2022年浙江省寧波市高中數(shù)學競賽試題+含解析

2022年寧波市高中數(shù)學競賽試題

2022年12月11日9：00-11：00

注意：報考A組的考生作答A卷（所有試題），報考B組的考生作答B(yǎng)卷（前17題）.

請考生按規(guī)定用筆，將所有試題的答案涂、寫在答題紙上，

一、選擇題I（本題共4小題，每小題6分，共24分，每小題列出的四個選項中只有一個是符

合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）

1.己知正方形ABC。的邊長為1,則|南+2就+/|=（）

A.1B.V6C.V7D.V13

2.已知實數(shù)”，b,則是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的

四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體ABCD中，設弧AC,8。的中點分別為M,N,若線段的長度

為a,則（）

A.弧AC的長度為——B.線段MN的長度為a

3

C.勒洛四面體A8CD能置于一個直徑為。的球內D.勒洛四面體ABCD的體積大于叵-

12

4.己知A,B分別在兩圓。|：*2+、2=1,。2：*2+、2=4上運動，且在G上存在點P,使得則

線段中點M軌跡的面積為（）

5萬?9%

A.7tB.—C.27cD.----

44

二、選擇題n（本題共4小題，每小題8分，共32分.每小題列出的四個選項中至少有一個是

符合題目要求的，全部選對的得8分，選對但不全的得3分，不選、有選錯的均不得分.）

5.一個裝有8個球的口袋中，有標號分別為1,2的2個紅球和標號分別為1,2,3,4,5,6的6個藍球，

除顏色和標號外沒有其他差異.從中任意摸1個球，設事件A="摸出的球是紅球”，事件5="摸出的球標

號為偶數(shù)”，事件C="摸出的球標號為3的倍數(shù)”，則()

A.事件A與事件C互斥B.事件B與事件C互斥

C.事件A與事件8相互獨立D.事件B與事件C相互獨立

6.已知。>0且關于x的不等式下列結論正確的是()

A.存在〃，使得該不等式的解集是RB.存在“，使得該不等式的解集是0

C.存在“，使得該不等式的解集是(-8,2022)D.存在“，使得該不等式的解集是(2022,+8)

7.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(l-x)+g(l+X)=2,g(x)—f(x-2)=2,g(4-x)-f(x)=2,

且當xw(0,l］時，/(x)=x2+l,則()

A.g(2022)=2B.g(x)+g(x+2)=0

C.函數(shù)/(x)在(1,3)上單調遞減D.方程/(x+2022)=X有且只有1個實根

8.設函數(shù)/(x)的定義域為I,區(qū)間如果對于任意的常數(shù)M>0,都存在實數(shù)內,馬，…,工”，滿

足且￡|/(七+|)--(七)|〉〃，那么稱/(x)是區(qū)間(。力)上的''絕對差發(fā)散函數(shù)則

/=1

下列函數(shù)是區(qū)間(0,1)上的“絕對差發(fā)散函數(shù)”的是()

X17TX依「引理號D”(X)=XCOS二

A/(X)+B/(x)=tanc/(%)=

--77T-T-為有理數(shù).2x

三、填空題(本題共6小題，每小題8分，共48分.請把答案寫在答題紙相應位置上.)

9.設O為坐標原點，尸是拋物線V=4x的焦點，若P是該拋物線上一點，且NPFO號,則點P到)，軸

的距離為.

10.已知實數(shù)X1,當滿足22+lnX|=3,111(1—％2)—2%2=1，則％1+々=-

11.在4x4的16個方格中填上實數(shù)，使得各行各列都成等差數(shù)列.若其中4個方格中所填的數(shù)如圖所示，則

圖中打*號的方格填的數(shù)是.

*13

13

13

39

12.己知正三棱柱ABC-AgG的各棱長均為2,M,N分別為棱上的點.若平面4WN將三棱柱

分為上、下體積相等的兩部分，則A4MN的面積的最小值為.

