2023年長(zhǎng)沙市重點(diǎn)高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

A.2B.272C.2A/3D.1

2.某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該幾何體的體積為

俯視圖

4

若a=log23,b-log47,c=0.7,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（

A.a>b>cB.c>a>bC.h>a>cc>h>a

4.已知向量1=（百,1）,5=（百,一1）,則］與5的夾角為（）

5.已知函數(shù)“X）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R的奇函數(shù)，且g（x）=/（x-l）,則“2019）的值為（）

A.2B.0C.-2D.±2

6.已知函數(shù)/G）="sinx-百cosx的圖像的一條對(duì)稱軸為直線％=▼，且八力/（々）=T，則后+x,|的最小值

6

為（）

71乃24

A.-----B.0C.—D.—

333

7.若直線2x+4y+m=0經(jīng)過(guò)拋物線y=2—的焦點(diǎn)，則加=（）

11

A.-B.——C.2D.-2

22

8.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是S3的中點(diǎn)，則AE,SO所成的角的余弦值為（）

A1RV2rV3n2

3333

9.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，若?！?gt;0,q>l,/+%=20,a2a6=64,貝!|85=（）

A.48B.36C.42D.31

10.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查，得到本月的

用水量（單位：m3）的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15m3的住戶的戶數(shù)為（）

A.10B.50C.60D.140

11.已知向量力=（1,機(jī)），=（3,-2）,且（M+石）1.5,則"z=（）

A.-8B.-6

C.6D.8

22

12.已知雙曲線C：千-*13>0,6>0）的焦點(diǎn)為吊尸2,且c上點(diǎn)p滿足兩?朋'=0,冏=3,|朋|=4,

則雙曲線。的離心率為

A.B.75C.-D.5

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.從分別寫(xiě)有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于

第二張卡片上的數(shù)的概率為.

14.在區(qū)間［-6,2］內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)毛，則與恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

15.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,/)，P(X<6)=0.78,則P(X<2)=.

16.函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(x-4),當(dāng)xe|-2,2)時(shí)，/(x)=<2'+"+a，若函數(shù)/(x)在［0,2020)

\\-x,a<x<2

上有1515個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，%_L平面PC。,底面A8CO滿足AO〃BC,AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=9Q°,E為AO的中點(diǎn)，AC與BE的交點(diǎn)為。.

(1)設(shè)〃是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，證明：三棱錐"-PCD的體積是定值;

(2)求四棱錐尸―ABC。的體積；

(3)求直線8c與平面PBD所成角的余弦值.

18.(12分)等差數(shù)列｛%｝中，4=1,4=2%.

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=2%,記Sn為數(shù)列也｝前〃項(xiàng)的和，若S,,,=62,求機(jī).

19.(12分)某商店舉行促銷(xiāo)反饋活動(dòng)，顧客購(gòu)物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)(即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400

元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類(lèi)推).抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同

的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次

大(如1,2,5),則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金

20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.

(1)某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(2)趙四購(gòu)物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.

20.(12分)改革開(kāi)放40年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車(chē)保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

(I)求“的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；

(II)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別

有關(guān)；

(in)在(II)的條件下，從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人，求抽到的女性人數(shù)x的分布列及期望.

?n(ad-bc)2“一,,

附：K-=-------------------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+cl)

P(K2>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

x=fcosa

21.(12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為..a為參數(shù)，0Ka<〃)，點(diǎn)”(0,—2).

y=-2+，sma

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為0=4及cos(e+?j.

(1)求曲線G的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；

(2)曲線G與曲線C，交于A,B兩點(diǎn),若'+」一=姮，求Sina的值.

