多目標(biāo)規(guī)劃課件

多目標(biāo)規(guī)劃2024/1/7多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)化模型

---多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃第七講多目標(biāo)規(guī)劃方法

多目標(biāo)規(guī)劃解的討論——非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡(jiǎn)介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)達(dá)到法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例

多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。研究多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實(shí)際問(wèn)題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，衡量一個(gè)方案的好壞往往難以用一個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷，而需要用多個(gè)目標(biāo)來(lái)比較，而這些目標(biāo)有時(shí)不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫(kù)恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個(gè)完全令人滿意的定義。多目標(biāo)規(guī)劃求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對(duì)多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來(lái)求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。

多目標(biāo)規(guī)劃

多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個(gè)約束條件。（二）對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式：

一多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。多目標(biāo)規(guī)劃縮寫(xiě)形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）多目標(biāo)規(guī)劃對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？▲每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)規(guī)劃

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①的f2目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1比②小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說(shuō)明。圖1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解多目標(biāo)規(guī)劃

而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。多目標(biāo)規(guī)劃效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。多目標(biāo)規(guī)劃

是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

多目標(biāo)規(guī)劃在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值

i

來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，

i

應(yīng)滿足：向量形式：多目標(biāo)規(guī)劃方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:

規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過(guò)比較實(shí)際值fi與期望值fi*之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對(duì)角矩陣。多目標(biāo)規(guī)劃理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：方法三約束模型（極大極小法）

多目標(biāo)規(guī)劃方法四目標(biāo)達(dá)到法

首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：多目標(biāo)規(guī)劃在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)fi*(i=1,2,…,k),每一個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為

i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)

為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：多目標(biāo)規(guī)劃方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值fi*，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，L個(gè)優(yōu)先級(jí)(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

多目標(biāo)規(guī)劃式中：

di+和di－分別表示與fi相應(yīng)的、與fi*相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；pl表示第l個(gè)優(yōu)先級(jí)；

lk+、

lk-表示在同一優(yōu)先級(jí)pl中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)規(guī)劃投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)多目標(biāo)規(guī)劃二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定多目標(biāo)規(guī)劃二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定多目標(biāo)規(guī)劃三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}多目標(biāo)規(guī)劃三、模型的建立與分析多目標(biāo)規(guī)劃4.模型簡(jiǎn)化：多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃四、模型1的求解

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開(kāi)始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：多目標(biāo)規(guī)劃a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）多目標(biāo)規(guī)劃計(jì)算結(jié)果：多目標(biāo)規(guī)劃五、結(jié)果分析3.曲