00

13.已知〃eN*,集合4={(x,y)"-l「+|2y-2|"<l,x,yeR},記4=「|4，則集合A中的點組成

n=l

圖形的面積為.

14.己知機wR,關于z的方程卜2+z+機2+2加)=o有四個復數(shù)根4/2/3,z4.若這四個復數(shù)根在

復平面內對應的點是一個正方形的四個頂點，則實數(shù)m的值為.

四、解答題I(本題共3小題，第15、16題每題15分，第17題16分，共46分.)

15.如圖，在/XABC中，ZACB=2ZABC.設點。是8c邊上一點，滿足2N84D=NA5C.

(I)記NA5C=e,用。表示——；

BD

(II)若——+——求BD.

ABAC

16.已知4之0,設函數(shù)/(x)=|x-a|+|ox-1|.

(I)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

(II)若對任意的xeR,不等式/(尤)>x(2a-x)恒成立，求a的取值范圍.

22

17.設點A(0,2),8(0,—2),F(0,T),過點尸作斜率為2的直線/交橢圓-：—+匕=1于C,。兩點.

164

(I)記直線AC,AD,5c3。的斜率分別為人次2次3人?從下列①②③三個式子中任選其一，當女變化時，

判斷該式子是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

①匕?《；②,；③.

欠3

22

(II)當直線分別交雙曲線「2：3-{=1的下支于P，。兩點(異于點8)時，求|PE|+|QF|的

取值范圍.

五、解答題n(A卷試題，B卷考生不答.本題共2小題，每小題25分，共50分.)

18.已知正整數(shù)數(shù)列｛4“｝滿足?！?2=—一石一(〃eN*).

(I)若=1，求42022；

(II)求％+4022的取值的集合.

19.甲、乙兩人分別進行投硬幣和擲圖釘試驗，每人各進行100次試驗.設4為前％次試驗中硬幣正面向上

的次數(shù)，%為前％次試驗中圖釘針尖朝下的次數(shù)，記0=2,/=4(%=1,2,3「、100).

KK

(I)若Pi=0,800=0.5,問是否存在常數(shù)P,不論試驗過程中p*如何變化，均存在某個攵0(1<%<100),

使得0°=P?若存在，求出所有尸的可能值；若不存在，請說明理由；

(H)若1=0,4100=0.7,問是否存在常數(shù)Q,不論試驗過程中必如何變化，均存在某個月(1</<100),

使得我=。？若存在，求出所有。的可能值；若不存在，請說明理由.

2022年寧波市高中數(shù)學競賽參考答案

2022年12月11日9：00-11：00

注意：報考A組的考生作答A卷（所有試題），報考B組的考生作答B(yǎng)卷（前17題）.

請考生按規(guī)定用筆，將試題的答案涂、寫在答題紙上.

一、選擇題I（本題共4小題，每小題6分，共24分.每小題列出的四個選項中只有一個是符

合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）

1.答案：D

解析：|南+2月心+恁|=|2而+3方心|=后，故選D.

2.答案：A

解析：若a>b,貝故“a>?！笔恰皘a。”的充分條件;

當。=—3力=2時，|a|>b但故“a>>”不是“|a|〉匕”的必要條件;

所以選A.

3.答案：D.

解析：選項A,弧AC為兩個半徑為八球心距為a的球面相交所得的小圓中的弧;

易知小圓半徑為—a,弦AC長為a,可得弧AC長不為工a.故A錯誤;

2

丘\V2

選項B,MN=2JV—3ud+——a=,故B錯誤;

22J2

選項C,由MV>a,故C錯誤;

由四面體ABC。的體積為也蘇，故D正確.

