2024高考數(shù)學(xué)備課技巧

2024高考數(shù)學(xué)備課技巧

目錄

1.第1講函數(shù)與方程思想.....................................................2

1.1.應(yīng)用（一）借助"函數(shù)關(guān)系”解決問(wèn)題........................................2

1.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］...............................................................3

1.3.應(yīng)用（二）轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題..........................................4

1.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］...............................................................5

1.5.應(yīng)用（三）構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題..........................................6

1.6.［應(yīng)用體驗(yàn)］...............................................................7

1.7,應(yīng)用（四）構(gòu)造方程形式解決問(wèn)題.......................................8

1.8.［應(yīng)用體驗(yàn)］...............................................................9

1.9.應(yīng)用（五）轉(zhuǎn)換方程形式解決問(wèn)題.........................................10

1.10.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................11

1.11.函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用主要涉及以下知識(shí)........................12

2.第2講數(shù)形結(jié)合思想........................................................13

2.1.應(yīng)用（一）利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.........................13

2.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................14

2.3.應(yīng)用（二）利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問(wèn)題.............................15

利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍問(wèn)題的技巧................................15

2.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................15

2.5.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................17

3.第3講分類(lèi)討論思想........................................................18

3.1.應(yīng)用（一）由概念、法則、公式引起的分類(lèi)討論.........................19

3.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................19

3.3,應(yīng)用（二）由運(yùn)算、性質(zhì)引起的分類(lèi)討論...............................20

3.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................21

3.5,應(yīng)用（三）由參數(shù)變化引起的分類(lèi)討論..................................22

3.6.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................23

3.7.應(yīng)用（四）根據(jù)圖形位置或形狀分類(lèi)討論...............................24

所以直線BM的方程為........................................................24

3.8.［應(yīng)用體驗(yàn)］.............................................................25

1.分類(lèi)討論的原則.............................................................26

2.分類(lèi)討論的本質(zhì)與思維流程..................................................26

第1頁(yè)共36頁(yè)

4.第4講轉(zhuǎn)化與化歸思想......................................................26

4.1.應(yīng)用（一）正與反的轉(zhuǎn)化...............................................27

4.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................27

4.3.應(yīng)用（二）常量與變量的轉(zhuǎn)化..........................................28

4.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................29

4.5.應(yīng)用（三）特殊與一般的轉(zhuǎn)化..........................................29

4.6.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................31

4.7,應(yīng)用（四）函數(shù)、方程、不等式間的轉(zhuǎn)化.................................31

4.8.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................32

4.9.［應(yīng)用體驗(yàn)］..............................................................34

1.轉(zhuǎn)化與化歸的原則..........................................................34

2.轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想......................................................35

1.第1講函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)

題.方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化

為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組或不

等式組）來(lái)使問(wèn)題獲解.方程是從算術(shù)方法到代數(shù)方法的一種質(zhì)的飛躍，有

時(shí)，還可以將函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初

等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解（證明）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值

等問(wèn)題；二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研

究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

LL應(yīng)用（一］借助“函數(shù)關(guān)系”解決問(wèn)題

在方程、不等式、三角、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問(wèn)題中，將原有隱含的函

數(shù)關(guān)系凸顯出來(lái)，從而充分運(yùn)用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)方法使問(wèn)題順利獲解.

3

［例1］已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若al=5，an+2an+l=0>

1

則Sn一4的最大值與最小值的積為.

第2頁(yè)共36頁(yè)

［解析］因?yàn)閍n+2an+l=0,所以哼、一段，所以等比數(shù)列｛an｝的公

dll乙

3

1e、，3…，辦一

比為一7，因?yàn)閍l=5，所以Sn=一

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=l+ld,Sn隨著n的增大而減小，則IVSnWSl

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=l-(1P，Sn隨著n的增大而增大，則,=S2WSn

71

故一不?<().

<1,=12WSn—Sn

157

綜上，Sn一表的最大值與最小值分別為也一￡.

