如何建立一個數(shù)學(xué)模型

一個完整的數(shù)學(xué)建模過程主要由三局部組成：1、用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對實(shí)際問題進(jìn)行描述2、采取各種數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)手段求解模型3、從實(shí)際的角度分析模型的結(jié)果，考察其是否合理、是否具有實(shí)際意義？如何建立一個完整的數(shù)學(xué)模型

數(shù)理信息工程學(xué)院精選課件一、模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征

形成一個比較清晰的“問題〞拿到需要解決的問題之后，首先應(yīng)該做的事情是:了解有關(guān)背景知識，查閱前人在這方面的工作，并在此根底上探討解決問題的方法。精選課件例1.1CMCM-96B題：節(jié)水洗衣機(jī)由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣為普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序?yàn)椋杭铀黄匆幻撍患铀黄匆幻撍?，···?稱“加水一漂水一脫水〞為一輪。)現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數(shù)據(jù)計(jì)算。精選課件洗衣的根本原理洗衣的根本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物。無論是如何精心設(shè)計(jì)的洗衣方式和程序都是以此為根底的。洗衣的過程就是通過加水來實(shí)現(xiàn)上述“溶污物一脫污水〞動作的反復(fù)執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程度.通常洗衣要參加洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解.洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此“污物〞應(yīng)是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.精選課件例1.2：CMCM-92B題。組成生命蛋白質(zhì)的假設(shè)干種氨基酸可以形成不同的組合。通過質(zhì)譜實(shí)驗(yàn)測定分子量來分析蛋白質(zhì)分子的組成時，遇到的首要問題是如何將它的分子量X分解為幾個氨基酸的已知分子量之和。精選課件分析：題目要求根據(jù)蛋白質(zhì)的分子量給出所有的氨基酸組合方式。令M為蛋白質(zhì)的分子量，表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數(shù)目，問題歸結(jié)為求解以下不定方程計(jì)算結(jié)果說明，當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)的分子量為1000時，解的個數(shù)已到達(dá)28268個，這樣的模型對于實(shí)際的工作而言并無多大的意義。精選課件要想建立一個合理的有用的模型，首先應(yīng)該了解生物學(xué)中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測試方面的知識，例如原題中提到了質(zhì)譜儀的使用，質(zhì)譜儀可以精確測定分子量和分子式，即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數(shù)目和計(jì)算機(jī)運(yùn)行時間，而且便模型更具有實(shí)用性。有些問題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問題，專家們已經(jīng)有過許多研究，充分利用他們的研究結(jié)果，對于建模有很大的幫助.例如:

CMCM-91B題〔施肥效果分析〕精選課件農(nóng)學(xué)家已經(jīng)總結(jié)出肥料對作物生長作用的一些規(guī)律，如米采利希學(xué)說：只增加某種養(yǎng)分x時，引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供給充足時到達(dá)的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)有產(chǎn)量W的差成正比：其中C為常數(shù)，綜合運(yùn)用這些農(nóng)學(xué)家的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，結(jié)合所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，就容易建立施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型。例1.3CMCM-92A題〔施肥效果分析〕總之，抓住了本質(zhì)的東西，建立的模型才是有合理性，一個模型的優(yōu)與劣，最根本的是在于是否采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ侠淼孛枋隽藢?shí)際問題，而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學(xué)知識。精選課件二、模型假設(shè)1、假設(shè)的依據(jù):〔1〕、對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識?！?〕、對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。針對問題特點(diǎn)和建模目的，作出合理的、簡化的假設(shè)設(shè)，在合理與簡化之間作出折中精選課件2、根本原那么：〔1〕多數(shù)的原那么。如曲線擬合時，可根據(jù)多數(shù)點(diǎn)的分布趨勢來確定曲線，經(jīng)驗(yàn)證后，選擇誤差少的曲線?！?〕開展的原那么。觀察事物的開展方向?！?〕主導(dǎo)性的原那么。分析何種因素起主導(dǎo)作用。如修盤山公路，主導(dǎo)性因素是公路坡度在一個合理范圍內(nèi)?！?〕相對性的原那么。精選課件例2.1：AMCM-92B題，在應(yīng)急系統(tǒng)的研制過程中，優(yōu)秀論文作者作了如下假定：

〔1〕、從派遣中心到事故發(fā)生地點(diǎn)的距離以兩地橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之差的絕對值之和度量〔2〕、修理隊(duì)總以30里/小時的平均速度行駛〔3〕、在緊急情況下，修理隊(duì)隨時可供派遣〔4〕、修理隊(duì)的車輛無損壞情況……這些假設(shè)給應(yīng)急系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了方便3、假設(shè)的分類：〔1〕簡化問題的假設(shè)?！?〕對所研究對象進(jìn)行近似，使之滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必需的前提條件。精選課件例2.2：椅子能否在不平的地面放穩(wěn)？第二條假設(shè)為我們利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理奠定了根底。模型假設(shè)四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。精選課件建立數(shù)學(xué)模型就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來解決具體的問題，而每種理論的應(yīng)用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究對象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對于一個假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問題的方便，即假設(shè)必須合理。

