南京市南京外國語仙林分校2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷

24/242023~2024學年南京外國語學校仙林分校九年級上學期10月月考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1.下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．2.用配方法解方程時，配方結果正確的是A． B． C． D．3．拋擲一枚質地均勻的硬幣2次“朝上的面不同”的概率是A． B． C． D．4．下列說法中，正確的是A．垂直于半徑的直線是圓的切線 B．同弧所對的圓周角相等C．長度相等的弧是等弧D．三點確定一個圓 5．小明根據(jù)演講比賽中九位評委所給的分數(shù)制作了如下表格：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差8.58.38.10.15如果去掉一個最高分和一個最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差6．如圖，的內切圓（圓心為點與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法不正確的是（）．射線一定過點．點是三條中線的交點．若是等邊三角形，則．點是三條邊的垂直平分線的交點二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．已知的直徑為，，則點在（填“上”、“內”或“外”．8．某種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒80元調至64元，若設平均每次降價的百分率為，則由題意可列方程為．9.一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，則的值為10．如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是．11．如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，連接．若的半徑為，，則．12．如圖，、、是的切線，切點分別為、、．若，，則的長是．13．如圖，是的外接圓，，是的中點，連接并延長交于點，連接，則的度數(shù)為14．如圖，在平面直角坐標系中，一個圓經(jīng)過，，三點，則該圓的圓心的坐標是．15．已知邊長為2的正三角形，能將其完全覆蓋的最小圓的面積為．16．如圖，正方形的邊長為2，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當最小時，它的長是．三、解答題（本大題共10小題，共88分）17.（8分）解下列一元二次方程（1）；（2）18．（8分）已知關于的方程．（1）求證：不論取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為，求它的另一個根和的值．19．（8分）如圖，在中，弦，相交于點，．（1）求證；（2）連接，若，則的度數(shù)為．20．（10分）某商店將進價為10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，現(xiàn)在采取提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少20件．（1）若售價提價1元，此時單件利潤為元，銷售量為件；（2）應將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為2720元？21．（8分）如圖，是的切線，為切點，點、、在上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，則的度數(shù)為．22．（8分）“五一”假期期間，南京旅游市場強勁復蘇．甲、乙兩位游客準備在5月3日各自游玩玄武湖、雞鳴寺、臺城這三處景點，他們游玩每個景點的順序是隨機的．（1）求甲游玩的第一處景點是雞鳴寺的概率；（2）甲、乙以相同順序游玩這三處景點的概率是．23．（10分）某超市對近四周西紅柿和黃瓜的銷售情況進行了統(tǒng)計，并將銷售單價和銷售量分別制成如下統(tǒng)計圖．（1）這四周西紅柿銷售單價的眾數(shù)為，黃瓜銷售單價的中位數(shù)為；（2）分別求這四周西紅柿、黃瓜周銷量的方差；（3）結合上述兩幅統(tǒng)計圖寫出一條正確的結論．24．（6分）如圖，點在直線上，點在直線外，作經(jīng)過，兩點且與相切．25．（10分）如圖，點在外，為的中點，以點為圓心，以為半徑畫弧，交于點，，連接；（1）判斷與的位置關系，并說明理由；（2）連接，若，的半徑為3，求的長．26．（12分）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，．求的值．小明提供了他研究這個問題的思路：延長至點，使得，連接．可以構造三角形全等，結合勾股定理便可解決這個問題．【問題解決】（2）如圖2，有一個直徑為的圓形配件，現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞，要求，，，求四邊形面積的最小值．【答案解析】2023~2024學年南京外國語學校仙林分校九年級上學期10月月考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1.下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】只含有一個未知數(shù)（元，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常數(shù)且．【解答】解：．含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不合題意；．是一元一次方程，故本選項符合題意；．含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不合題意；．是一元一次方程的定義，故本選項不合題意；故選：．【點評】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．2.用配方法解方程時，配方結果正確的是A． B． C． D．【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：，，，即，故選：．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．3．拋擲一枚質地均勻的硬幣2次“朝上的面不同”的概率是A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有4個等可能的結果，“朝上的面不同”的結果有2個，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有4個等可能的結果，“朝上的面不同”的結果有2個，“朝上的面不同”的概率為，故選：．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．下列說法中，正確的是A．垂直于半徑的直線是圓的切線 B．同弧所對的圓周角相等C．長度相等的弧是等弧D．三點確定一個圓 【分析】根據(jù)等弧的概念、確定圓的條件、切線的判斷定理、圓周角定理判斷即可．