、noiz

故Sn—的最大值與最小值的積為無(wú)(一書(shū)=一蔡

\no\izy/z

［技法領(lǐng)悟］

數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n

項(xiàng)和公式都具有隱含的函數(shù)關(guān)系，都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，在解等差數(shù)列、

等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，有意識(shí)地凸現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系，從而用函數(shù)思想或函數(shù)方法研

究、解決問(wèn)題，不僅能獲得簡(jiǎn)便的解法，而且能促進(jìn)科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高

發(fā)散思維的水平.

1.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］

1.已知等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足3a4=7a7,al>0,Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，

則Sn取得最大值時(shí)n=.

解析：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,V3a4=7a7,/.3(al+3d)=7(al+

n(n—1)(33、

6d］,/.4al=-33d.Val>0,d<0,Sn=nal+-------2-----d=n(—彳dj+

；.n=9時(shí),Sn取得最大

第3頁(yè)共36頁(yè)

值.

答案：9

.J3

2.（2018?北京高考）若△ABC的面積為V（a2+c2—b2）,且“為鈍角,

c

則NB=______，:的取值范圍是______

d

a2+c2—b2

解析：由余弦定理得cosB=

2ac

/.a2+c2-b2=2accosB.

又???S=](a2+c2—b2),

1\/|

..^acsinB=4XzaccosB,

tanB={§,

???/8=于

2幾JI

又?.zC為鈍角,ZC=-y~—4A＞彳,

JI

???0vNA/

f2n

sinl^-zA

II-tt弓玄/E里3sinA

^cosA+jsinA

1』也.1

sinA2'2tanA,

?.?0<tanA碧，.?.嬴

二量+坐X#=2，

即三＞2.

a

JI

答案：y(2,+00)

1.3.應(yīng)用（二］轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題

在有關(guān)函數(shù)形態(tài)和曲線性質(zhì)或不等式的綜合問(wèn)題、恒成立問(wèn)題中，經(jīng)常需

要求參數(shù)的取值范圍，如果按照原有的函數(shù)關(guān)系很難奏效時(shí)，不妨轉(zhuǎn)換思維角

第4頁(yè)共36頁(yè)

度，放棄題設(shè)的主參限制，挑選合適的主變?cè)?，揭示它與其他變?cè)暮瘮?shù)關(guān)

系，切入問(wèn)題本質(zhì)，從而使原問(wèn)題獲解.

-1■

［例2］已知函數(shù)h(x)=xlnx與函數(shù)g(x)=kx—1的圖象在區(qū)間仁，ej±

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

「1］(1"

A.Lee—1」B.I1,1+~e」

C.［1,e-1］D.(l,+oo)

1

［解析］令h(x)=g(x),得xlnx+l=kx,即「+lnx=k.令函數(shù)f(x)=lnx

iri-

+-,若方程xlnx—kx+l=O在區(qū)間1e上有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)f(x)=

1「111111

Inx+i與y=k在區(qū)間1e上有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，fz令工一或

=0可得x=l,當(dāng)xe點(diǎn)1)時(shí)，f'(x)V0,函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)x€(l,e)時(shí)，

f'(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的極小值，也是最小值為=而fQj=

11

-1+e,f(e)=l+-,又一l+e>l+g,所以，函數(shù)的最大值為e—l.所以關(guān)于

-1一,

x的方程xlnx—kx+l=0在區(qū)間展，e上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范

圍是(1,1+：.故選B.

［答案］B

［技法領(lǐng)悟］

發(fā)掘、提煉多變?cè)獑?wèn)題中變?cè)g的相互依存、相互制約的關(guān)系，反客為

主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問(wèn)題獲解，

是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=t+lnx的單

調(diào)性巧妙地求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.此法也叫主元法.

1.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.對(duì)于滿(mǎn)足0vpw4的所有實(shí)數(shù)p,使不等式x2+px>4x+p—3成立的x

的取值范圍是.