\MA\\MB\4

22.（10分）為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢(mèng)，把我國(guó)建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，黨和

國(guó)家為勞動(dòng)者開(kāi)拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動(dòng)的舞臺(tái).借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無(wú)公害的蔬菜時(shí)，

為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比

較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場(chǎng)選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長(zhǎng)光

照時(shí)間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：

（1）如果你是該農(nóng)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對(duì)于下一季大棚蔬菜的種植，說(shuō)

出你的決策方案并說(shuō)明理由；

（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元廟.若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；

若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場(chǎng)共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場(chǎng)種植的該

蔬菜每年產(chǎn)出茗次，且該蔬菜市場(chǎng)的收購(gòu)均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計(jì)總體，請(qǐng)計(jì)算在兩種不同

的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤(rùn)；

（3）農(nóng)場(chǎng)根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過(guò)5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大

棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長(zhǎng)棱為AO,算出長(zhǎng)度.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為AO=26

D

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體的問(wèn)題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，三棱錐的高為G，所以該幾何體的體積

V=-xix2x2x—x73=l,故選C.

322

3.A

【解析】

將“化成以4為底的對(duì)數(shù)，即可判斷〃力的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出4c與1的大小關(guān)

系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得"=log23=log49>b=log47.

又因?yàn)閏=0.74<0.7°=l=log44<log47=/>,故a>6>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相

同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大?。蝗粽鏀?shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;

若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.

4.B

【解析】

由已知向量的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.

【詳解】

解：由題意得，設(shè)M與日的夾角為。，

八a-b3-1\_

二?COS0-LILI=---

HW2x22

由于向量夾角范圍為：owew乃,

：.0=-.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.

5.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g(x)與“》-1)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于“X)的關(guān)系式，通過(guò)變形求解出“X)的周期,

進(jìn)而算出〃2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數(shù)，，g(0)=/(-1)=0,g(—x)=-g(x)

???/(-l)=0J(r-l)=-/(I),,-./(-x)=-/(^-2)

而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，=x),.?./(力=一)(%-2)

???/(x-2)=-/(x-4),.1./(%)=/(x-4)

故/(x)為周期函數(shù)，且周期為4

???"2()19)="-1)=0

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)/(X)的解析式，由對(duì)稱軸的方程，求得4的值，得出函數(shù)“X)的解析式，集合正弦函數(shù)

的最值，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=asinx-gcosx=Ja2+3sin(x+J)(夕為輔助角)，

由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為x=,且/(-7)=7+7，

6622

即E+；="2+3,解得4=1,所以/(x)=2sin(x—H),

223

又由/(X)?/(/)=T，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，

57r71

所以可設(shè)玉=2k3T---GZ,x=2k27r,kGZ,

6262

2萬(wàn)

所以歸+工2|=2攵］乃+2攵2乃+飛-,攵￡2,

當(dāng)K=&=0時(shí)，|石+/|的最小值故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，合理利用正弦函

數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.

7.B

【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為,代入計(jì)算得到答案.

【詳解】

故根=—'.

y=2/可化為產(chǎn)-y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.

8.C

【解析】

試題分析：設(shè)AC、3。的交點(diǎn)為。，連接E。，則NAEO為AE,SO所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為。，

則4爭(zhēng)3小0=生，所以cosNA物型螳盛.

zV3.2./1\2/V2、2

(丁。)+(3。)一(丁a)J3

——/---弋,故C為正確答案.

2x(*a).qa)

考點(diǎn)：異面直線所成的角.

9.D

【解析】

試題分析：由于在等比數(shù)列｛4｝中，由=64可得：/為=a2a6=64,

又因?yàn)槌?4=20,

所以有：%，為是方程-—20%+64=0的二實(shí)根，又4＞。，q＞l,所以為＜%，

故解得：%=4,%=16,從而公比q=J%=2,%=1；

'2-1

故選D.

考點(diǎn)：等比數(shù)列.

10.C

【解析】

從頻率分布直方圖可知，用水量超過(guò)15m3的住戶的頻率為(0.05+0.01)x5=0.3,即分層抽樣的50戶中有0.3x50=15

戶住戶的用水量超過(guò)15立方米

所以小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15立方米的住戶戶數(shù)為2x200=60,故選C

11.D

【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出a+b的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.

