當(dāng)符合題意.

綜上，IWa+1或a=/+f.

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、函數(shù)的值域和函數(shù)的零點(diǎn)，涉及函數(shù)與方程思想、換元

思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能

力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.第一小題利用換元思想將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利

用二次函數(shù)的圖像即可求得值域；第二小題先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將命題轉(zhuǎn)化為八(“)的零點(diǎn)

問題，再利用二次方程根的分布知識求得正解.

22.【答案】(1)[/OT-2/OT+§,k€Z；(2)W

【解析】試題分析：

(1)由兩角差的正弦公式、二倍角公式及輔助角公式化簡，由此得到最小正周期和單調(diào)遞

增區(qū)間。

(2)由正弦定理得到c=2b,由最值得到A=由余弦定理得b=4,最后由三角形面積公式

得到面積。

試題解析：

(1)???f(x')=4cosxsin(%-￡)=4cosxgsinx-gcosx)

=2y/3sinxcosx—2cos2x=y/3sin2x—(1+cos2x)=2(Jsin2x—gcos2x)—1

=2sin(2x--1,

當(dāng)一2+2kn<2%--<-+2/CTT時(shí)，一￡+卜兀<2》一巳三囚+kn,kEZ

262663

???/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—?+嘮+kn],kez

(2)sinC=2shiB,由正弦定理得c=2b,??,f(%)的最大值為f(4),

：?2A--=-A=￡，在△ABC中，由余弦定理得：16=墳+(2匕)2一4b2cos4

623b=4

???△ABC的面積S=bcsinA—?

(1(?<-2)

23.【答案】(1)g(a)=1-l-2a-9(-2WaW2);(2)5

(1-4a(a>2)

【解析】試題分析：(1)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式后，分三種情

況：①罰、于-1時(shí)②;大于-1而小于1時(shí)③;大于1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求

出f(x)的最小值g(a)的值即可；(2)把夕弋入到第一問的g(a)的第二和第三個(gè)解

析式中，求出a的值，代入f(x)中得到f(x)的解析式，利用配方可得f(x)的最大

值.

試題解析：

(1)由/(%)=1—2a—2acosx—2sin2%=1—2a—2acosx-2(1—cos2%)

=2cos2%—2acosx-(2a4-1)=2(cosx—^)2—y—2a—1.這里—1Wcosx<1.

2

①若T<牌L則當(dāng)COS%=押，f(x)min=-y-2a-1;

②若］>1,當(dāng)COSX=1時(shí)，/(x)min=1-4Q；

③若TV-1廁當(dāng)COSX=-1時(shí)，/(x)min=1.

(1(。V-2)

因此g(a)={——2。—1(-24QW2)

(1—4a(a>2)

(2)vg(a)=

.,?①若a>2,則有1一4a=:得Q=之，矛盾；

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②若一2Wa42,則有---2a—1=萬,即a?+4a+3=0,Ia=-