第5頁(yè)共36頁(yè)

解析：設(shè)f(p)=(x—l)p+x2—4x+3,

則當(dāng)x=l時(shí)，f(p)=O.

所以XHl.

f(0)>0,

函數(shù)f(p)在［0,4］上恒為正，等價(jià)于，c

［f(4)>0,

(x—3)(x—1)>0,

即Jc,c解得x>3或XV—1.

,x2—1>0,

答案：(-8,-l)u(3,+8)

4.已知函數(shù)f(x)=F3—那2+(a+l)x+l,其中a為實(shí)數(shù).

(1)已知函數(shù)f(x)在x=l處取得極值，求a的值；

(2)已知不等式F(x)>x2—x—a+l對(duì)任意ae(0,都成立，求實(shí)數(shù)x

的取值范圍.

解：(l)F(x)=ax2—3x+a+l,由于函數(shù)f(x)在x=l處取得極值，

/.fz(1)=0,即a—34-a+l=0,/.a=l.

(2)由題設(shè)，知ax2—3x+a+l>x2—x—a+1對(duì)任意a￡(0,+8)都成

立，

即(x2+2)a—x2—2x>0對(duì)任意a6(0,+8)都成立.

設(shè)g(a)=(x2+2)a—x2—2x(aCR),

則對(duì)任意xeR,g(a)為單調(diào)遞增函數(shù)(aeR),

對(duì)任意ae(0,+oo),g(a)>0恒成立的充要條件是g(0)20,

即一x2—2x20,-2<x<0.

于是x的取值范圍是［—2,0］.

1.5.應(yīng)用(三)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題

在數(shù)學(xué)各分支形形色色的問(wèn)題或綜合題中，將非函數(shù)問(wèn)題的條件或結(jié)論，

通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造出某些函數(shù)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上利用

函數(shù)思想和方法使原問(wèn)題獲解，這是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn).特別要

注意的是，構(gòu)造時(shí)，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類(lèi)比、聯(lián)想的因素，促進(jìn)

思維遷移.

［例3］已知函數(shù)f(x)=ex—2x+2a,xGR,aGR.

第6頁(yè)共36頁(yè)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當(dāng)a>ln2—1且x>0時(shí)，ex>x2—2ax+l.

［解］(1)由f(x)=ex—2x+2a,知f(x)=ex—2.

令F(x)=O,得x=ln2.

當(dāng)xvln2時(shí),f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,In2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>In2時(shí)，f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(In2,+8)上單調(diào)遞增.

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,In2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+oo),

f(x)在x=ln2處取得極小值f(ln2)=eln2-21n2+2a=2-21n2+2a.

(2)證明：設(shè)g(x)=ex—x2+2ax—l(xzO),

貝Ug'(x)=ex—2x+2a,

由(1)知g'(x)min=g'(In2)=2—21n2+2a.

又a>ln2—1,則g'(x)min>0.

于是對(duì)VxGR,都有g(shù)'(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

于是對(duì)Vx>0,都有g(shù)(x)>g(O)=O.

即ex—x2+2ax—1>0,故ex>x2—2ax+l.

［技法領(lǐng)悟］

一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a,b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)

一g(x),通過(guò)分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)證明不等式.若F(a)=O,只需證明

F(x)在(a,b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=O,只需證明F(x)在(a,b)上單調(diào)遞減

即可.

1.6.［應(yīng)用體驗(yàn)］

5.(2018?天津高考)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB1BC,

.若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，

AD±CD,ZBAD=120°,AB=AD=1ECDA

則NF?下E的最小值為()

213

AmB，2

25

C.T7D.3

第7頁(yè)共36頁(yè)

解析：選A如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在的直線為x

軸，DC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，連接AC.