【詳解】

?:a~(l,ni),b=(3,-2),.'.a+b=(4,機(jī)-2),又(萬(wàn)+5)

.?.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=L

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出利用勾股定理可以求出c,最后求出離心率.

【詳解】

IEF,I

依題意得，2a=\PF\-\PF^i

2|秋|=J|P小|PE『=5,因此該雙曲線的離心率e=」；1=5.

|PR-尸耳

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運(yùn)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3

8

【解析】

基本事件總數(shù)“=4x4=16,抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，由此能求

出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.

【詳解】

從分別寫(xiě)有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，

基本事件總數(shù)“=4x4=16,

抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，分別為：

(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為p=^=|.

168

故答案為：—

8

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意辨別概率的模型.

1

14.-

4

【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)朝是非負(fù)數(shù)時(shí)，/e[0,2],區(qū)間長(zhǎng)度是2-0=2,

又因?yàn)閇-6,2]對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是PW.

o4

故答案為y

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.

15.0.22.

【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x=N對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性以及概率和為1求解即可。

【詳解】

P(X<2)=l-P(X<6)=0.22

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題.

16.--,0

_2」

【解析】

由已知，“X)在［—2,2)上有3個(gè)根，分2>a21,0<。<1,-l<cz<0,—2<aWT四種情況討論/(x)的單調(diào)

性、最值即可得到答案.

【詳解】

由己知，/(x)的周期為4,且至多在［-2,2)上有4個(gè)根，而［0,2020)含505個(gè)周期，所以在［-2,2)上有3個(gè)

2

根，設(shè)8(幻=2/+3*2+。，g(x^6x+6x,易知g(x)在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(7,-1),(1,物)上單調(diào)遞增,

又g(-2)=。-4<0,g(l)=a+5>0.

若2>。》1時(shí),在(a,2)上無(wú)根，/(x)在［-2,a］必有3個(gè)根，

。+1>0

即〈八，此時(shí)Q￡0；

a<0

若0<a<1時(shí),/(x)在(a,2)上有1個(gè)根，注意到/(0)=。>0,此時(shí)/(x)在［—2,。］不可能有2個(gè)根，故不滿足;

/、f/(-I)>01

若—1<。40時(shí)，要使“X)在［—2,0有2個(gè)根，只需匕,，、八，解得二

J(a)W02

若—2<aW—l時(shí)，/(x)在［-2,0上單調(diào)遞增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

綜上，實(shí)數(shù)。的范圍為一』4aW0.

2

故答案為：-;,0

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及到函數(shù)的周期性、分類(lèi)討論函數(shù)的零點(diǎn)，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見(jiàn)解析(2)VPYBCD=2及(3)當(dāng)

【解析】

(1)因?yàn)榈酌鍭8C。為梯形，且BC=ED,所以四邊形8CDE為平行四邊形，則8E〃CZ),

又BEa平面PCD,CDu平面PCD,所以BE||平面PCD,

又因?yàn)椤盀榫€段3E上的動(dòng)點(diǎn)，△PCD的面積是定值，從而三棱錐”-P8的體積是定值.

(2)因?yàn)槠矫鍼CO,所以Q4_LCD,結(jié)合BE〃CD,所以AP_L5E,

又因?yàn)锳B_L3C,AB=BC^-AD,且E為40的中點(diǎn)，所以四邊形ABCE為正方形，所以跖J_AC,結(jié)合

2

APr>AC=A,則BE1平面APC,連接尸。，則

因?yàn)镻AL平面PCD,所以抬_LPC,

因?yàn)锳C=Ji48=a4尸，所以ABAC是等腰直角三角形，0為斜邊AC上的中點(diǎn)，

所以尸OJ_AC,且ACIBE=O,所以PO上平面ABCD,所以尸。是四棱錐P—ABCD的高，

又因?yàn)樘菪蜛3。的面積為L(zhǎng)(8C+A￡>)XAB='X(2+4)X2=6,

22

在RtAAPC中，尸。=6，所以梯禰Bc/P0=gx6x夜=2拉?

