人教版中職數(shù)學(xué)《第十章,立體幾何初步》全章課件

第十章，立體幾何初步10.1平面的基本性質(zhì)主講人：王老師10.1平面的基本性質(zhì)一、點(diǎn)、線、面的表示：1.點(diǎn)：表示位置，通常用一個(gè)大寫的英文字母表示如：點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C等…….B.A.C

2.直線：通常用兩個(gè)大寫英文字母或一個(gè)小寫英文字母表示如：直線AB,直線CD,直線EF等，或直線a,直線b,直線cABab3.平面：一般用希臘字母α，β，γ表示，或平行四邊形的對(duì)角線頂點(diǎn)的字母來表示。如：平面α，平面β，平面AC等αα4、點(diǎn)，線，面位置關(guān)系的表示

公理1，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。

公理2的推論

推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

例1，在長方體ABCD-A’B’C’D’中，點(diǎn)P是棱A’B’的中點(diǎn)，畫出由P,B,C’三點(diǎn)所確定的平面α與長方體表面的交線。

課堂練習(xí)1、判斷下列命題的真假（1）如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A,B,那么它們就有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線AB上（）（2）經(jīng)過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)（）（3）兩個(gè)相交平面存在三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)公共點(diǎn)不在一條直線上（）（4）空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面（）（5）線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB在平面α內(nèi)（）2、為什么自行車要支起后輪旁一只撐腳就能使自行車立在地面上3、用集合符號(hào)表示下列語句（1）點(diǎn)A在直線L上（2）點(diǎn)B不在直線L上（3）直線l在平面α內(nèi)（4）直線m與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P∩∈?解：（1）A∈l(2)Bl(3)l?α（4）m∩α=P謝謝觀看2020.3.1510.2空間兩條直線的位置關(guān)系一、空間兩條直線的位置關(guān)系(相交，平行，異面）

1、相交：在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

2、平行：在同一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

3、異面：不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

.（1）與AB異面的棱：CC’,DD’,A’D’,B’C’

(2)與CC’異面的棱：A’B’,AB,AD,A’D’

二、直線平行

1、公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。(空間平行線的傳遞性）2、平行公理（初中學(xué)過）：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行。cabABOA'B'O'例1、在長方體ABCD-A’B’C’D’中，已知點(diǎn)E,F分別是棱AB,BC上的中點(diǎn)，求證：EF//A’C’3、空間四邊形：順次連接空間不共線的四點(diǎn)的圖形.

例2、空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，

求證：四邊形EFGH是平行四邊形

練習(xí)10-2

1、已知長方體ABCD-A’B’C’D’,寫出在這個(gè)長方體中與AA’平行的所有的棱:BB’,CC’,DD’2、把一張長方形的紙對(duì)折兩次，打開后如圖所示，說明為什么這些折痕是互相平行的。.3、已知AC,BD是空間四邊形ABCD的對(duì)角線，如圖，且AC=BD,且E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，

求證：四邊形EFGH是菱形.證明：因?yàn)镋,F是AB,BC的中點(diǎn)

所以EF//AC

同理GH//AC

所以EF//GH所以四邊形EFGH是平行四邊形所以EF=GH=AC同理FG=EH=BD又因?yàn)锳C=BD所以EF=FG所以四邊形EFGH是菱形三、異面直線:不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線1.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線

2.異面直線所成的角：a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線a’,b’,使a’//a,b’//b,直線a’,b’所成的銳角（或直角）

3、異面直線垂直：兩條異面直線所成的角是直角

例3、已知：正方體ABCD-A’B’C’D’

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線BA’是異面直線

（2）求異面直線AB與A’D’所成的角

（3）求異面直線A’B與AC所成的角

練習(xí)10-31、判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；真（2）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；假（3）過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線成異面直線。真2、如圖，在長方體ABCD-A’B’C’D’中，哪些棱所在直線與直線AB成異面直線且互相垂直？解：CC’,DD’,A’D’,B’C’,3、如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線的位置關(guān)系是（D）（A)平行（B）異面(C)共面(D)平行或異面4、在兩個(gè)相交平面內(nèi)各畫一條直線，使它們成為：（1）平行直線（2）相交直線（3）異面直線5、指出下列命題是否正確，并說明理由：（1）若a//b,c⊥a,則cb正確(2)若a⊥c,b⊥c,則a//b不正確4、⊥10.3直線與平面的位置關(guān)系一、直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線a在平面α內(nèi)：有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)aα(2)直線a與平面α相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)aα=A(3)直線a與平面α平行：沒有公共點(diǎn)a//αααaaa二、直線與平面平行