由題意知NCAD=zCAB=60。，ZACD=zACB=30°,

則D(0,0),A(l,0),B修,坐)，

C(0,啊.設(shè)E(0,y)[0<y<V3),

則福=(—1,y),用甘=(—|,y-

禍磔=|+y2—彩=(y一鳴篇

當(dāng)丫=乎時(shí)，N『能有最小值H.故選A.

6.(2019?洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函

_f(e)f(ln2)

數(shù)為y=F(x),當(dāng)x>0時(shí)，x?(x)-f(x)<0,若a=F-b=]n2，c

f(—3)

—3一,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<c<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

f(x)

解析：選由題意，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

Dg(x)=--X-x>0g'(x)=

xf'(x)—f(X)

二?函數(shù)在上單調(diào)遞減.???函數(shù)為奇函

x2<0,g(x)(0,+s)f(x)

f(—3)

數(shù)，，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，，c=———=g(—3)=g(3),又a=g(e),b=

g(ln2),且3>e>l>ln2>0,/.g(3)<g(e)<g(ln2),「.cVaVb.故選D.

1.7,應(yīng)用(四)構(gòu)造方程形式解決問(wèn)題

分析題目中的未知量，根據(jù)條件分別列出關(guān)于未知數(shù)的方程(組)，使原問(wèn)

題得到解決，這就是構(gòu)造方程法，是應(yīng)用方程思想解決非方程問(wèn)題的極富創(chuàng)造

力的一個(gè)方面.

[例4](2018?全國(guó)卷ni)已知點(diǎn)M(—1,1)和拋物線C：y2=4x,過(guò)C的

焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若ZAMB=9O。，則k=.

第8頁(yè)共36頁(yè)

[解析]由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(l,0),

設(shè)直線方程為y=k(x—1),

直線方程與y2=4x聯(lián)立，消去y,

得k2x2—(2k2+4)x+k2=0.

設(shè)A(xl,y1),B(x2,y2),

2k2+4

貝！Jxlx2=l,xl+x2=--

由M(—l,1),得可而=1-yl),

百而=(一1一x2,l-y2).

由zAMB=90。，得五曲?后而=0,

(xl+1)(x2+1)+(y1—1)(y2—1)=0>

/.xlx2+(xl+x2)+l+yly2—(yl+y2)+l=0.

又yly2=k(xl-1)-k(x2-1)=k2[xlx2-(xl+x2)+1],yl+y2=k(xl+

x2-2),

2k2+4(2k2+4

.\1+-+l+k21+12+1=0,

K19Zkk2

44

整理得合一看+1=0,解得k=2.

K4K

［答案］2

［技法領(lǐng)悟］

本題由ZAMB=9O。，知A而歷而=0,從而得出關(guān)于k的方程，問(wèn)題即可解

決.

L8.［應(yīng)用體驗(yàn)］

7.(2019?福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且a8—a5=

9,S8-S5=66,貝Ua33=()

A.82B.97

C.100D.115

a8—a5=9,

解析：選C設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則由＜得

S8-S5=66

第9頁(yè)共36頁(yè)

■(al+7d)-(al+4d)=9,d=3,

<所以a33=al+32d=4+

.(8al+28d)-(5al+10d)=66,al=4,

32x3=100.故選C.

8.(2018?浙江高考)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若

a=S，b=2,A=60°,則sinB=,c=.

解析：由正弦定理溫得sinB若?sinA=^X*="|工

sinAsinDa77乙/

由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,

得7=4+c2-4cxcos60°,

即c2—2c—3=0,解得c=3或c=—1(舍去).

答案：方一3

1.9.應(yīng)用(五)轉(zhuǎn)換方程形式解決問(wèn)題

把題目中給定的方程根據(jù)題意轉(zhuǎn)換形式，凸現(xiàn)其隱含條件，充分發(fā)揮其方

程性質(zhì)，運(yùn)用有關(guān)方程的解的定理(如根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、實(shí)根分布的

充要條件)使原問(wèn)題獲解，這是方程思想應(yīng)用的又一個(gè)方面.