精選課件例2.3：雙層玻璃窗的成效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，如下圖：兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，試建立一個模型描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)〔即流失〕過程。以上假設(shè)為我們利用熱傳導(dǎo)定理奠定了根底。假設(shè)1、熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流2、T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)3、材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)精選課件

例2.4：AMCM-89A題要求對蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設(shè)：1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長度的總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)與學(xué)習(xí)樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長度x和y服從二維正態(tài)分布這兩條假設(shè)為從概率論的角度對蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù)，由于統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用必須建立在對大量樣本進(jìn)行分析的根底上，而我們面臨的問題是，題中所給的數(shù)據(jù)〔15個學(xué)習(xí)樣本〕太少，因此優(yōu)秀論文作者清醒指出，這些假設(shè)未必一定可靠，這顯示了他們對實(shí)際問題及所用方法的深刻見解，精選課件例2.5：AMCM-86A題—水道測量數(shù)據(jù)。對海底地形圖的插值擬合，其成立的條件是曲面必須光滑，因此有必要假設(shè)，海底地形無陡峭形狀，可當(dāng)作光滑曲面處理，在實(shí)際中，由于海水的不斷沖蝕，這個假設(shè)是近似成立的，這樣就為模型的合理性提供了依據(jù)。

精選課件三、模型的建立1、分析問題，說明建模的依據(jù)。不同性質(zhì)的問題需要采用不同的數(shù)學(xué)方法加以解決，建立什么樣的模型是由問題的本質(zhì)決定的。

例3.1、Logistic模型。資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，即增長率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡單的假設(shè)是例3.2CMCM-04B電力市場輸電阻塞模型關(guān)于有功潮流近似表達(dá)確實(shí)定，有一篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的：根據(jù)功率疊加原理，我們認(rèn)為各線路上的有功潮流應(yīng)為各發(fā)電機(jī)組出力的線性組合。精選課件隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。如線路1受機(jī)組1的影響，線路3受機(jī)組4的影響，可以發(fā)現(xiàn)，有功潮流受到各機(jī)組的影響近似成線性關(guān)系。因此假設(shè)有功潮流關(guān)于各個機(jī)組出力的函數(shù)關(guān)系為2．采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立模型主要有以下幾種類型〔1〕優(yōu)化模型根據(jù)信息，對某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，如費(fèi)用最小，時間最短等。如AMCM89B設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)起飛的系統(tǒng)，CMCM-96B節(jié)水洗衣機(jī)，CMCM-010B鋼管訂購和運(yùn)輸，等等。精選課件一般分三種情況。1〕給出了明確的優(yōu)化目標(biāo)2〕有些問題本身的性質(zhì)〔如圖與網(wǎng)絡(luò)中的NPC問題〕決定了無法找到最優(yōu)解。應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)近似算法，使目標(biāo)盡可能優(yōu)化。3〕沒有提出明確的優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要，提出合理的優(yōu)化目標(biāo)?！?〕微分方程模型所研究對象與因素之間的關(guān)系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動物群體的增長。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。精選課件〔3〕統(tǒng)計(jì)分析模型如AMCM-89A可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的Fisher判別法對蠓蟲加以分類?！?〕插值與擬合模型這是離散數(shù)據(jù)連續(xù)化處理時常用的方法。如AMCM-86A題海底地形的描繪，AMCM-91A水塔水流量的估計(jì)等。〔5〕其它。如計(jì)算機(jī)模擬，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題解題方法總結(jié)精選課件方法總結(jié)：用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法.

插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時很有必要?；疑到y(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析精選課件3．創(chuàng)造性地改造已有模型。

數(shù)學(xué)建模的問題一般來自解決的實(shí)際問題，沒有現(xiàn)成的模型可直接套，能否提出自己見解是評價一個數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)闀r間和知識水平的限制，一般在現(xiàn)有的模型上對已有的模型進(jìn)行必要的修正，或者創(chuàng)造條件而使用這些模型。例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊(duì)利用等高線圖確定目標(biāo)的方法很有創(chuàng)造性，盡管有其他缺乏，仍被評為特獎。例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問題，需要做的是提DNA序列的分類特征。精選課件例3.5減肥問題在以下假設(shè)下：1、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)。得到下面的根本模型：基本模型精選課件四、模型簡化

