東華高級中學 東華松山湖高級中學2022-2023學年第二學期高一3月考數(shù)學試題（有答案）

東華高級中學東華松山湖高級中學

2022—2023學年第二學期高一3月考

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合人={工|一1<2、<2,xwR},集合5={x|-l<log2Xv2,xwR},則集合AB=()

A.{%|0<x<l)B.{x|x<l}C.D.{x|x<4}

2.設(shè)斗6是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（）

A.2q—e,和—4qB.q_2,和q

C.q+s和q—2%D.4+4和羽+烏

x>1,M+乂>2,

3.設(shè)命題P：電>1命題"：中》則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

已知角。終邊在第四象限，且2sin2a+1=cos2a,則tan（a-：

4.)

1

A.B.3cD.2

3-4

力=!，cosA=—,則sinC=()

5.8c中,內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若。=1,

22

]_B.平DA+6

A.

4*8-

6.函數(shù)，（x）=（3"3T）cos（r）在區(qū)間—安

7.己知Q=logs2,Z?=sin55°,c=0.506,則()

A.c>b>aB.a>c>hC.b>c>aD.b>a>c

8.定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有

/(%)=-/x+4,且/(—1)=1，/(0)=-2,則/(1)+/⑵+/⑶+…+/(2024)的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對于AABC,有如下判斷，其中正確的判斷是()

A.若A>3,則sinA>sin8B.若sin2A=sin2B,則A4BC為等腰三角形

C.若sir?A+sin?B〈sin?C,則AABC是鈍角三角形

D.若a=8,c=10,8=60°,則符合條件的AABC有兩個

其中|夕否.若伯=/圖=；，則(

10.記函數(shù)/(x)=sin(2x+0),xeR,)

A.=1B.=0C.為奇函數(shù)D.+為奇函數(shù)

y

11.若3一“一3-<log3x-log3y,則()

A.x<yB.ex~y>1C.ln(x-y+l)>0D.

X+1X

12.如圖所示，設(shè)3,O)，是平面內(nèi)相交成4"卷角的兩條數(shù)軸,

4、.分別是與尤，y軸正方向同向

的單位向量，則稱平面坐標系宜》為，斜坐標系，若。加=&]+泗2，則把有序數(shù)對c，y)叫做向量OM的

(I/oA

斜坐標，記為OM=(x,y).在。=:的斜坐標系中，。=,b=(g,-l).則下列結(jié)論中，箱送的是()

A.a—b—――5/3,——+1B.同=1

(22

’2&+后2#+3、

仁albD.人在。上的投影向量為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知A,B,C三點共線，若DA=2ADB+3CB，則4=.

14.已知函數(shù)y=優(yōu)”+1(。＞0月.awl)的圖象經(jīng)過定點P,且點P在角a的終邊上，則sinacosa=.

15.第二次古樹名木資源普查結(jié)果顯示，我國現(xiàn)有樹齡一千年以上的古樹10745株，其中樹齡五千年以上

的古樹有5株.對于測算樹齡較大的古樹，最常用的方法是利用碳一14測定法測定樹木樣品中碳一14衰

變的程度鑒定樹木年齡.已知樹木樣本中碳-14含量與樹齡之間的函數(shù)關(guān)系式為-〃)=%(g)麗，其中即

為樹木最初生長時的碳-14含量，〃為樹齡(單位：年)，通過測定發(fā)現(xiàn)某古樹樣品中碳-14含量為0.6即，

則該古樹的樹齡約為萬年.(精確到0。1)(附:1g3?0.48,1g5?0.70).

16.已知函數(shù)行)=[吧*\，

[x--12x+34,x＞4

(1)當方程有三個不同的實根，，=.

(2)當方程f(x)=f有四個不同的實根，且玉，巧，與，匕，滿足玉＜々＜%＜看，則土上的值是.

X\'X2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量a=(l,0),6=(小1),且a與6的夾角為2.

(1)求,-2,；(2)若4+勸與匕垂直，求實數(shù)/的值.

18.在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知J%sin(8+C)+acos8=c.

⑴求角A的大??；(2)若a=6,8+c=6+6百，求△4BC的面積.

19.已知函數(shù)/(x)=log.(l-x)-log“(l+x),其中a>0.且awl.

