專題2.12 等腰三角形的軸對(duì)稱性（分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.12等腰三角形的軸對(duì)稱性（分層練習(xí)）（提升練）一、單選題1．若是軸對(duì)稱圖形，中線所在直線為其唯一的一條對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng) B．的周長(zhǎng)C．的周長(zhǎng) D．以上都不對(duì)2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），下列說法正確的是（

）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，則AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，則AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，則∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，則∠BAC＝90°3．如圖，在中，，是邊上的兩點(diǎn)，且，，設(shè)，，則與之間的關(guān)系式為（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，有同學(xué)得出如下箏形的性質(zhì)，你認(rèn)為其中不正確的是（

）A．兩組鄰邊分別相等B．有一組對(duì)角相等C．兩條對(duì)角線相互垂直平分D．一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線垂直平分6．如圖，四邊形ABCD中，DE和DF恰好分別垂直平分AB和BC，則以下結(jié)論不正確的是（

）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠CC．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF7．如圖，中，，從以下條件①；②；③；④中，選出一個(gè)條件證明，那么符合要求條件的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，在中，的平分線與邊交于點(diǎn)，與外角的平分線交于點(diǎn)，若，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，連結(jié)DE、BD，若．下列結(jié)論：①AE垂直平分BD；②；③點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；④△CDB的周長(zhǎng)比△CDE的周長(zhǎng)大5．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在中，，的度數(shù)為α．點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），作于點(diǎn)D，連接，取上一點(diǎn)E，使得，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F之后，有．若記的度數(shù)為x，則下列關(guān)于的表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題11．若等腰三角形的腰長(zhǎng)恰好是方程的解，且它的底邊長(zhǎng)是偶數(shù)，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．12．如圖，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，將一個(gè)含30°的直角三角板如圖放置，若AC∥DE，則∠ABD＝．13．在中，，D為的中點(diǎn)，如圖所示，E為上一點(diǎn)，將沿著直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，分別聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)F．如果，那么（結(jié)果用用整數(shù)比比表示）14．將一個(gè)含角的三角板如圖放置，其中頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，且點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)相等，頂點(diǎn)在第四象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．15．如圖，在中，，，分別與、為直角邊向外作等腰直角、，連結(jié)交的延長(zhǎng)于點(diǎn)M，則的長(zhǎng)為cm．16．如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)O為原點(diǎn)，M為x軸正半軸上一點(diǎn)，且，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為．17．如圖，在中，，，，分別以、為一直角邊作等腰直角、，連接交的延長(zhǎng)線于F，則的面積為．18．如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)D為射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，，且，與所在的直線交于點(diǎn)P，若，則．三、解答題19．如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)P，使是以為底的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．（1）已知等腰的周長(zhǎng)是，且腰長(zhǎng)比底邊長(zhǎng)的2倍少4，求等腰的三邊的長(zhǎng)；（2）已知，，是的三個(gè)內(nèi)角，且，，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).21．如圖，已知等腰與等腰的頂角分別是和，，請(qǐng)說明．下面是解答過程，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上相應(yīng)的依據(jù)．

解答過程：因?yàn)榕c是等腰三角形，所以，（______）因?yàn)?，所以，（______）所以______，（等量代換）在和中，所以（______）．22．如圖，和都是等腰三角形，且，，如果點(diǎn)B，C，D在同一條直線上．那么與有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)說明理由．

23．直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，連接．以為斜邊作等腰直角，連接．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2所示，點(diǎn)E是直線上一點(diǎn)，且，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接．根據(jù)題意補(bǔ)全圖2，寫出線段之間的關(guān)系，并證明．24．定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．

