等差數(shù)列選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練知識點(diǎn)及練習(xí)題含答案

一、等差數(shù)列選擇題1．在等差數(shù)列中，，S，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則S2020=（）A．2019 B．4040 C．2020 D．4038解析：B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則可得答案.【詳解】等差數(shù)列中,故選：B2．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）.這個問題中，戊所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢解析：C【分析】根據(jù)甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，a，，，然后再由五人錢之和為5，甲、乙的錢與與丙、丁、戊的錢相同求解.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，a，，，則根據(jù)題意有，解得，所以戊所得為，故選：C.3．已知數(shù)列是公差不為零且各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若且，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．解析：D【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)A錯誤；對于B選項(xiàng)，由于，則，故選項(xiàng)B錯誤；對于C選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)C錯誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)，則，從而，由于，故.，故.，由此，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列中不等式關(guān)系的判斷，在解題過程中充分利用基本量來表示、，并結(jié)合作差法、不等式的基本性質(zhì)來進(jìn)行判斷.4．已知數(shù)列中，，且，則這個數(shù)列的第10項(xiàng)為（）A．18 B．19 C．20 D．21解析：B【分析】由已知判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后即可求得.【詳解】，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，，故選：B.5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A．21 B．15 C．10 D．6解析：C【分析】根據(jù)已知條件得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解出的值，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．15 B．20 C．25 D．30解析：B【分析】設(shè)出數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件，得到，然后代入求和公式即可求解【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知可得，所以故選：B7．在數(shù)列中，，，則（）A．10 B．145C．300 D．320解析：C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合分組求和法即可得解?！驹斀狻恳?yàn)?，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.故選：C.8．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時期大數(shù)學(xué)家張丘建所著，約成書于公元466-485年間.其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同.已知第一日織布4尺，20日共織布232尺，則該女子織布每日增加（）尺A． B． C． D．解析：D【分析】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果【詳解】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由題意知，解得．故該女子織布每天增加尺．故選：D9．《周碑算經(jīng)》有一題這樣敘述：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，則后五個節(jié)氣日影長之和為（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸）A．一丈七尺五寸 B．一丈八尺五寸C．二丈一尺五寸 D．二丈二尺五寸解析：D【分析】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為，是其前項(xiàng)和，已知條件為，，由等差數(shù)列性質(zhì)即得，，由此可解得，再由等差數(shù)列性質(zhì)求得后5項(xiàng)和．【詳解】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為，是其前項(xiàng)和，則（尺），所以（尺），由題知（尺），所以（尺），所以公差，則（尺）．故選：D．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．121 B．161 C．141 D．151解析：B【分析】由條件可得，然后，算出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即所以故選：B11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，下列四個命題：①公差的最大值為；②；③記的最大值為，則的最大值為30；④.其真命題的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個解析：B【分析】設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，，得，由前項(xiàng)和公式，得，同時可得的最大值，，或時取得，結(jié)合遞減數(shù)列判斷D．【詳解】設(shè)公差為，由已知，，得，所以，A正確；所以，B錯誤；，解得，，解得，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，有最大值，此時，當(dāng)時，有最大值，此時，C正確．又該數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，D正確．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，掌握等差數(shù)列的前和公式與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值除可利用二次函數(shù)性質(zhì)求解外還可由求得．12．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，，，則通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．解析：C【分析】根據(jù)題中條件，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可得其通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，則公差為，因此通項(xiàng)公式為.故選：C.13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.則的值為（）．A． B． C． D．解析：C【分析】利用得出數(shù)列的通項(xiàng)公差，然后求解.【詳解】由得，，，所以，所以，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，較簡單，利用求解即可.14．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（)A．1 B．8 C．4 D．2解析：B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)不為的等差數(shù)列滿足，所以，解得或（舍）；又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，且，所以.故選：B.15．題目文件丟失！二、等差數(shù)列多選題16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為且下列結(jié)論中正確的是（）A．最小 B． C． D．解析：BCD【分析】由是等差數(shù)列及，求出與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的公差為.由有，即所以,則選項(xiàng)D正確.選項(xiàng)A.,無法判斷其是否有最小值，故A錯誤.選項(xiàng)B.,故B正確.選項(xiàng)C.,所以，故C正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，即，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式判斷,屬于中檔題.17．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列解析：ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)時，由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，所以為遞增數(shù)列，故正確；數(shù)列不具有周期性，故D錯誤；故選：ABC18．題目文件丟失！19．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為解析：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項(xiàng).【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補(bǔ)充：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.20．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)時最小 D．時的最小值為解析：BD【分析】由題意可知，由已知條件可得出，可判斷出AB選項(xiàng)的正誤，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次不等式可判斷出CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由于等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則，A選項(xiàng)錯誤；，則，可得，B選項(xiàng)正確；，當(dāng)或時，最小，C選項(xiàng)錯誤；令，可得，解得或.，所以，滿足時的最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.21．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列解析：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因?yàn)?，所以為等差?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因?yàn)椋允沁f增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進(jìn)行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.22．無窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，d＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列有最大值C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 D．?dāng)?shù)列有最大值解析：ABD【分析】由可判斷AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差數(shù)列數(shù)列先正后負(fù)，可判斷CD.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列定義可得，所以數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；由數(shù)列單調(diào)遞減，可知數(shù)列有最大值a1，故B正確；由a1＞0，d＜0，可知等差數(shù)列數(shù)列先正后負(fù)，所以數(shù)列先增再減，有最大值，C不正確，D正確.故選：ABD.23．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值 D．當(dāng)時，n的最小值為22解析：AD【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由解不等式可判斷D．【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，由，可得，即，①由是與的等比中項(xiàng)，得，即，化為，②由①②解得，，則，，由，可得或11時，取得最大值110；由，解得，則n的最小值為22.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.24．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，則（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)解析：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當(dāng)時，，時，，又，所以時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時，的最小值為13，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，時，，所以當(dāng)時，，，，時，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)，故D正確；【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項(xiàng)的符號，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)