2023學(xué)年完整公開課版角平分線

1.4角平分線（2）已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C.3.作射線OC.請你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實掌握.ABOC則射線OC就是∠AOB的平分線.DE定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).OCB1A2PDE逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.如圖,∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點P在∠AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.從這個結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?OCB1A2PDE剪一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.結(jié)論:三角形三個角的平分線相交于一點.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個命題嗎?觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?命題:三角形三個角的平分線相交于一點.如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,∴△ABC的三條角平分線相交于一點P.怎樣證三條直線交于一點基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一點,只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).老師提示:這又是一個證明三條直線交于一點的根據(jù)之一這個交點叫做三角形的內(nèi)心.ABCPMNDEF如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出其過程.(1)如果CD=4cm,AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.EDABC1.如圖,已知△ABC,作△ABC一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線,看它們是否交于一點?這樣的點有幾個?如果以這個點為圓心,這一點到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個圖形嗎?ABC老師提示:三角形一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線交于一點,這個的點叫做三角形的旁心.這樣點有三個.定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等(這個交點叫做三角形的內(nèi)心).三角形一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線交于一點,這個的點叫做三角形的旁心.這樣點有三個.OCB1A2PDE1.已知:如圖,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分線.求證:BD=2CD.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.ABCD2.已知:如圖,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線相交于點F.求證:點F在∠DAE的平分線上.老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣.ABCFDE3.已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一點,PC⊥OA,PD⊥