將軍飲馬問題講義

將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩《古參軍行》開頭兩句說:"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河."詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題.如下圖，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天參軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳.將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距離問題〔軸對稱是工具，最短距離是題眼〕。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比方題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段a+b這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。一．六大模型1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.如圖，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3.如圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小.4.如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。5.如圖，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小6..如圖，點A是∠MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小常見問題首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一般就是題目中的所求點，即那個不定的點。定點即為題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連線的點。1.怎么對稱，作誰的對稱？。簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定點?；蛘哒f只有定點才可以去作對稱的?！膊淮_定的點作對稱式?jīng)]有意義的〕那么作誰的對稱點?首先要明確關(guān)于對稱的對象肯定是一條線，而不是一個點。那么是哪一條線？一般而言都是動點所在直線。2.對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個定點相連。絕對不能和一個動點相連。明確一個概念：定點的對稱點也是一個定點。例如模型二和模型三。3.所求點怎么確定？首先一定要明白，所求點最后反響在圖上一定是個交點。實際就是我們所畫直線和直線的交點。下面我們來看看將軍飲馬與二次函數(shù)結(jié)合的問題：1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，3〕三點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？假設(shè)存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕設(shè)交點式為y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，然后把C點坐標代入求出a=，于是得到拋物線解析式為y=x2﹣x+3；〔2〕先確定拋物線的對稱軸為直線x=，連結(jié)BC交直線x=于點P，如圖，利用對稱性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根據(jù)兩點之間線段最短得到PC+PA最短，于是可判斷此時四邊形PAOC的周長最小，然后計算出BC=5，再計算OC+OA+BC即可．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線解析式為y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，把C〔0，3〕代入得a?〔﹣1〕?〔﹣4〕=3，解得a=，所以拋物線解析式為y=〔x﹣1〕〔x﹣4〕，即y=x2﹣x+3；〔2〕存在．因為A〔1，0〕、B〔4，0〕，所以拋物線的對稱軸為直線x=，連結(jié)BC交直線x=于點P，如圖，那么PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此時PC+PA最短，所以此時四邊形PAOC的周長最小，因為BC==5，所以四邊形PAOC周長的最小值為3+1+5=9．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了最短路徑問題．2．〔2023?上城區(qū)一模〕設(shè)拋物線y=〔x+1〕〔x﹣2〕與x軸交于A、C兩點〔點A在點C的左邊〕，與y軸交于點B．〔1〕求A、B、C三點的坐標；〔2〕點D在坐標平面內(nèi)，△ABD是頂角為120°的等腰三角形，求點D的坐標；〔3〕假設(shè)點P、Q位于拋物線的對稱軸上，且PQ=，求四邊形ABQP周長的最小值．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】〔1〕令x=0，求出與y軸的坐標；令y=0，求出與x軸的坐標；〔2〕分三種情況討論：①當AB為底時，假設(shè)點D在AB上方；假設(shè)點D在AB下方；②當AB為腰時，A為頂點時，③當AB為腰時，A為頂點時；仔細解答即可．〔3〕當AP+BQ最小時，四邊形ABQP的周長最小，根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答．【解答】解：〔1〕當x=0時，y=﹣；當y=0時，x=﹣1或x=2；那么A〔﹣1，0〕，B〔0，﹣〕，C〔2，0〕；〔2〕如圖，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是頂角為120°的等腰三角形．①當AB為底時，假設(shè)點D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1〔0，﹣〕，假設(shè)點D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2〔﹣1，﹣〕，②當AB為腰時，A為頂點時，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴點D在y軸或x軸上，假設(shè)D在y軸上，得D3〔0，〕，假設(shè)D在x軸上，得D4〔﹣3，0〕；③當AB為腰時，A為頂點時，假設(shè)點D在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5〔﹣1，﹣2〕；假設(shè)點D在第四象限時，∵DB∥x軸，BD=2，得D6〔2，﹣〕，∴符合要求的點D的坐標為〔0，﹣〕，〔﹣1，﹣〕，〔0，〕，〔﹣3，0〕，〔﹣1，﹣2〕，〔2，﹣〕；〔3〕當AP+BQ最小時，四邊形ABQP的周長最小，把點B向上平移個單位后得到B1〔0，﹣〕，∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，∴四邊形BB1PQ是平行四邊形，∴BQ=B1P，∴AP+BQ=AP+B1P，要在直線x=上找一點P，使得AP+B1P最小，作點B