21tanex

［例5］已知sin(a+B)=y,sin(a—0)=于求而?。莸闹?

［解］法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得

-2

sinacos6+cosasinB=亨

<

1

sinacosP-cosasinB=g,

廣…137

所以sinacos3=五，cosasinB

tanasinacosB13

tanB-cosasinP_7,

tanasin(a+0)10

法二:令,.因?yàn)?/p>

tanBsin(a-p)3

sin(a+0)tana

sin(a+p)cosacosBtana+tanBtanBx+1

□...,

sin(a—p)sin(a—0)tana—tanBtanax—1'

cosacosBtanB

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所以得到方程巖=孚解方程得黑￡=x=￥.

［技法領(lǐng)悟］

本例解法二運(yùn)用方程的思想，把已知條件通過(guò)變形看作關(guān)于sinacosB

與cosasinB（或需的方程來(lái)求解，從而獲得欲求的三角表達(dá)式的值.

1.10.［應(yīng)用體驗(yàn)］

9.設(shè)非零向量a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0,|a|=2,b,c=120°,則

|b|的最大值為.

解析：ra+b+c=0,/.a=—［b+c］,

|a|2=|b|2+2|b||c|cos120°+|c|2,

即|c|2一|b||c|+|b|2-4=0,

/.A=|b|2一4（|b|2-4）>0,

解得0<|b|4乎，即|b|的最大值為挈.

答案：挈

10.（2019?全國(guó)卷ni）設(shè)Fl,F2為橢圓C：||+$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為

C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMFIF2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以F1為圓心，焦距為半

徑的圓上，即在圓（x+4）2+y2=64上.

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓||+券=1上，

（x+4）2+y2=64,

所以聯(lián)立方程可得x2,y2

原+的=1，

x=3,

解得r-

ly=±V15.

又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,店）.

答案：（3,V15）

［總結(jié)升華］

第11頁(yè)共36頁(yè)

1.11.函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用主要涉及以下知識(shí)

(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性

質(zhì)可解決相關(guān)的問(wèn)題，常涉及不等式恒成立問(wèn)題、比較大小問(wèn)題.一般利用函

數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解.

(2)三角函數(shù)中有關(guān)方程根的計(jì)算，平面向量中有關(guān)模、夾角的計(jì)算，常轉(zhuǎn)

化為函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

(3)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去

處理數(shù)列問(wèn)題，常涉及最值問(wèn)題或參數(shù)范圍問(wèn)題，一般利用二次函數(shù)或一元二

次方程來(lái)解決.

(4)解析幾何中有關(guān)求方程、求值等問(wèn)題常常需要通過(guò)解方程(組)來(lái)解決，

求范圍、最值等問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值來(lái)解決.

(5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或

建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.

第12頁(yè)共36頁(yè)

2.第2講數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化

來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：

以形助數(shù)以數(shù)助形

借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些

系.以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸，借屬性.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何

助函數(shù)圖象，借助單位圓，借助數(shù)式的軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系，借助于運(yùn)算結(jié)

結(jié)構(gòu)特征，借助于解析幾何方法果與幾何定理的結(jié)合

由“形，，到“數(shù)，，的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的

意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)"到“形”的轉(zhuǎn)化.

2.1.應(yīng)用(一］利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

g(x),x<0,

［例1］已知函數(shù)g(x)=a—x2—2x,f(x)=,且函數(shù)y=

lg(x—1),x>0,

f(x)—x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

a—x2—2x,

［解析］f(x)=1y=f(x)—X恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于

x2十1,x30,

y=f(x)與y=x有三個(gè)不同的交點(diǎn)，試想將曲線f(x)上下平移使之與y=x有三

個(gè)交點(diǎn)是何等的復(fù)雜，故可變形再結(jié)合圖象求解.

a—x2—3x,x<0,

由f(x)—x=j,、

a—x2—x+1,x20,

—x2—3x,x<0,

可得f(x)—x=a+<

—x2—x+1,x20,

所以y=f(x)—x有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于

x2+3x,x<0,

a=j,xM有三個(gè)根.

x2+x-1,

第13頁(yè)共36頁(yè)

x2+3x,x<0,

令h(x)=j.、

［x2+x—1,x20,

畫(huà)出y=h(x)的圖象如圖所示，將水平直線y=a從上向

下平移，當(dāng)a=0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，再向下平移，有三個(gè)交

點(diǎn)，當(dāng)a=-1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，再向下就只有兩個(gè)交點(diǎn)了，

因此ae［-l,0).

