專題06 利用軸對稱的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問題之壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題06利用軸對稱的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問題之壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一幾何圖形中的最小值問題】 1【類型二實(shí)際問題中的最短路徑問題】 13【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】 19【類型四一次函數(shù)中線段差最大值問題】 28【典型例題】【類型一幾何圖形中的最小值問題】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，是的角平分線，的面積為12，長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．（2023秋·河南許昌·八年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線段上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（

）

A．4 B．9 C．11 D．133．（2022春·七年級單元測試）如圖，中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在的平分線上運(yùn)動，則的長度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N，P分別是邊上的動點(diǎn)，則的最小值是．5．（2023春·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)，則的最小值為．

6．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別是角兩邊、上的定點(diǎn)，，．點(diǎn)，分別是邊，上的動點(diǎn)，則的最小值是．

7．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？8．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）【初步感知】（1）如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；

【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)在邊的延長線上，隨著動點(diǎn)的運(yùn)動位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：___________；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：___________．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊中，，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)且，若點(diǎn)為射線上動點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請問：是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由．【類型二實(shí)際問題中的最短路徑問題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．2．（2021秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長度．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動點(diǎn)，求的最小值．問題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問題，A，B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】例題：（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰．（可能用到的公式：若，①中點(diǎn)坐標(biāo)為；②(1)求線段的長；(2)過B、C兩點(diǎn)的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)D是中點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)P，使得有最小值？若存在，則求出此最小值；若不存在，則說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)，．點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式；(2)求的值；(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)，求的最小值．2．（2023春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)．

(1)求的值和直線的解析式；(2)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得的值最小，若存在，請求出的最小值，若不存在，請說明理由．3．（2023春·重慶萬州·九年級重慶市萬州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(1)直接寫出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是線段上的一動點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和周長的最小值．(3)在第（2）問的條件下，若點(diǎn)N是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，以D，Q，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【類型四一次函數(shù)中線段差最大值問題】例題：（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動，求出滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，請直接寫出的最大值．【變式訓(xùn)練】1．如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)A（﹣10，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y＝﹣x交于點(diǎn)C（a，7）．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交直線y＝﹣x于點(diǎn)F，交直線y＝kx＋b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0），求△CGF的面積；(3)點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，直線l上是否存在點(diǎn)P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；2．在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對稱知識，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最?。?1)請將證明過程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大呢？請你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則的最大值為_________，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_________．（直接寫答案）3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，直線x＝﹣2交AB于點(diǎn)C，D是直線x＝﹣2上一動點(diǎn)，且在點(diǎn)C的上方，設(shè)D（﹣2，m）（1）求點(diǎn)O到直線A