【解答】解：A、經(jīng)過半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線，故本選項說法不正確，不符合題意；B、同弧所對的圓周角相等，本選項說法正確，符合題意；C、能夠互相重合的弧是等弧，長度相等的弧不一定是等弧，故本選項說法不正確，不符合題意；D、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項說法不正確，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是等弧的概念、確定圓的條件、切線的判斷定理、圓周角定理，正確理解相關的概念和定理是解題的關鍵．5．小明根據(jù)演講比賽中九位評委所給的分數(shù)制作了如下表格：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差8.58.38.10.15如果去掉一個最高分和一個最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義：位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數(shù)．【解答】解：去掉一個最高分和一個最低分對中位數(shù)不發(fā)生變化；故選：．【點評】本題考查了統(tǒng)計量的選擇，解題的關鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．6．如圖，的內切圓（圓心為點與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法不正確的是（）．射線一定過點．點是三條中線的交點．若是等邊三角形，則．點是三條邊的垂直平分線的交點【分析】根據(jù)基本尺規(guī)作圖、三角形的內心的定義、外心的定義、等邊三角形的性質判斷即可．【解答】解：圓是的內切圓，點是三個內角平分線的交點，由尺規(guī)作圖可知，射線是的平分線，射線一定過點，故選項說法正確；點是三邊垂直平分線的交點，故選項說法錯誤；選項說法正確；是等邊三角形，點、分別為、的中點，是的中位線，，故選項說法正確；故答案為：B．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、內切圓與內心，掌握三角形的外心和內心的定義、基本尺規(guī)作圖是解題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．已知的直徑為，，則點在（填“上”、“內”或“外”．【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系，設點與圓心的距離，則時，點在圓外；當時，點在圓上；當時，點在圓內．【解答】解：的直徑為，的半徑為，，大于的半徑，點在外．故答案為：外．【點評】本題考查了點與圓的位置關系．關鍵要記住若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．8．某種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒80元調至64元，若設平均每次降價的百分率為，則由題意可列方程為．【分析】設這種藥品平均每次降價的百分率為，根據(jù)該藥品的原價及兩次降價后的價格，即可得出關于的一元二次方程．【解答】解：設平均每次降價的百分率是，則第二次降價后的價格為元，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9.一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，則的值為【解答】由根與系數(shù)的關系可知：，，所以故答案為-210．如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根，即可解答．【解答】解：如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是：，故答案為：．【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法，熟練掌握負數(shù)沒有平方根是解題的關鍵．11．如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，連接．若的半徑為，，則．【分析】如圖，連接．利用垂徑定理證明，解直角三角形求出，可得結論．【解答】解：如圖，連接．是直徑，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形；能根據(jù)垂徑定理求出和解直角三角形求出長是解此題的關鍵，難度適中．12．如圖，、、是的切線，切點分別為、、．若，，則的長是．【分析】由、、是的切線，則，，求出的長即可求出的長．【解答】解：、為的切線，，、為的切線，，．故答案為：3．【點評】本題考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質是解題的關鍵．13．如圖，是的外接圓，，是的中點，連接并延長交于點，連接，則的度數(shù)為【分析】連接，根據(jù)圓內接四邊形的性質得到，根據(jù)垂徑定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質得到，即可求出的度數(shù)．【解答】解：連接，四邊形是圓內接四邊形，，，，是邊的中點，，，，故【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓內接四邊形的性質，垂徑定理，等腰三角形的性質，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)、垂徑定理證得是解決問題的關鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，一個圓經(jīng)過，，三點，則該圓的圓心的坐標是．【分析】由題意圓心在線段的垂直平分線上，設圓心，根據(jù)半徑相等構建方程求解即可．【解答】解：由題意圓心在線段的垂直平分線上，設圓心，則有，解得，圓心，故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，坐標與圖形的性質，勾股定理，垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．15．已知邊長為2的正三角形，能將其完全覆蓋的最小圓的面積為．【分析】先求出邊長為2的正三角形的外接圓的半徑，再求出其面積即可．【解答】解：連接、，過作于，是邊長為4的等邊三角形，，，，，，能夠完全覆蓋這個正三角形的最小圓的面積為：，故答案為：．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意畫出圖形，掌握正三角形的性質、利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．16．如圖，正方形的邊長為2，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當最小時，它的長是．【分析】根據(jù)正方形的性質和勾股定理可得的長，再由翻折知，得點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，可知當點、、三點共線時，最?。