專題04 圓中的重要模型-圓中的翻折模型（原卷版）

專題04圓中的重要模型-圓中的翻折模型知識(shí)儲(chǔ)備：1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個(gè)圖形的對(duì)稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對(duì)稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對(duì)稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對(duì)稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點(diǎn)D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于BC對(duì)稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對(duì)稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如圖，以圓O的一條弦BC為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D，則CD=CA特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°例1．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點(diǎn)D．若，，則的半徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)?？紝ｎ}練習(xí)）如圖，以AB為直徑的半圓沿弦BC折疊后，AB與弧CB相交于點(diǎn)D，若弧CD=弧BD，則∠B=.例3．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，且，是上一點(diǎn)，將弧沿直線翻折，使翻折后的圓弧恰好經(jīng)過圓心，則（1）的長(zhǎng)是．（2）劣弧的長(zhǎng)是．例4．（2023春·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，將沿弦翻折，交于點(diǎn)，圖中陰影部分的面積．例5．（2023·山東濰坊·昌邑市?？级＃┤鐖D，將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與弧交于點(diǎn)C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．例6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4例7．（2022春·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°例8．（2023·湖北黃石·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在半圓中，直徑，是半圓上一點(diǎn)，將弧沿弦折疊交于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖⊙O中直徑AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將CB沿線段BC折疊交AB于點(diǎn)D．（1）如圖1，當(dāng)∠ABC＝20°時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)．（2）如圖2，連結(jié)AC，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)О重合時(shí)，求此時(shí)AC的長(zhǎng)．（3）設(shè)AC＝x，DO＝y(tǒng)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，、為的兩條弦，，，將折疊后剛好過弦的中點(diǎn)D，則的半徑為（

）

A． B． C．5 D．2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，已知的半徑為，所對(duì)的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，三位同學(xué)提出了相關(guān)結(jié)論：嘉嘉：點(diǎn)到的距離為淇淇：的長(zhǎng)為嘉淇：線段掃過的面積為

下列結(jié)論正確的是(

)A．嘉嘉對(duì)，淇淇錯(cuò) B．淇淇對(duì)，嘉淇錯(cuò) C．嘉嘉錯(cuò)，嘉淇錯(cuò) D．淇淇錯(cuò)，嘉淇對(duì)3．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑，是上一點(diǎn)，將沿直線翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，點(diǎn)在弧上，將弧沿弦折疊后恰好與相切于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為（

）A．9 B． C． D．5．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊，點(diǎn)，分別是兩條弧的中點(diǎn)，與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2022·河南商丘·?？家荒＃┤鐖D1所示是一張圓形紙片，直徑AB＝8，現(xiàn)將點(diǎn)A折疊至圓心O形成折痕CD，再把C、D折疊至圓心O處，最后將圓形打開鋪平（如圖2所示），則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)校考階段練習(xí)）把一張直徑為2的半圓形紙片按如圖所示方式折疊一次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．8．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，沿折疊半圓得到弧，交直徑于點(diǎn)，若、的長(zhǎng)均不小于2，則的長(zhǎng)可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，將弧AC沿直線AC翻折，若翻折后的圖形恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則∠CAB＝°．10．（2023春·北京海淀·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，將半徑為的圓形紙片折疊后，劣弧中點(diǎn)恰好與圓心距離，則折痕的長(zhǎng)為．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點(diǎn)在上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，將沿弦，翻折，翻折后的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，間的距離為，點(diǎn)，間的距離為，圖②是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長(zhǎng)為．

12．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E是上5個(gè)點(diǎn)，若，將弧CD沿弦CD翻折，使其恰好經(jīng)過點(diǎn)O，此時(shí)，圖中陰影部分恰好形成一個(gè)“鉆戒型”的軸對(duì)稱圖形，“鉆戒型”（陰影部分）的面積為．13．（2023·江蘇宿遷·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖①是半徑為2的半圓，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將半圓如圖②方式翻折，使得點(diǎn)C與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是．14．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，將半徑為的折疊，弧恰好經(jīng)過與垂直的半徑的中點(diǎn)D，已知弦的長(zhǎng)為，則．

14．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為2，將劣?。ㄌ摼€）沿弦折疊后交弦于點(diǎn)D，連接．若，則線段的長(zhǎng)為．

15．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，為的直徑，弦，垂足在半徑上．若劣弧沿著直線翻折，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連結(jié)．（1）求證：．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，若，求的正弦值．16．（2023·江西·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在中，，以為弦的與相切于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）將中以下部分沿直線向上翻折．①如圖2，若翻折后的弧過中點(diǎn)，并交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的關(guān)系，并說明理由．②如圖3，若，且翻折后的弧恰好過點(diǎn)，則的半徑為________．17．（2023·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ．（1）當(dāng)∠POQ＝時(shí)，PQ有最大值，最大值為；（2）如圖2，若P是OB中點(diǎn)，且QP⊥OB于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，求陰影部分面積．18．（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖（1）是的直徑，且，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖（2），求的長(zhǎng)．19．（2022秋·山東淄博·九年