判定定理：如果平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行

abαml性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行βm例1、已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，

求證：EF//平面BCD證明：連接BD,在ABD中，E,F是AB,AD的中點(diǎn),所以EF//BD又因?yàn)锽D是平面ABD與平面BCD的交線,EF?平面BCD,所以EF//平面BCDCDEF例2、一個(gè)長方體木塊，要經(jīng)過平面A’C’內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，應(yīng)怎么畫線？作法：在平面A’C’內(nèi)過P作EF//B’C’分別交A’B’,C’D’于點(diǎn)E,F連接BE,CF,則BE,CF和EF就是所要畫的線練習(xí)10-41、判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線和這個(gè)平面平行；正確（2）過直線外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面和這條直線平行；正確（3）如果一條直線不在平面內(nèi)，那么這條直線就平行于這個(gè)平面。錯(cuò)誤2、如圖，在長方體ABCD-A’B’C’D’六個(gè)面所在的平面中：（1）與直線AB平行的平面是（平面CD’,平面A’C’）（2）與直線AA’平行的平面是（平面CD’,平面CB’）（3）與直線AD平行的平面是(平面BC’,平面A’C’)3、已知，如圖，α∩β=m,a?α,b?β,且a//b,求證：a//m,b//m

證明：因?yàn)閍?α,b?β,且a//b，所以a//β,又因?yàn)棣痢搔?m，所以a//m;同理可證b//m三、直線與平面垂直1、定義：與平面內(nèi)任意直線都垂直的直線，與這個(gè)平面垂直。AΒCBˊCˊ2、判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。

αmnΑl例3、如圖，已知a//b,a⊥α,求證：b⊥αnmαab證明：在平面α內(nèi)做兩條相交直線m，n因?yàn)閍⊥α,根據(jù)直線和平面垂直的定義可知a⊥m,a⊥n又因?yàn)閎//a所以b⊥m,b⊥n又因?yàn)閙?α,n?α,m,n是兩條相交直線，所以b⊥α判定定理的推論：在兩條平行直線中，如果有一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面。

nmα3、性質(zhì)定理：如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

.αβΑΒlAˊBˊ4、直線和平面所成的角.αΑOP例4、已知長方體ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1,求直線AC’與平面ABCD所成的角的正弦值解：連接AC因?yàn)镃C’⊥ABCD所以CC’⊥AC所以ACC’是RT所以AC=√AB+BC=√2+1=√5AC’=√AC+CC’=√6所以sin∠CAC’===√6166例5、已知AD和AB分別是平面α的垂線和斜線，O和B分別是垂足和斜足，l,l⊥OB，求證：l⊥ABαABOl證明：因?yàn)锳O⊥

α,l?α所以l⊥AO又因?yàn)閘⊥OB,AOOB=O所以l⊥平面ABO又因?yàn)锳B?平面ABO所以l⊥AB練習(xí)10-51.過一點(diǎn)有多少條直線與已知平面垂直？過一點(diǎn)有多少平面與已知直線垂直？2.已知直線l,m,n與平面α，判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）若l⊥α,則l與α相交；（2）若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α;（3）若l//m,m⊥α,則l//m.BCDOP3.如圖，正方形ABCD所在的平面為α，且PA⊥α,如果BD與AC相交于點(diǎn)O,那么PO是否垂直于BD?為什么？α4、如圖，已知PA⊥α,PB⊥β,垂足分別是A,B,且α

β=l,求證：l⊥平面APBl5、如圖，已知正方體ABCD-A’B’C’D’,求直線AC’與平面ABCD所成角的正弦值。10.4平面與平面的位置關(guān)系一、平面與平面的位置關(guān)系平行：沒有公共點(diǎn)相交：有一條公共直線①②αβa二、平面與平面平行.1.兩平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行2、推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩平面平行αβabP.3.兩平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行αβγab例1、已知：長方體ABCD-A’B’C’D’

