空間角-二面角

空間角—二面角高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)組復(fù)習(xí)根底知識(shí)：1、定義：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

2、范圍：［0,π］3、二面角的平面角的性質(zhì)：

〔1〕

二面角的平面角有無(wú)數(shù)多個(gè)，但它們都相等。

〔2〕二面角的棱垂直二面角的平面角所在平面。

〔3〕二面角的平面角所在平面垂直二面角的兩個(gè)半平面。

4、二面角的求法：

〔1〕定義法：由定義，在棱上取一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作與棱垂直的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角?！?〕三垂線定理〔或其逆定理〕：在二面角的一個(gè)面內(nèi)取一點(diǎn)P作另一個(gè)面的垂線PA，在由垂足A作二面角的棱的垂線AO，AO與棱交于點(diǎn)O，那么∠POA即為二面角的平面角或其補(bǔ)角?！?〕垂面法：過(guò)空間一點(diǎn)作棱的垂面，垂面與二面角的兩個(gè)面的交線所成的角是二面角的平面角。例題：在四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD。設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B—PC—D的大小解法一：過(guò)D作DE⊥PC于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥PC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)FD，那么∠DEF為二面角B—PC—D的平面角?！逷A⊥面ABCD，∴AD為PD在平面AC內(nèi)的射影。又∵CD⊥AD，∴CD⊥PD。在Rt△PCD中，PD=a，PC=a,∴DE=a，EC=a。在Rt△PBC中，F(xiàn)E=a，F(xiàn)C=∴DF=a?！郈OS∠DEF==－∴二面角B—PC—D的大小為解法二：過(guò)A作AM⊥PB，垂足為M，∵平面PAB⊥平面PBC，∴AM⊥平面PBC過(guò)A作AN⊥PD于點(diǎn)N，同理AN⊥平面PCD?！郟C⊥AN，PC⊥AM。∴PC⊥面AMN，設(shè)垂足為Q，那么∠MQN即為所求?！連A⊥平面PAD，

∴MA為平面PAD的斜線。又∵平面PAB⊥平面PAD，∴MA在平面PAD內(nèi)的射影在交線PA上?！唷螹AP為斜線AM與平面PAD所成的角∵cos∠MAN=cos∠MAP·cos∠PAN∴cos∠MAN=×=∴∠MQN=π－∠MAN=∴二面角B—PC—D的大小為解法三：過(guò)B作BF⊥AC，垂足為F，過(guò)F作FN⊥PC于點(diǎn)N，連結(jié)BN，∵平面PAC⊥平面ABCD，∴BF⊥平面PAC?！郚F為BN在平面PAC內(nèi)的射影?！逨N⊥PC，∴BN⊥PC∴∠BNF為二面角B—PC—A的平面角。

過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)E作EM⊥PC于點(diǎn)M，連結(jié)DM。同理可證∠DME為二面角D—PC—A的平面角∴二面角B—PC—D的大小為∠BNF+∠DME?！遱in∠BNF=,cos∠BNF=

sin∠DME=,cos∠DME=∴cos(∠BNF+∠DME〕=－∴所求二面角的大小為練習(xí)1：一個(gè)山坡的傾角與水平面成30o角，坡面上有一直道，它和坡腳的水平線成60o，沿這條山路行走20米，升高了

米PBA練習(xí)2、二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為，4。到棱的距離為