選項D,

12

4.答案：C

TT7T

解析：法一：不妨設P4〃X軸，如圖：設4905。,5吊。),尸(一85仇&11。)，不妨設

8(—cos。,,4-cosz81所以X”=(),2yM=sin8+,4—cos?8,設，=sin6e[-l,l],

則2yM=f(t)=t+y[F+3G[-V3-1]U[V3,3],

當0WY1時，/Q)遞增，此時/“)e[6,3]；

當一IV/WO時，/")=/-遞增,此時

\Jr+3-t

13

所以/⑺￡[1,3],萬2此時例的軌跡為線段x=.

13

則當弦AP在圓上轉動時，上述線段會掃出一個內徑為一，外徑為二的圓環(huán)，易得面積為2%.

22

法二：作矩形A4CB,則由|04|2+|QBF=|OP『+|oc|2n|oc|=2,記OP中點為E,則

|EM則點/在0P中點E為圓心，1為半徑的圓上

若記P（cose,sine）,E（^^,^^）,

則點M的軌跡方程為[x—三+（丁—V）=1-即爐+丁2—\=xcose+ysine,

223

X+y----[______q

當。變化時，X,y需滿足一/4.W1,可得-WJY+2需，.

y/x12+y22.2

13

所以當尸變化時，點M的軌跡為，內徑為一，外徑為一的一個圓環(huán)，此圓環(huán)的面積為2萬.

22

二、選擇題n（本題共4小題，每小題8分，共32分.每小題列出的四個選項中至少有一個是

符合題目要求的，全部選對的得8分，選對但不全的得3分，不選、有選錯的得0分.）

5.答案：ACD

解析：對AB,顯然事件A與事件C互斥，事件B與事件C不互斥，故A正確，B錯誤；

對c,易得P（A）=LP（B）=LP（AB）=G=P（AAP（B）,所以C正確；

428

對D,易得P（6）=LP（C）=LP（8C）=1=P（BAP（C）,所以D正確；

248

故選ACD.

6.答案：ACD.

解析：@a<-,ax>0>3a-l,xeR,故A正確；

3

logo（3fl-l）

②g<a<l,a'>3a-1=fznx<logu（3a-1）,又log,,（3a-l）wR,

故存在a使得log”（3a-1）=2022,故C正確；

③a>1,優(yōu)〉3a-1=a啕。所1）二%〉log（3a_j）,又iog〃（3a-i）e（l,+oo）,

故存在a使得log“（3a-1）=2022,故D正確；

故選ACD.

7.答案：ACD

障;*二；之可得g—+g可得g(x)+g2"故B錯

解析：對AB,由＜

誤,

3屋2)=2可得g(-)+g⑴=4,令*可得g⑵=2,所以

且g(x)=g(x+4).由，

g(2022)=g(2)=2,故A正確;

一幻十2可得/(I-x)+/(3-x)=°，即/*+2)=-/⑴J(x+4)=/(x),

對C,由＜

[g(4-劃一/*)=2

/(I-X)+￡(1+X)=2c

由，J6可得/(I—x)+f(x—l)=O,BP/(X)=-/(-%),根據(jù)上述性質可得f(x)的圖

g(x)—/(x—2)=2

象如下，故/(x)在(1,3)上單調遞減，所以C正確;

對D,/(x+2022)=xo/(x+2)=xo/(x)=x-2,由上述對稱性可得/(x)的圖象如下，故方程只有

1個解，所以D正確.

故選ACD.

8.答案：BCD

解析：對A,因為/(x)在(0,后—1)遞減，在(夜一1,1)遞增,

〃一1

所以(后_1)+/(七,)一/(0_1)<3_20,A錯誤;

1=1

、ZI-I

o,y是遞增的，所以￡|/(尤)|=tantanF,

[2J/=i22

當xn-1,$—0時tan—-tan—>+8,B正確;

對C,設遞增數(shù)列｛々｝滿足：/拈,樂=1,2,3「一,〃，且.T為有理數(shù)，尤2*為無理數(shù)

1"T1

則I”/）->高,所以（苦+1）—/a）卜不（?-i）,

1L;=11乙

當時，￡|/(芭)一/(3_1)|->+°°，c正確;

/=1

111

對D,設》=不，&=1,2,…,〃，則Z|/(x；+i)7(xJ卜++------+—

2k/=i2九一22n

ii1

>-+-+???+=ln(〃+l)-ln2,

23Tn>Zk=244

所以〃.+00,^21/(x(+l)-/(x；)|-?+00,D正確.