［答案］［—1,0)

［技法領(lǐng)悟］

利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)

(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論

兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面

性，否則會(huì)得到錯(cuò)解.

(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)

為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合.

2.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］

1.已知f(x)=|x|+|x—1］,若g(x)=f(x)—a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不為0,則a的最

小值為.

(1—2x,x<0,

解析：原方程等價(jià)于f(x)=Jl，OWxWl,其圖象如圖所

I2x—1,x>l,

示，要使a=f(x)有零點(diǎn)，則aNl,因此a的最小值為1.

答案：1

Ixl,xWm,

2.已知函數(shù)f(x)=、其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使

x2-2mx+4m,x>m,

得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

解析：作出f(x)的圖象如圖所示.

當(dāng)x>m時(shí)，x2—2mx+4m=(x—m)2+4m—m2,

所以要使方程f(x)=b有三個(gè)不同的根，則有4m—

m2Vm,即m2—3m>0,又m>0,解得m>3.

答案：(3,+8)

第14頁(yè)共36頁(yè)

2.3.應(yīng)用(二)利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問(wèn)題

［例2］若不等式「9—x2Wk(x+2)—也的解集為區(qū)間［a,b］,且b—a

=2,則k=.

［解析］如圖，分別作出直線y=k(x+2)—正與半圓y

=^9—x2.

由題意，知直線在半圓的上方，且過(guò)定點(diǎn)A(—2,一何由b—a=2,可

知b=3,a=l,即直線與半圓交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1,代入y=.9T2=

2也，所以直線y=k(x+2)—也過(guò)點(diǎn)(1,2&),則k=kAN=畔三三方~

=呼他

［答案］.

［技法領(lǐng)悟］

利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍問(wèn)題的技巧

求參數(shù)范圍或解不等式問(wèn)題時(shí)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特

點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化

為數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

2.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.已知f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f(l)=O,若f(x—1)

>0,則x的取值范圍為()

A.{x［0<xVl或x>2}B.{x|x<0或x>2}

C.{x|xV0或x>3}D.{x|xV-l或x>l}

解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以=*r

0,又函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(一8,0)//

上單調(diào)遞增，所以可作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖，則不等式f(x

-l)>0可轉(zhuǎn)化為一lVx-lVO或x-l>l,解得OVxVl或x

>2.故選A.

4.若存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x€［0,m］,都有(sinx-a>(cosx-a)wO恒成

立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()

第15頁(yè)共36頁(yè)

JIJI

A彳B.y

3n5n

C.丁D.丁

解析：選C在同一坐標(biāo)系中，作出y=sinx和y=cosx的圖象,

JI

當(dāng)m=z時(shí)，要使不等式恒成立，只有a=華,

4,L

JI

當(dāng)m>1時(shí)，在x6[0,m]上，必須要求y=sinx和y=cosx的圖象不在y

\[53n

=a=華的同一側(cè).所以m的最大值是丁,故選C.

應(yīng)用(三)利用數(shù)形結(jié)合求解析幾何問(wèn)題

[例3](1)(2018?全國(guó)卷ni)設(shè)Fl,F2是雙曲線C：附一段=l(a>0,b>0)

的左、右焦點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若

|PF1|=V6|OP|,則C的離心率為()

A事B.2

C，V3D.V2

(2)已知圓C：(x—3)2+(y—4)2=1和兩點(diǎn)A(—m,0),B(m,

0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90。，則m的最大值為()

A.7B.6

C.5D.4

[解析]⑴

如圖，過(guò)點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線，垂足為

P',連接P'F2,由題意可知，四邊形PF1P'F2為平行

四邊形，且△PP'F2是直角三角形.

