專題2.6 阿氏圓 （隱圓壓軸三）（解析版）

專題2.6阿氏圓阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內(nèi)一動點，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，當(dāng)PC+kPD取最小值時，PC+MP有最小值，即C，P，M三點共線時有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一點M，使得CM＝CD＝，∴的最小值為．【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點P是⊙B上一點，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為．【答案】【解答】解：連接BP，在BC上截取BQ＝1，連接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，當(dāng)A、P、Q三點依次在同一直線上時，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案為：．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為（）A． B．6 C．2 D．4【答案】A【解答】解：如圖1，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，當(dāng)點A，P，D在同一條直線時，AP+PD最小，即：AP+BP最小值為AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值為，故選：A．【變式1-3】如圖，在正方形ABCD中．AB＝8，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，且滿足BP＝4，則PD+PC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：在BC邊上取一點E，使BE＝2，連接DE，如圖∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故選：C．【變式1-4】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，⊙O與x軸交于點E（2，0），點P是⊙O上一點，連接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如圖，在OC上取一點T，使得OT＝，連接PT，BT，OP．由題意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT?OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值為．【變式1-5】（西峽縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則的最小值等于（）A．4 B． C． D．【答案】C【解答】解：在AB上截取AQ＝1，連接AP，PQ，CQ，∵點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，∴＝，∵AP＝2，AQ＝1，∴＝，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝，∴的最小值，故選：C．【變式1-6】（2022春?長順縣月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，在CB上取一點F，使得CF＝，連接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值為，故答案為．【變式1-7】（龍鳳區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以點C為圓心，3為半徑做⊙C，分別交AC，BC于D，E兩點，點P是⊙C上一個動點，則PA+PB的最小值為．【答案】．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，連接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴當(dāng)B、Q、P三點共線時，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案為：．【變式1-8】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D為△ABC內(nèi)一動點，且滿足CD＝2，則AD+BD的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖，在CB上取一點T，使得CT＝，連接DT，AT．∵CD＝2，CT＝，CB＝3，∴CD2＝CT?CB，∴＝，∵∠DCT＝∠BCD，∴△DCT∽△BCD，∴＝＝，∴DT＝BD，∴AD+BD＝AD+DT≥AT，在Rt△ACT中，AC＝4，CT＝，∴AT＝＝＝，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值為．【變式1-9】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC的中點，以B為圓心，BE為半徑作⊙B，點P是⊙B上一動點，連接PD、PC，則PD+PC的最小值為5．【答案】5．【解答】解：如圖，在BC上取一點T，使得BT＝1，連接PB，PT，DT．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT＝＝＝5，∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT?BC，∴＝，∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴＝＝，∴PT＝PC，∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，∴PD+PC的最小值為5，故答案為：5．【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點，點P是上一點，則2PC+PD的最小值為．【答案】2．版權(quán)所有【解答】解：如圖，延長OA使AE＝OA，連接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分別是OA，OB的中點，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴當(dāng)點E，點P，點D三點共線時，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【變式2-1】如圖，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，點A是OC中點，OB＝2，點P是為CD上一點，則PB+2PA的最小值為．【答案】【解答】連接OP，延長OC至點E，使得OE＝6，則＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴當(dāng)E、P、B三點共線時，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值為BE＝＝．故答案為：．【變式2-2】（梁溪區(qū)校級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖，在y軸上取點H（0，9），連接BH，∵點A（0，1），點B（2，0），點H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴當(dāng)點P在BH上時，3PA+PB有最小值為HB的長，∴BH＝＝＝，故答案為：．【變式2-3】（溧陽市一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA上，且OC＝2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．【答案】4．【解答】解：延長OB到T，使得BT＝OB，連接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD?OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值為4，∴答案為4．【變式2-4】如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點，則PA+PB的最小值為2．【答案】2【解答】