專題05 解析幾何（解答題10種考法）講義（解析版）

專題05解析幾何（解答題10種考法）考法一定點(diǎn)【例11】（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎c(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)為.【解析】（1）設(shè)到漸近線，即的距離為，則，結(jié)合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設(shè)，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因?yàn)橹本€不過，即，，所以，即，所以直線，即過定點(diǎn).【例12】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).【例13】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作直線軸，垂足為，且.(1)求拋物線的方程；(2)若為上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且直線與直線交于點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意，可設(shè)直線的方程為，將代入，消去得，設(shè)，，則，，是線段的中點(diǎn)，，，即，又軸，垂足的坐標(biāo)為，則，，，對(duì)任意的恒成立，，又，解得，故拋物線的方程為.（2）

設(shè)，，，由（1）可知，，，則，直線的方程為，令，則，，同理，由拋物線的對(duì)稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，且，，，或，以為直徑的圓過定點(diǎn)和.【變式】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率是，上、下頂點(diǎn)分別為，.圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，且.(1)求的方程；(2)直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由已知得，，.則，，，所以.因?yàn)?，又，所以?故的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即.設(shè)，，則，.由化簡(jiǎn)，得，由韋達(dá)定理，得所以，所以，故，即以為直徑的圓過原點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為或.這時(shí)，或，.顯然，以為直徑的圓也過原點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過原點(diǎn).3（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)或(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)．因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過定點(diǎn)．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，同理可得，．因?yàn)?，．所以，所以是定?【變式】1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為根據(jù)題意得，解得故所求橢圓方程為（2）如下圖所示：設(shè)直線交該橢圓與兩點(diǎn)．將代入得所以由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，可得，即整理得，即即，所以當(dāng)時(shí)，不論為何值時(shí)都成立，所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時(shí)直線的斜率為定值2．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為.點(diǎn)是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線分別與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）解：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，即所以，可得，由橢圓的離心率，可得，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立方程，整理得，則，

同理可得，．因?yàn)?，所以所以是定值?.（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個(gè)點(diǎn)，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是定值16．【解析】（1）拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn)，由對(duì)稱性，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線T上，則拋物線只可能開口向上或開口向右，設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，拋物線過點(diǎn)，∴符合題意；設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，但拋物線不過點(diǎn)，不合題意．綜上，拋物線T的方程為．（2），設(shè)直線，即，由AB與圓相切得，∴，設(shè)，同理可得，∴是方程的兩根，．聯(lián)立，消y得，∴，同理，∴所以為定值16．考法三定直線【例3】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【變式】1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.2．（2023·江蘇常州·校考一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意可知，因?yàn)?，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡(jiǎn)得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達(dá)定理，得，．代入（*）化簡(jiǎn)得，即．又，代入上式，得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)總在一條定直線上．考法四最值【例4】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．【變式】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點(diǎn)滿足.(1)化簡(jiǎn)曲線的方程；(2)已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，過點(diǎn)A作直線的垂線，交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】（1），由得．所以曲線的方程是；（2）設(shè)，直線方程是，則直線方程為，即,直線與已知圓相切，所以，則，由得，，由題意（∵），，，∴或，，又原點(diǎn)到直線的距離為，∴，由或得，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴時(shí)，，∴，即時(shí)，．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）如圖所示，由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為（），，，設(shè)圓N的半徑為r，，，，，所以，又因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閳AN與直線l相切于點(diǎn)M，所以，且，所以，所以，解得，所以，，解得：，所以（），所以，即，所以圓N的半徑r的取值范圍為.（2）由（1）知，，所以（），令，則（），所以，顯然在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故的取值范圍為.3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點(diǎn)為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）

設(shè)，把代入，得，則，，，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因?yàn)椋?，由，得，由，得，由，得，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足，所以面積的最小值為.考法五軌跡問題【例5】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱非重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由及雙曲線的定義，得，解得，由可得，又恒成立，所以，解得．因?yàn)樵撾p曲線離心率小于等于，所以，即，解得，所以，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)只能在雙曲線的右支上，設(shè)，則，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，易得，所以直線的斜率為，直線的方程為①，同理可求得直線的方程為②，由①×②得③，將代入③得，化簡(jiǎn)得，令①=②即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為．【變式】1（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值為．(1)求曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，又，則，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，由，得，，，則，，由于點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，則直線為，直線為，顯然，由，得，即，則直線的方程為，由得，即，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知在軸上，此時(shí)直線平行于直線，不符合題意，故的軌跡方程為．2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知過曲線上一點(diǎn)作橢圓的切線，則切線的方程為.若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過作的切線交圓于，過分別作的切線，直線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知為定直線上一動(dòng)點(diǎn)，過的動(dòng)直線與軌跡交于兩個(gè)不同點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足，試證明動(dòng)點(diǎn)的軌跡過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知切線的方程為，同理，設(shè)點(diǎn)，則切線的方程分別為：，又點(diǎn)Q在直線上，所以，所以直線的方程為：，和比較可得，又在曲線上，即，所以，即點(diǎn)Q的軌跡E的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，則由知，設(shè)，則且，則：，即，，整理可得且，又在曲線E上，則，故，所以，所以，即，由于,故時(shí)，，所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡過定點(diǎn).3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓C：，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)點(diǎn)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），若直線PA，直線PB的斜率存在且斜率之積為，試探究直線l是否過定點(diǎn)，并說明理由；(2)若．過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】(1)直線l過定點(diǎn)；(2)【解析】（1）直線過定點(diǎn)，下面證明：設(shè)，，，又，，∴，