/=!

故選BCD.

三、填空題（本題共6小題，每小題8分，共48分.請把答案寫在答卷相應位置上.）

9.答案：3

2

解析：P到y(tǒng)軸的距離d=\PF|-1=----------1=3.

1-cos—

3

10.答案：1

解析：設/（尤）=2%+也%，顯然函數(shù)單調遞增，由題可得/（芭）=/（1一％2），所以玉=1—々，即X1+/=L

11.答案：5.

解：設*號的空格上填的實數(shù)為X,則4=^x+_13-,B=26-x.

2

39-465-x

進而有第三列的公差為d=，

36

從而C=4+2d="+l69

6

x+]69

又13,B,C成等差數(shù)列，得2(26—x)=13+-------,

6

解得x=5.

*A13

13

13BC

39

J21

12.答案：■.

2

J_l/_Spq邊形/?CNMV_S|H|邊形8CNM2M

解析：由%.BCNMVVyJ

,ABC-ABiCi—《'A-BCC^~'qABC-\BXC}

,3四邊形BCGM3四邊形BCGMJ

/3…

得S四邊形6CNM二S四邊形BCG8],從而BM+CN=3.

建立空間直角坐標系如圖，可設M(2,0j),N(l,、Q,3—。，

則AM=(2,0,r),AN=(1,73,3-0

設平面AMN的法向量為n=(x,y,z)

Jn-AB=0,2x+/z=0,

則即可取—八+23—2).

[n-AC=0.x+6y+(3-，)z=0.

又平面ABC的法向量為需=(0,0,1).

n-na1

設平面ABC與平面AMN所成角為a,則cosa=---1=/=

問4一3/+4

qG

由射影面積公式可得cose=2c=,

S/MMNS/XAMN

所以S2MN=G-而-3t+4N浮,等號當且僅當f=|時取到,

所以(%MN)min='

13.答案：1.

解析：若(蒼y)wA，則|x—l|+|2y—2|vl,從而|%—1歸。1),|2.-2|￡。1).

所以|x-l|"+|2y—2|"W|x-l|+|2y—2|<l("eN*),即得(x,y)e4,.

00

故有A=n|4=4.又易知集合A中的點組成圖形的面積為1,所以集合A中的點組成圖形的面積為I.

n=\

-1

14.答案：

6

解析：設Z?+Z+m=0根為Z],Z2，A]=+Z+2m=0的根為Z3，Z4，A2=1-8根，

由題意A|=1-4mw0,42=1-8m#0,即加wg且機

①當機＜,時，Z「Z2，Z3，Z4均為實數(shù)，則四個實數(shù)根均在實軸上，矛盾;

8

②當?。?77＜1時，Z”Z2為實數(shù)且Z3/4為虛數(shù)，且匕一22|=23—2/，所以1-4加=8〃2-1=＞加=2；

84~6

③當〃2＞；時，Z1,Z2,Z3,Z4均為虛數(shù)，且四個虛數(shù)根的實部均為-J,即四個對應點均在直線X=-［上矛盾.

綜上：m=~.

6

四、解答題I（本題共3小題，第15、16題每題15分，第17題16分，共46分.）

.30

ADSin--n

15.答案：（I）——=-g-=3-4sin2—=2cos^+l；（II）1.