因?yàn)閨F2Pl=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.

又|PFl|=,a=|F2P'I，|PP'|=2a,

所以|F2Pl=V^a=b,所以c=[a2+b2=，§a,

第16頁(yè)共36頁(yè)

所以e=；=V^.故選C.

a

(2)根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4),半徑r

1

=1,且|AB|=2m,因?yàn)镹APB=90。，連接OP,易知|OP|=?|AB|=m.

要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)0的最大距離.因?yàn)閨0C|=

［32+42=5,所以|0P|max=|0C|+r=6,即m的最大值為6.故選B.

［答案］(1)C(2)B

［技法領(lǐng)悟］

(1)在解析幾何的解題過(guò)程中，通常要數(shù)形結(jié)合，這樣使數(shù)更形象，更直

白，充分利用圖象的特征，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，避免一

些復(fù)雜的計(jì)算，給解題提供方便.

(2)應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題需要熟悉常見(jiàn)的幾何意義的代數(shù)形

式，主要有：①比值一一可考慮直線的斜率；②二元一次式一一可考慮直線

的截距；③根式分式一一可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式一一可考慮兩點(diǎn)間

的距離.

2.5.［應(yīng)用體驗(yàn)］

5.過(guò)直線x+y—2啦=0上一點(diǎn)P作圓x2+y2=l的兩條切線，若兩條

切線的夾角是60。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

解析：如圖，由題意可知ZAPB=6O。，由切線性質(zhì)可知

zOPB=30。.在Rt^OBP中，OP=2OB=2,又點(diǎn)P在直線x

+y—2/=0上，所以不妨設(shè)點(diǎn)P(x,2/一x),則0P=

A/X2+(2V2-x)2=2,即x2+(2g一x)2=4,整理得x2

-2啦x+2=0,所以x=小,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(啦，啦).

答案：(小,衣］

6.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Fl,F2分別是雙曲線x2—y2=l的左、右焦

第17頁(yè)共36頁(yè)

點(diǎn)，P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作ZF1PF2的平分線的垂線，垂足為

H,則|0H|=(]

A.1B.2

1

C.4D，2

解析：選A如圖所示，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q,由PH為ZF1PF2的平

分線及PHJ_F1Q,可知|PF1|=|PQ|.

根據(jù)雙曲線的定義,得|PF2|一|PF1|=2,即|PF2|一|PQ|=

從而|QF2|=2.

在△F1QF2中，易知0H為中位線，則|OH|=1.

故選A.

［總結(jié)升華］

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題的3個(gè)原則

(1)等價(jià)性原則

在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)

出現(xiàn)漏洞，有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形

的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明.

(2)雙向性原則

在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩

方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析(或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析)在

許多時(shí)候是很難行得通的.

(3)簡(jiǎn)單性原則

找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來(lái)

敘述解題過(guò)程，則取決于哪種方法更為簡(jiǎn)單.

3.第3講分類(lèi)討論思想

在解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一

的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問(wèn)題包含了多種情況，這

就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在多個(gè)子

第18頁(yè)共36頁(yè)

區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為

特殊的解決問(wèn)題的方法，其研究方向基本是“分”，但分類(lèi)解決問(wèn)題之后，還

必須把它們總合在一起，這種“合一分一合”的解決問(wèn)題的過(guò)程，就是分類(lèi)討

論的思想方法.

分類(lèi)討論是許多考生的弱點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).分類(lèi)討論思想在函

數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何、概率等數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中有廣泛的應(yīng)

用.