∴直線過原點(diǎn)滿足．又當(dāng)PA兩點(diǎn)固定時(shí)為定值，有且僅有一個(gè)斜率值與之相乘之積為，則直線重合，則重合，∴直線l過定點(diǎn)．（2）設(shè)，，，不妨設(shè)，∴，，又點(diǎn)A，B在橢圓上，∴，，∴，，兩式相加得，由，得，∴點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以為半徑的圓，∴點(diǎn)Q的軌跡方程為．考法六長(zhǎng)度比值【例6】（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖所示，拋物線，其中為一給定的實(shí)數(shù).(1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；(2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；(3)如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【解析】（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；（2）將代入，化簡(jiǎn)得（*），方程（*）的判別式，化簡(jiǎn)得，解得；（3）設(shè)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，消去并化簡(jiǎn)得，，，，解得，故切線方程為，，，即，同理可求得拋物線上過點(diǎn)B，C的切線方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，同理可得，，因?yàn)椋?，，所以．【變式?．（2023·云南·校聯(lián)考三模）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，直線和相交于點(diǎn)，過作直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).(1)求的方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）依題意可得，，又，解得，所以的方程為.（2）在橢圓中，，所以，，設(shè)直線（），直線（），因?yàn)橹本€與直線相交于點(diǎn)，由，解得，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，整理得，因?yàn)橹本€交軸正半軸于點(diǎn)，令得，即，又因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)橹本€交于點(diǎn)，令得，故，又，所以，，所以，又，所以，所以，所以.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，故.設(shè)，代入C的方程有：，設(shè)，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，代入C的方程有：.設(shè)，，則，，所以.綜上，的值為6.考法七存在性【例7】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交該橢圓于，兩點(diǎn).(1)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；(2)存在，【解析】（1）將代入橢圓方程，得到，故，故橢圓方程為.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或.（2）在x軸上存在點(diǎn)使得恒成立，理由如下：因?yàn)椋?，即，整理得，即，所以，則，解得，故在x軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.【變式】1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因?yàn)檫^橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，于是有，因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有，化簡(jiǎn)，得，設(shè)，于是有，因?yàn)?，所以，代入中，得，于是有，化?jiǎn)，得，代入中，得.2．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)對(duì)，曲線上是否始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）設(shè)，則，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）假設(shè)曲線上始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，所以，．設(shè)的中點(diǎn)為，則，，將代入，則，所以，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，則．易知當(dāng)時(shí)，曲線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱．所以的取值范圍為．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為O，左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn)，線段與圓相切于該線段的中點(diǎn)N，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在三個(gè)點(diǎn)A，B，P，使得直線AB過橢圓C的左焦點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線AB的方程；若不存在.請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)【解析】（1）連接，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，故，，，解得，由橢圓定義可知，，解得，由勾股定理得，即，解得，故，故橢圓方程為；（2）由題意得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，解得，設(shè)，由于，由對(duì)稱性可知，為橢圓左頂點(diǎn)，但，故不合要求，舍去，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，，，設(shè)，則，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形是平行四邊形，則，將代入橢圓中，得，解得，此時(shí)直線AB的方程為.考法八角度關(guān)系轉(zhuǎn)斜率【例8】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋?，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【變式】1．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系異于O的任意一點(diǎn)過點(diǎn)P作直線及的平行線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)在x軸正半軸上取兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作直線l與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則根據(jù)題意，得，由得：，化簡(jiǎn)得：，所以軌跡C的方程為：（2）由題意，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，成立．當(dāng)直線l的斜率存在，由題意，設(shè)直線l的方程為：、、，由得：，有得：，且，，則，又，因?yàn)?，所以，則．綜上所述，．2．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所確定的三角形的面積為，（是的離心率）是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)，直線與分別交于（不同于）兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，記直線的傾斜角分別為，，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意可得，得，得，得，得，得，得，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以判別式恒大于，，，當(dāng)時(shí)，直線：，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)?，即，所以，所以，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以判別式恒大于，，，，所以，當(dāng)時(shí)，直線：，易得，也滿足，故，同理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.考點(diǎn)九三點(diǎn)共線【例9】（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，，解得，所以，拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，又因?yàn)橹本€的方程為，將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，故，則，由的中點(diǎn)為，可得，故、、三點(diǎn)共線．【變式】1．（2022秋·云南昆明）過拋物線：上一動(dòng)點(diǎn)作x軸的垂線，記垂足為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線的方程；(2)過拋物線的焦點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作直線的垂線，記垂足為，證明：、、三點(diǎn)共線，【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）解：設(shè)，則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，所以，即，所以曲線C的方程；（2）證明：由題意得，準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)，，則設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線為當(dāng)時(shí)，則，，，所以直線的方程為，即，因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，則，且，直線的方程為，將代入的方程，即當(dāng)成立時(shí)，、、三點(diǎn)共線.下面證明成立：因?yàn)椋C成立，只需證成立，即證成立，即證成立，又，所以所以成立，所以、、三點(diǎn)共線.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江）已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)、，其中，且.（1）求該拋物線的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，證明：B、O、C三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）依題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線的方程為，聯(lián)立，可得.∵，，，解得.∴經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦，解得.∴拋物線方程為；（2）由（1）知A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又直線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)O，所以B、O、C三點(diǎn)共線.