(3)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z,如圖所示，

貝!IB,0,0）,C（0,啦，0）,。（-2y/2，應(yīng)，0），尸（0,0,夜）,

則SC=（-72,&,0）,而=（&0,-點(diǎn)），兩=（-2&,72,-72）,

n-PB=0[Ou—41w=0[u=w

設(shè)平面RBZ）的法向量為〃=（",%卬），貝l"_，即｛，則｛

v=3w

n-PD=0-2V2M+V2V-V2W=0l

令w=l,得到〃=(1,3,1),

設(shè)3。與平面尸3。所成的角為。，則sina=|cos(元用|=|蘭'抨二|=庠,

所以cosa=Jl-sin2a=上"1,

11

所以直線叱與平面的所成角的余弦值為答.

18.(1)an=n(2),77=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差〃后可得通項(xiàng)公式;

(2)由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求得S“，可求得加.

【詳解】

解：(1)設(shè)｛q｝的公差為d,由題設(shè)得

an=1+(〃-1)J

因?yàn)?=24，

所以l+(6_l)d=2[l+(3_l)d]

解得d=l,

故見(jiàn)=〃.

(2)由(1)得d=2".

所以數(shù)列｛2｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以s“==2"T—2,

"1-2

由S,“=62得2"用一2=62,

解得m=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法.

5049

19.(1)分布見(jiàn)解析，期望為二；(2)

3216

【解析】

(I)先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫(xiě)出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元，可能是三次二等獎(jiǎng)，也可能是一次一等獎(jiǎng)，兩次三等獎(jiǎng)，然后分別求解概率即可.

【詳解】

(1)由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40

C31c31

且P(X=40)='=z，P(X=20)=X=z，

/leO/LO

2

所以P(X=10)=l-P(X=40)—P(X=20)=—，

3

即隨機(jī)變量X的概率分布為

X102040

211

rp

366

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=10X2+20X'+40X2=^.

3663

(2)由題意知，趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)恰好獲得60元為事件A,

因?yàn)?0=20x3=40+10+10,

所以P⑷電十4|)2?條

【點(diǎn)睛】

本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步，再求解對(duì)應(yīng)的概率，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2

20.(I)a=0.016.0.2(II)見(jiàn)解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(皿)見(jiàn)解析，y

【解析】

(I)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.

(II)完善列聯(lián)表，計(jì)算6=9>7.879，對(duì)比臨界值表得到答案.

(m)X的取值為。,1,2,,計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(I)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率P=0.16+0.04=0.2.

(ED

安全意識(shí)安全意識(shí)合

強(qiáng)不強(qiáng)計(jì)

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

計(jì)

2(16x46—4x34)2x100一?！?/p>

K-=-----------------------------=9n>7.879，

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)

cm)x的取值為i,2,

尸2。)噬嘿尸(X=l)=管啜尸-2)啜喉

所以X的分布列為

X012

12323

P

199595

4403~、八3262

期望E(X)=—+—=-.

95955

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

21.(1)(x-2)2+(y+2)2=8,以(2,—2)為圓心，2及為半徑的圓；⑵sina=—

4

【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀;

(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與C,的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程中/的幾何意義結(jié)合—L—+—^=業(yè)求解出

\MA\\MB\4

sincr的值.

【詳解】

解：(1)由。=4/cos16+(),得。=4cos6-4sin。，所以"=4pcos。一4Psind,

即f+y?=4x—4y,(x-2)2+(y+2)2=8.

所以曲線G是以Q,-2)為圓心，2a為半徑的圓.

x=Zcosac.

(2)將〈..代入(x—2)2+(y+2)2=8,

y=-2+tsina

整理得八一4.cosa-4=0.

設(shè)點(diǎn)A，'所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為乙，t29

則八+12=4cosa,印2=一4.

11|M4|+|M8|同+/2|_『T2|_-4v2_Jl6cos2a+16_VF7,

|MA|\MB\一|MA||MB\一|心|-4-4-4-~4~'

解得cos2<z=!，則sina=Jl-cos2a=Y^5.

164

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及根