BD-O2

0

解析：(I)由題=—,NACB=29.在△ABD中,

2

.33

Sin―?n

根據(jù)正弦定理可得——=一棄=3-4sin2—=2cos，+1

BDsi/2

2

4p\2COS/9

(II)在ZiABC中，根據(jù)正弦定理可得‘=’三，所以一=——,

sin2。sin(9ACAB

.11l+2cos。

所以一+—=---------—1,可得AB=2cos8+l.

ABACAB

An

又由（I）知一=2cos6+l,所以80=1.

BD

16.答案：(I)當a=0時，/(x)為偶函數(shù)；當a>0時，/(無)為非奇非偶函數(shù).(II)0<a<

解析：(1)易知/i(l)=2|a—l)=2|a+l|,

若/(1)=/(T)，則2|a—l|=2|a+l|,解得a=0,此時/(%)=|x|+l為偶函數(shù);

若/(1)=二/'(一1)，則2|a—1|=—2|。+1],解得“不存在.

綜上，當a=0時，/(x)為偶函數(shù)；當a>0時，/(%)為非奇非偶函數(shù).

(II)a=0時，/(%)=|》|+12-/顯然成立，所以々=()符合.

a>0時,若尤e(-oo,0](J[2a,+8),則x(2a-x)404/(尤)恒成立,

故只需考慮|x-a|+|ax-l巨龍(27-幻對任意％€(0,2。)恒成立.(*),

1后

取x=a,有,2一1怛°2,解得即得0<a<事.

而當0<a<,0<x<2a時，cix—1W2a~—1W(),

2

故(*)式可化為|x-。|+/-3奴+1之0對任意xe[0,2aH亙成立，

令g(x)二|九一。I+x2-3ax+1,

①當xG((),〃]時，g(x)=x2-(3a+l)x+(Q+1)2g(a)=1-2a2>。恒成立;

②當x￡[a,2a)時，g(x)=x~—(3?！猯)x+(1—a),

3Q-1

對稱軸x=二^—<。，且g(a)=1-2a2>0.

夜

因此，0<^z<—.

2

V2

綜上：0?a<----.

2

3kk，2X、

17.答案：(I)均為定值，k}?k2=丁,，=-3,-^-=-3；(II)—,+°o.

4k3I3)

解析：(I)由題可得/:y=米-4,設C(X1,y),￡>(￡,%)?

y=kx-4

/與聯(lián)立y2=>(4/+1*-32米+48=0,

.i6+v-

32k

則…飛+L

48

”=4*]

優(yōu)一2J

選擇①：人/2=上二2%—2(3—6)(6)Z:XX2-6k(xj4-x2)+363

王x2x1x2Xj%24

3

故占?網為定值，且匕?%：2=4；

則—.

選擇②：易得七L,

4k44Z3M4

2

心?幻="?二-2)(AX2-2)kxx-2Z:(%j+x)+41

2"2——}22—,

X]x2x}x2x}x212

k1

所以U=—二^^r=一3>

k44%?k4

kk

故廣為定值，且u=-3；

K4女4

選擇③：易得…L5則占一痣、

%+2y+2(fcij—2)(AX-2)k~xx-2Z:(^+x)+41

左3?44=22x22

X]x212

所以勺=-----—=-3

&4%?k4

故F■為定值，且—?=-3.

占%

(n)若選擇①，結合仁=一(，

(1W111

可得乂=--.一一-=—i—=—

3414&J116K?右12

若選得②減③，則己得%?%=1.

此時PB:y=k3x-2,QB:y=k4x-2.

y=k3x-2

22212k3

依與二聯(lián)立，yxn(3k；—ijx—12k3X=0=>匹

---------=1

412

所以|Pbred-準=2(1—&Xp)=21—,同理可得I。尸l=—6-

因為8C,6。分別交r\下支于P，。兩點，所以0＜勺1，伙/＜巫

所以代+片＜(1)

又kg+k[>2k*&=~2

6

所以IPFI+IQR歸(g,+s).

五、解答題n（A卷試題，B卷考生不答.本題共2小題，每