（1）如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．（3）如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．參考答案1．B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到是以和為腰的等腰三角形，再根據(jù)對(duì)稱性可得結(jié)果．【詳解】解：由題意可得：是以和為腰的等腰三角形，且不是等邊三角形，∴，∴的周長(zhǎng)，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷出是等腰三角形．2．B【分析】根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判定可求解．【詳解】解：A．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，∵∠BAP=∠B，∴∠CAP=∠C，∴AP=PC，只有當(dāng)∠B=30°時(shí)，AC=PC，故錯(cuò)誤；B．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=90°，∵∠BAP=∠C，∴∠C+∠CAP=90°，∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，即AP⊥BC，故正確；C．∵AP⊥BC，PB=PC，∴AP垂直平分BC，而∠BAC不一定等于90°，故錯(cuò)誤；D．根據(jù)PB=PC，∠BAP=∠CAP，無(wú)法證明∠BAC=90°，故錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義表示求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∵在中，，∴，∴，即∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)．4．D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明PD是否是BC的垂直平分線，判斷即可．【詳解】因?yàn)锳B=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則A是真命題；因?yàn)镻B=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以AB=AC，則B是真命題；因?yàn)锳B=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則C是真命題；因?yàn)镻B=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相等，則D是假命題．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】將箏形分成兩個(gè)全等三角形，即可得出結(jié)論解．【詳解】解：連接AC和BD相交于點(diǎn)OAB＝AD，BC＝DC，AC＝AC（公共邊）ABCADC（SSS）ABC＝ADC.BAC＝DAC又知ABD是等腰三角形ACBD且OB＝OD故：A、B、D項(xiàng)成立，B不成立故選：C【點(diǎn)撥】本題考查推斷箏形的性質(zhì)，能夠掌握常見圖形的基本性質(zhì)，并能在理解的基礎(chǔ)上加以分析是解出此題的基本要求．6．D【分析】如圖，連接BD根據(jù)中垂線的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】證明：連接BD，∵DE和DF恰好分別垂直平分AB和BC∴AD=BD，CD=BD；∴AD=CD，選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵AD=BD，CD=BD∴∠A＝∠DBE，∠C＝∠DBC∴∠ABC＝∠A+∠C，選項(xiàng)B正確，不符合題意；又∵BD=CD,∠BFD＝∠DFC＝90°∴∠BDF＝∠FDC同理：∠ADE＝∠BDE∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF，選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵BE≠BF，選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的性質(zhì)．遇到中垂線，常常要將中垂線上的點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)連起來構(gòu)造等腰三角形來解題．7．C【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由，，無(wú)法證明，故①不符合題意；由，，，利用即可證明，則，故②符合題意；由，，，利用即可證明，則，故③符合題意；由，，，利用即可證明，則，故④符合題意，綜上分析可知，符合條件的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】由全等三角形的性質(zhì)得到，，，推出；利用等角對(duì)等邊推出；利用等腰三角形的性質(zhì)推出；據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，∴，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵是的平分線，∴，∴，∴，∴，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵是的平分線，∴，即，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；沒有理由能證明，故D選項(xiàng)不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)翻折后圖形大小不變，三角形的外角和，三角形周長(zhǎng)，即可判斷出正確．【詳解】∵是翻折而得的∴，∴垂直平分故正確；∵中，，∴∴∴∴故正確；∵是翻折而得的∴，∴∵∴∴∴，但∴不是的中點(diǎn)故錯(cuò)誤；∵∴故正確．故正確的結(jié)論的是：．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查翻折的性質(zhì)和三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，三角形外角和定理，三角形周長(zhǎng)等．10．B【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出，由三角形外角的性質(zhì)可求，由平角的定義即可求出．【詳解】∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．11．6【分析】先求出方程的解得到腰長(zhǎng)，再根據(jù)底邊為偶數(shù)和三角形三邊關(guān)系得出底邊長(zhǎng)即可求解．【詳解】解：，∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為2，又由它的底邊長(zhǎng)是偶數(shù)，且三角形的三邊關(guān)系可得底邊長(zhǎng)為2，∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程，等腰三角形和三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．12．15°/15度【分析】根據(jù)AC∥DE，可得∠ACB=∠E=30°，再由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠A=∠ABC=75°，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠E=30°，∠DBE=60°，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠E=30°，∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=75°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=15°，故答案為：15°【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．5:6:7【分析】根據(jù)點(diǎn)B沿折疊，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在延長(zhǎng)線上，得出垂直平分可求，可證，求出，利用角的和差，利用三角形內(nèi)角和即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B沿折疊，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在延長(zhǎng)線上，∴垂直平分，∴（垂直平分線性質(zhì)）．∴，∴（外角性質(zhì)），又∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴（三角形內(nèi)角和），∴．故答案為：5:6:7．【點(diǎn)撥】本題考查折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系得出答案即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)分別作軸于，軸于，過點(diǎn)作軸于，點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)相等，設(shè)點(diǎn)，則，是含有角的三角板，，，，又，，在與中，，，，，設(shè)，則，點(diǎn)在第四象限，，又點(diǎn)，，，；故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．15．2【分析】過點(diǎn)E作于H，由得，，再證明得即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于H，∵，，∴，∵，，∴，∵和都是等腰三角形，∴，，，在和中，，∴（AAS），∴，，在和中，，∴（AAS）．∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，掌握添加輔助線的方法．16．或或【分析】分兩種情況：①點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)；②點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)．然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：分兩種情況：①點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，，，以點(diǎn)P、O、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，只能是頂角，這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為；②點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，，，以點(diǎn)P、O、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，當(dāng)為頂角時(shí)，這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為；當(dāng)為底角時(shí)，這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為：；綜上所述，這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，靈活地進(jìn)行分類討論是解答此題的關(guān)鍵．17．【分析】作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．先證≌，推出，，再證≌，推出，最后利用三角形面積公式即可求出的面積．【詳解】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則，，是等腰直角三角形，，，，．在和中，∵，≌,，．是等腰直角三角形，，，．在和中，

∵，≌,．．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積公式等，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．18．/【分析】作，交的延長(zhǎng)線于H，利用證明，得，，再證明，得，從而解決問題．【詳解】解：作，交的延長(zhǎng)線于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，設(shè)，則，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．19．見解析【分析】作邊的垂直平分線l，與交于點(diǎn)P即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的定義，垂直平分線的性質(zhì)和作法，解題的關(guān)鍵是確定等腰三角形的底，從而找到對(duì)應(yīng)的作圖步驟．20．（1）；（2），，【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)出未知數(shù)，列方程組即可求解；(2)根據(jù)已知，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)等腰的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，根據(jù)題意得，解得，∴等腰的三邊的長(zhǎng)為；解：（2）∵，，∴，，∵，∴，解得，∴，，∴的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．等腰三角形的定義；等式的性質(zhì)；；【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，三角形全等的判定方法，即可填空．【詳解】因?yàn)榈妊c等腰的頂角分別是和，所以，（等腰三角形的定義），因?yàn)椋?，（等式的性質(zhì)），所以，（等量代換），在和中，所以【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的定義和三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是掌握判定定理，進(jìn)行求解．22．，，理由見解析【分析】求出