窘獯稹拷猓哼B接，正方形的邊長為2，，，點是邊的中點，，，將沿翻折得到，，點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，當點、、三點共線時，最小，．故答案為：．【點評】本題主要考查了翻折的性質，正方形的性質，勾股定理，確定當點、、三點共線時，最小是解題的關鍵．三、解答題17.（8分）解下列一元二次方程（1）；（2）【解答】（1），；解得，（2）即解得，18．（8分）已知關于的方程．（1）求證：不論取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為，求它的另一個根和的值．【分析】（1）根據(jù)△，即可得證；（2）將代入方程，可得的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，可得，即可求出另一個根．【解答】（1）證明：△，不論取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：該方程的一個根為，，解得，設另一個根為，則有，解得，它的另一個根為，．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解等，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．19．（8分）如圖，在中，弦，相交于點，．（1）求證；（2）連接，若，則的度數(shù)為．【分析】（1）根據(jù)求出，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系得出即可；（2）根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)三角形內角和定理求出，再求出答案即可．【解答】（1）證明：，，，；（2）連接，，，，，，，故答案為：140．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系和圓周角定理，能熟記圓心角、弧、弦之間的關系是解此題的關鍵．20．（10分）某商店將進價為10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，現(xiàn)在采取提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少20件．（1）若售價提價1元，此時單件利潤為元，銷售量為件；（2）應將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為2720元？【分析】（1）根據(jù)單件利潤提升價格，可求出售價提價1元時的單件利潤，再利用日銷售量提升價格，即可求出售價提升1元的銷售量；（2）設每件商品應提高元，則每天可售出件，根據(jù)每天的利潤單件利潤銷售數(shù)量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）（元，（件．故答案為：6；420．（2）設每件商品應提高元，則每天可售出件，根據(jù)題意得：，整理得：，，或18.5．答：應將每件售價定為18元或18.5元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21．（8分）如圖，是的切線，為切點，點、、在上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，則的度數(shù)為．【分析】（1）連接，，，由切線的性質得出，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論；（2）連接，由圓內接四邊形的性質可得出答案．【解答】（1）證明：連接，，，是的切線，為切點，，在和中，，，，，，，且過半徑的外端，是的切線．（2）解：連接，由（1）可知，，在圓內接四邊形中，，．故答案為：220．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，切線的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解題的關鍵．22．（8分）“五一”假期期間，南京旅游市場強勁復蘇．甲、乙兩位游客準備在5月3日各自游玩玄武湖、雞鳴寺、臺城這三處景點，他們游玩每個景點的順序是隨機的．（1）求甲游玩的第一處景點是雞鳴寺的概率；（2）甲、乙以相同順序游玩這三處景點的概率是．【分析】（1）將玄武湖、雞鳴寺、臺城這三處景點分別記為，，．羅列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）將，，、，，、，，、，，、，，、，，分別記作①、②、③、④、⑤、⑥，列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）將玄武湖、雞鳴寺、臺城這三處景點分別記為，，．甲所有可能的游玩順序有：，，、，，、，，、，，、，，、，，，共有6種結果，它們出現(xiàn)的可能性相同．滿足甲游客最先去雞鳴寺（記為事件的結果有2種，即，，、，，，所以；（2）將，，、，，、，，、，，、，，、，，分別記作①、②、③、④、⑤、⑥，列表如下：①②③④⑤⑥①①，①②，①③，①④，①⑤，①⑥，①②①，②②，②③，②④，②⑤，②⑥，②③①，③②，③③，③④，③⑤，③⑥，③④①，④②，④③，④④，④⑤，④⑥，④⑤①，⑤②，⑤③，⑤④，⑤⑤，⑤⑥，⑤⑥①，⑥②，⑥③，⑥④，⑥⑤，⑥⑥，⑥由表知，共有36種等可能結果，其中甲、乙以相同順序游玩這三處景點的有6種結果，所以甲、乙以相同順序游玩這三處景點的概率為，故答案為：．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖；通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式求出事件或的概率．23．（10分）某超市對近四周西紅柿和黃瓜的銷售情況進行了統(tǒng)計，并將銷售單價和銷售量分別制成如下統(tǒng)計圖．（1）這四周西紅柿銷售單價的眾數(shù)為，黃瓜銷售單價的中位數(shù)為；（2）分別求這四周西紅柿、黃瓜周銷量的方差；（3）結合上述兩幅統(tǒng)計圖寫出一條正確的結論．【分析】（1）分別根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)方差的公式計算即可；（3）根據(jù)統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)解答即可．【解答】解：（1）由題意得，這四周西紅柿銷售單價的眾數(shù)為6，黃瓜銷售單價的中位數(shù)為：；故答案為：6，5.5；（2）西紅柿銷量的平均數(shù)，黃瓜銷量的平均數(shù)，西紅柿銷量的方差，黃瓜銷量的方差；（3）答案不唯一，如：西紅柿和黃瓜的銷量隨著價格的減少而增加．【點評】此題考查了條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)以及方差，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．24．（6分）如圖，點在直線上，點在直線外，作經(jīng)過，兩點且與相切．【分析】過點作直線，作線段的垂直平分線，直線交于點，以為圓心，為半徑作即可．【解答】解：如圖，即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考