3.1.應(yīng)用(一)由概念、法則、公式引起的分類(lèi)討論

［例1］等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn+2=

4Sn+3恒成立，則al的值為(］

A.-3B.1

C.-3或1D.1或3

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,當(dāng)q=l時(shí)，Sn+2=(n+2)al,Sn

=nal,由Sn+2=4Sn+3得，(n+2)al=4nal+3,即3aln=2al—3,若對(duì)

任意的正整數(shù)n,3aln=2al—3恒成立，則al=O且2al—3=0,矛盾，所

,”,al(1—qn)al(1—qn+2)

以附1,所以Sn=———,Sn+2=——

代入Sn+2=4Sn+3并化簡(jiǎn)得al(4—q2)qn=3+3al—3q,若對(duì)任意的正

4—q2=0,al=l,al=-3,

整數(shù)n該等式恒成立,則有《解得

13+3al—3q=0,lq=-2,

故al=l或一3.故選C.

［答案］C

［技法領(lǐng)悟］

本題易忽略對(duì)q=l的情況進(jìn)行討論，而直接利用Sn=317-qD)

(qHl),很容易造成漏解或增解，若本題是解答題，這種解答是不完備的.本

題根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的使用就要分q=l,Sn=nal和qHl,Sn=

進(jìn)行討論.

3.2.［應(yīng)用體驗(yàn)］

第19頁(yè)共36頁(yè)

sin(兀x2),—l<x<0,

1.已知函數(shù)f(x)=】若f(l］+f(a)=2,則a的所

、ex—1,x30,

有可能值為.

解析：f(l)=eO=l,即f(l)=l.

由f(l)+f(a)=2,得f(a)=l.

當(dāng)azO時(shí)，f(a)=l=ea—1,所以a=l.

當(dāng)一lvavO時(shí),f(a)=sin(na2)=l,

JI

所以na2=2kn+y(k￡Z).

11

所以a2=2k+2(k€Z),k只能取0,此時(shí)a2=1

因?yàn)橐籰<a<0,所以a=一坐.

故a=l或一座.

答案：1或一堂

2.若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a=l)在［-1，2］上的最大值為4,最小值為

m,且函數(shù)g(x)=(l-4mh&在［0,+8)上是增函數(shù)，則a=.

,,1

解析：若a>l,有a2=4,a—l=m,此時(shí)a=2,m=》此時(shí)g(x)=一

11

班為減函數(shù)，不合題意；若0<a<l,有a—1=4,a2=m,故a=］,m=云，

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

答案：4

3.3.應(yīng)用(二)由運(yùn)算'性質(zhì)引起的分類(lèi)討論

［例2］已知a>0,b>0且a=l,bWl,若logab>l,則()

A.(a—l)(b—1)<0B.(a-l)(a-b)>0

C.(b-l)(b-a)<0D.(b-l)(b-a)>0

［解析］；a>0,b>0且a=1,bWl,

...當(dāng)a>l,即a—1>0時(shí)，

第20頁(yè)共36頁(yè)

不等式Iogab>l可化為alogab>al,即b>a>l,

A(a-l)(a-b)<0,(a-l)(b-l)>0,(b-l)(b-a)>0.

當(dāng)OVaVl,即a-l<0時(shí)，

不等式logab>l可化為alogab<al,即0<b<a<l>

A(a-l)(a-b)<0,(a——(b—l)(b—a)>0.

綜上可知.故選D.

［答案］D

［技法領(lǐng)悟］

應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，往往對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行討論，這是由它的性

質(zhì)決定的.在處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間

段，再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，離開(kāi)定義域討論問(wèn)題是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因之

3.4.［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.在△ABC中，C=T",AB=2,AC=黃，則cosB的值為()

A.|B「坐

亞1

或一亍D］或一5

解析：選D由題意知C=7，c=AB=2,b=AC=加，

bc%sin?書(shū)

由正弦定理輸-sinC，侍sinB=2=2-

因?yàn)閎>c,所以B>C=z，

n2幾

又0<BV“，所以B=-y或亍.