根據(jù)賽題的實(shí)際情況，對建立的模型作出合理的簡化是解決問題的關(guān)鍵。

例4.1CMCM-98B精選課件

根據(jù)題意，得到購置Si的金額為xi的交易費(fèi)為但因M相當(dāng)大，Si假設(shè)被選中，其投資額xi一般都超過ui，交易費(fèi)可簡化為精選課件數(shù)學(xué)模型的建立是一個從實(shí)際——數(shù)學(xué)——實(shí)際的過程，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對實(shí)際問題進(jìn)行抽象化描述后，可編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用各種軟件包〔Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數(shù)學(xué)軟件包〕對模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后，問題并未完全解決，前已述及，我們在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，作了各種近似和簡化，而且更重要的是，我們建立的數(shù)學(xué)模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù)，因此，模型的結(jié)果是否具有實(shí)際意義或滿足實(shí)際要求，有待于細(xì)致的分析。五、模型求解及結(jié)果的分析精選課件一個最典型的例子是：AMCM-92A題——控制空中交通雷達(dá)發(fā)射功率的計(jì)算。按照原題中給出的關(guān)于接收線路的靈敏度即對10微瓦的信號會作出反響，通過模型計(jì)算，對于大飛機(jī)〔保證雷達(dá)反射截面大于75米2〕而言，雷達(dá)發(fā)射功率為7.3×106瓦，雖然很大，但還是可以到達(dá)。要控測到小飛機(jī)〔雷達(dá)反射截面約為2米2〕，雷達(dá)需要的發(fā)射功率為2.6×1013瓦！這顯然是不合理的。精選課件優(yōu)秀論文作者通過查閱資料，由1944年某雷達(dá)天線信噪比的數(shù)據(jù)算出，該雷達(dá)可以對瓦的信號作出反響，相比之下，此題所給的雷達(dá)的靈敏度就太差了，按照瓦的靈敏度重新計(jì)算，得到雷達(dá)的發(fā)射功率只需大于36千瓦即可，這就比較符合實(shí)際了精選課件六、模型的檢驗(yàn)完成模型的設(shè)計(jì)及求解之后，我們還需要對模型的各種性能作出評價，這就是模型的檢驗(yàn)，它一般包括以下幾個方面：1、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學(xué)模型它的價值在于能夠從的信息預(yù)測未知的東西，因此，一個好的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果對模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性，這是其廣泛適用性的保證以足球賽排名為例，用特征向量法求出排名結(jié)果后，隨意改變一兩場比賽結(jié)果，觀察排名結(jié)果的變動，發(fā)現(xiàn)變動很小，說明該模型對原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。精選課件作為實(shí)際問題的一個近似描述，數(shù)學(xué)模型所預(yù)測的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差，這種偏差是來源于實(shí)驗(yàn)觀測，還是由于模型的不完善造成的？為答復(fù)這個問題，應(yīng)該對殘差〔模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差〕的分布作統(tǒng)計(jì)分析。如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態(tài)分布，表示模型很好地反映了實(shí)際情況；如果殘差分布的均值不為0，那么說明模型可能還需要進(jìn)一點(diǎn)修正。2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析精選課件以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優(yōu)秀論文作者先假設(shè)殘差服從正態(tài)分布，然后用顯著性水平a=0.01進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不能通過原假設(shè)，隨后，又對對數(shù)殘差分別表示多巴胺濃度的觀測值和計(jì)算結(jié)果)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果說明模型預(yù)測結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)量級上是保持一致的。另一個重要的方面是，數(shù)據(jù)的測量中不可防止地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結(jié)果〔依賴于原始數(shù)據(jù)〕必然有一定的不準(zhǔn)確度，因此，估計(jì)結(jié)果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來計(jì)算，s為結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，Si〔i=1,2,…〕是每個觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差，如AMCM-91A題對于水塔水流量的估計(jì)，用上述方法很容易計(jì)算出用水量總標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.3%，大約相當(dāng)于水塔容量的2.1%精選課件數(shù)學(xué)建模即根據(jù)對實(shí)際問題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的根底上加以改進(jìn)，將新建的模型與原來的模型進(jìn)行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性，以CMCM-93B題(足球比賽的排名問題)為例，優(yōu)秀論文用計(jì)算機(jī)模擬的方法對積分法和特征向量法的排名結(jié)果與各隊(duì)強(qiáng)弱順序〔事先設(shè)定〕進(jìn)行比較，100次模擬的結(jié)果說明，特征向量法給出的結(jié)果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。3、新舊模型的比照精選課件MCM中的優(yōu)化模型常常是對一個系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使之盡可能滿足實(shí)際要求，如AMCM-89B題緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制都屬于這種類型，在完成系統(tǒng)的設(shè)計(jì)之后，最重要的事情是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趯?shí)際中的可行性和有效性，只有做到這一點(diǎn)，才是一個運(yùn)籌學(xué)模型的真正完成，以飛機(jī)排隊(duì)模型為例，優(yōu)秀論文用線性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)之后，為了解模型運(yùn)行的良好性，用計(jì)算機(jī)