求證：平面AB’D’//平面BC’D.證明：因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是長方體

所以D’C’//A’B’//AB且D’C’=A’B’=AB

所以ABC’D’是平行四邊形

所以AD’//BC’

同理B’D’//BD

所以平面AB’D’//平面BC’D

練習(xí)10-61.判斷下列命題是否正確（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別和平面β平行，則α與β平行；（2）若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別和平面β平行，則α與β平行;（3）若平面α內(nèi)的任意一條直線都和平面β平行，則α與β平行；（4）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.（平行平面的傳遞性）如果平面α//平面β,平面β//平面γ,是否必然有平面α//平面γ?為什么？3.如圖，設(shè)E,F,E’,F’分別是長方體ABCD-A’B’C’D’的棱AB,,CD,A’B’,C’D’的中點(diǎn)，求證：平面ED’//平面BF’.4.如圖，已知平面α//平面β，點(diǎn)P是平面α，β外一點(diǎn)，直線PAB,PCD分別與平面α，β相交于點(diǎn)A,B,C,D.且PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm.求PD的長。E′F′EFABCDPαβ1.解：（1）否；（2）否；（3）是；（4）否2.解：是3.證明：因?yàn)镋,F’是正方體的棱AB,A’B’的中點(diǎn)，可知

EB//A’E’且EB=A’E’所以四邊形EBE’A’是平行四邊形，所以A’E//E’B由正方體知A’D’//BC,又因?yàn)锳’D’∩A’E=A’所以平面ED’//平面BF’4.解：因?yàn)锳C//BD,所以PA/PB=PC/PD,即4/(4+5)=3/PD,解得

PD=27/4三、二面角1、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形ABαβl2、兩面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任意一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則∠AOB就是二面角的平面角。0°≤α≤180°例2、已知：正方體ABCD-A’B’C’D’

（1）求二面角D’-AB-D的大小

（2）求二面角A’-AB-D的大小

解：（1）正方體ABCD-A’B’C’D’中

AB⊥平面ADD’A’

所以∠D’AD即為二面角D’-AB-D的平面角

所以∠D’AD=45°是所求二面角的大小

（2）∠A’AD=90°是所求二面角的大小四、平面與平面垂直1、判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。2、性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直與他們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。αβl例3、已知：正方體ABCD-A’B’C’D’

求證：平面ACC’A’⊥平面BDD’B’.證明：因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體

所以AA’⊥平面AC

又因?yàn)锽D?平面ACA’A⊥BD

又因?yàn)锳C⊥BD且AA’∩AC=A

所以BD⊥平面ACC’A’

又因?yàn)锽D?平面BDD’B’

所以平面ACC’A’⊥平面BDD’B’

練習(xí)10-71、判斷下列命題是否正確（1）經(jīng)過平面外一點(diǎn)只可做一個(gè)平面與已知平面垂直；（2）經(jīng)過平面外任意一條直線都可作無數(shù)個(gè)平面與一直平面垂直；（3）若α⊥γ,β⊥γ,則α//β;（4）若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γ;（5）若α//α’,β//β’,α⊥β,則α’⊥β’2.地面為矩形的教室里，氣相鄰墻所在的平面是否垂直？3、如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A’B’C’D’中，求：

（1）平面A’ABB’與平面ABCD所成的角的大小；

（2）二面角C’-BD-C的正切值。練習(xí)10-7（答案）1、（1）假、（2）假、（3）假、（4）假、（5）真2、是3、（1）因?yàn)槠矫鍭BCD平面A’ABB’=AB,AA’⊥AB,DA⊥AB,所以角DAA’是平面A’ABB’與平面ABCD所成的二面角的平面角，因?yàn)锳A’⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以AA’⊥AD,所以平面A’ABB’與平面ABCD所成的角是90度。（2）因?yàn)镃’B=C’D,O是BD的中點(diǎn)，所以C’O⊥BD,又因?yàn)锳C⊥BD,所以角COC’是二