專(zhuān)題06 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題06利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】 1【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】 13【類(lèi)型三一次函數(shù)中線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】 19【類(lèi)型四一次函數(shù)中線(xiàn)段差最大值問(wèn)題】 28【典型例題】【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的角平分線(xiàn)，的面積為12，長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線(xiàn)分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是18，腰的垂直平分線(xiàn)分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．4 B．9 C．11 D．133．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在的平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則的長(zhǎng)度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N，P分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．5．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

6．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別是角兩邊、上的定點(diǎn)，，．點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

7．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線(xiàn)折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線(xiàn)段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿(mǎn)足什么條件時(shí)，是直角三角形？8．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【初步感知】（1）如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；

【類(lèi)比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，隨著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：___________；②線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：___________．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊中，，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)且，若點(diǎn)為射線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請(qǐng)問(wèn)：是否有最小值？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠(chǎng)E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠(chǎng)E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠(chǎng)E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠(chǎng)E到A、B兩村的距離之和的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠(chǎng)向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠(chǎng)位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠(chǎng)需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．2．（2021秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長(zhǎng)度．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線(xiàn)同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問(wèn)題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．問(wèn)題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問(wèn)題，A，B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請(qǐng)你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．【類(lèi)型三一次函數(shù)中線(xiàn)段和最小值問(wèn)題】例題：（2023春·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段為邊在第二象限內(nèi)作等腰．（可能用到的公式：若，①中點(diǎn)坐標(biāo)為；②(1)求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)D是中點(diǎn)，在直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得有最小值？若存在，則求出此最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，．點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式；(2)求的值；(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線(xiàn)：交于點(diǎn)．

(1)求的值和直線(xiàn)的解析式；(2)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得的值最小，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，并求出直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值．(3)在第（2）問(wèn)的條件下，若點(diǎn)N是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以D，Q，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【類(lèi)型四一次函數(shù)中線(xiàn)段差最大值問(wèn)題】例題：（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求出滿(mǎn)足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值．【變式訓(xùn)練】1．如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)A（﹣10，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線(xiàn)y＝﹣x交于點(diǎn)C（a，7）．(1)求直線(xiàn)AB的表達(dá)式；(2)如圖②，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)l⊥x軸，交直線(xiàn)y＝﹣x于點(diǎn)F，交直線(xiàn)y＝kx＋b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0），求△CGF的面積；(3)點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由；2．在進(jìn)行13.4《最短路徑問(wèn)題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，找到了問(wèn)題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說(shuō)明了以上研究過(guò)程．證明過(guò)程如下：如圖4，在直線(xiàn)l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，∵點(diǎn)B，關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最小．(1)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線(xiàn)上）(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線(xiàn)l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線(xiàn)l上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大呢？請(qǐng)你類(lèi)比“將軍飲馬”問(wèn)題的探究過(guò)程，先說(shuō)明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________．（直接寫(xiě)答案）3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l：y＝x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，直線(xiàn)x＝﹣2交AB于點(diǎn)C，D是直線(xiàn)x＝﹣2上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)C的上方，設(shè)D（﹣2，m）（1）求點(diǎn)O到直線(xiàn)A