導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)課選自北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章第二節(jié)第二課時(shí)，導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它為研究函數(shù)提供了有效的方法。教材從形和數(shù)的角度即割線入手，用形象直觀的“逼近〞方法定義了切線，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義，學(xué)生通過觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、歸納、運(yùn)用形成完整概念，有利于學(xué)生對知識的理解和掌握。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的定義，并更好的體會(huì)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的極值和最值，探討函數(shù)值變化快慢等性質(zhì)最有效的工具.【學(xué)情分析】選修1是文科學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但獨(dú)立探索，解決問題的能力稍差，數(shù)學(xué)語言的表達(dá)及數(shù)形結(jié)合的能力、對知識靈活運(yùn)用的能力仍有缺乏.通過前兩節(jié)對函數(shù)平均變化率和導(dǎo)數(shù)定義的學(xué)習(xí)，學(xué)生對有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，但是由于導(dǎo)數(shù)定義的抽象性，學(xué)生理解起來仍具有一定的困難?！窘虒W(xué)目標(biāo)】通過實(shí)驗(yàn)探求導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解曲線在一點(diǎn)的切線的概念，會(huì)求簡單函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程。1〕經(jīng)歷切線定義的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力；體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其含義，完善對切線的認(rèn)識和理解。2〕通過逼近、數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用，使學(xué)生到達(dá)思維方式的遷移，了解科學(xué)的思維方法。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透逼近、數(shù)形結(jié)合、以直代曲等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生特殊到一般、有限與無限、量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，意識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值【重點(diǎn)和難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程的求法以及“逼近、數(shù)形結(jié)合〞的思想方法教學(xué)難點(diǎn)：了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義的本質(zhì)內(nèi)涵〔1〕從割線到切線的過程中采用的逼近方法〔2〕理解導(dǎo)數(shù)的概念，將多方面的意義聯(lián)系起來，例如，導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在點(diǎn)附近的變化快慢，導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)切線的斜率等【教法與學(xué)法】教法：從圓的切線的定義引入本節(jié)課，再引導(dǎo)學(xué)生討論一般曲線的切線的定義，通過幾何畫板的動(dòng)畫演示，得出曲線的切線的定義。同樣通過幾何畫板的實(shí)驗(yàn)觀察得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直觀感知“趨近〞的數(shù)學(xué)思想學(xué)法：采用自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方法【教學(xué)過程】直線的斜率：1.創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生活動(dòng)——問題系列問題1平面幾何中我們是怎樣判斷直線是否是圓的割線或切線呢？〔如圖〕問題2畫圖，判斷直線是曲線的切線嗎？〔如圖〕〔1〕與；〔2〕與問題3那么對于一般的曲線，切線該如何讓定義呢？學(xué)生活動(dòng)——復(fù)習(xí)回憶〔1〕導(dǎo)數(shù)的定義〔3〕直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，并且斜率為，那么直線的方程為2.探索求知學(xué)生活動(dòng)——實(shí)驗(yàn)探究問一：求導(dǎo)數(shù)的步驟是怎樣的？第一步：求平均變化率；第二步：當(dāng)趨于0時(shí)，平均變化率無限趨近于的常數(shù)就是問二：你能借助圖像說說平均變化率表示什么嗎？請?jiān)趫D像中畫出來問三：在的過程中，你能描述一下割線的變化情況嗎？請?jiān)趫D中畫出來探究一：學(xué)生通過幾何畫板的演示觀察割線的變化趨勢，教師引導(dǎo)給出一般曲線的切線定義。問四：你能從上述過程中概括出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？的斜率→切線的斜率，因此是切線的斜率。探究二：解決“問題2〞結(jié)論：圓是一種特殊的曲線，圓的切線的定義并不能適用于一般曲線的切線，有的直線雖然與曲線有唯一的公共點(diǎn)，但我們不能認(rèn)為它與曲線相切，而有的直線雖然與曲線有且不止有一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線的切線，通過逼近的方法將割線趨于確實(shí)定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線，所以這種定義才是真正反映了切線的直觀本質(zhì)。問五：研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義有什么作用？觀察三個(gè)圖，直觀的放大函數(shù)曲線在一點(diǎn)附近發(fā)熱圖像，直觀觀察到圖像放的越大，這一段曲線越像直線結(jié)論：以直代曲是微積分中重要的數(shù)學(xué)思想方法，即以簡單的對象〔切線〕刻畫復(fù)雜的對象〔曲線〕3知識運(yùn)用【例題講解】例求函數(shù)在處切線方程。解先求在處的導(dǎo)數(shù)令趨于零，可知在處的導(dǎo)數(shù)為這樣，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為6。即該切線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為6.因此切線方程為即切線如下圖。小結(jié)：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。函數(shù)在處的切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？本節(jié)課你理解