⑴求函數(shù)的定義域；

(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由;

⑶若/仁)=2,求使f(x)>0成立的x的集合.

20.已知函數(shù)/(x)=2x2-ur+5,xe[-l,2].

⑴當。=4時，求/(x)的最值；

⑵若/")的最小值為-5,求實數(shù)。的值.

21.在①asinB=bsin(A+1)；②S=曰BA.CA；③ctanA=(2/?-c)tanC.三個條件中選一個，補充在下

面的橫線處，并解答問題.

在A4BC中，內(nèi)角人B、C的對邊分別為久久c,△ABC的面積為S,且滿足

(1)求A的大小；

⑵設(shè)AABC的面積為26,點。在邊BC上，且8￡>=2￡>C,求AE)的最小值.

22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設(shè)計如圖所示，每條車道

寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖為矩形ABCO,它的寬AO為2.4米，車廂的左側(cè)直線8與

中間車道的分界線相交于E、F,記ND4E=?.

■jr

(1)若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，=9，且A、B也都在中間車道

6

的直線上，直線C。也恰好過路口邊界。，求此大卡車的車長.

(2)若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時對任意。，此車都不越中間車道線，求此大卡車

的車長的最大值.

(3)若某研究性學習小組記錄了這兩個車道在這一路段的平均道路通行密度(輛

/km),統(tǒng)計如下:

時間7:007:157:307:458:00

里側(cè)車道通行密度11()12011()100110

外側(cè)車道通行密度110117.5125117.5110

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①/(x)=Asin①x+8(A>O,0>O)②g(x)=dx-〃|+c；

請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來描述早七點以后的平均道路通行密度(單

位：輛/km）與時間x（單位：分）的關(guān)系（其中x為7:00后所經(jīng)過的時間，例如7:30即x=30分），注意

兩個車道不用同一種模型，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式.

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2022—2023學年第二學期高一3月考數(shù)學答案

一、選擇題

123456789101112

CAABDDCAACBDBCBCD

二、填空題

1O

13.-；14.--;15.0.42；16.0或2；12

25

三、解答題

17.解：（1）因為。=（1,0））=（私1）,且4與人的夾角為I，

所以〃為=加,同=1，W=.................................................................3分

[1\a,brr

因為COS0〃）=麗，故/q=cosw，解得機=1或機=T（舍）............................5分

所以a-2b=（-1,—2）,則h一2司=J（T）2+（_2>=石.........................................7分

（2）因為乃=（1+4/1）,〃+勸與6垂直，

所以（。+/16）加=0,即1+22=0,解得又=-；..............................................10分

18.解:（1）因為sin（B+C）=sin（兀一A）=sinA,

所以由6慶由（3+。）+〃<：053=（;得+———=c,................................................................2分

2ac

貝！]2y/3hcsinA+a2+c2-b1=2c2,即/=/+c2-2y/3hcsinA,.................................3分

y^a2=b2+c2-2hccosA,所以J^sinA=cosA,則tanA=——，...................................4分

3

又Ae（O,兀），故A=g.（不寫A范圍，扣1分）.............................................6分

6

（2）因為A=弓,“=6,力+c=6+6>/i,所以/+/-石/?c=3+c）2-（2+石）6c,.............8分

所以36=36+72石+108-（2+6性，解得松=36心......................................10分

所以△4BC的面積S=-hcsinA=9>/3.........................................................12分

2

19.解：（1）要使函數(shù)有意義，則J*＞。，解得—l＜xvl，即函數(shù)“X）的定義域為（T1）;…?…2分

（2）/（X）是奇函數(shù)，....................................................................3分

理由如下：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，....................................................4分

f(-X)=logu(1+X)-log(,(1-X)=-[10g?(1-x)-log?(1+x)]=-/(x),/(x)是奇函數(shù)..........6分

(3)若/(1)=2,.?.1。8“卜一|)一1強“(1+：=1。8“；=2,解得：”=.......................8分

.-./(x)=logl(l-x)-log,(1+x)...............................................................................................................9分

22

若/(x)>O'則logjl-X)>logjl+X),,-.x+l>l-x>0,..............................................................11分

故不等式的解集為(0,1)...........................................................................................................................12分

20.解：(1)a=4[l^/(x)=2x2-4x+5xe[-l,2]

.-./(JC)=2(X2-2^)+5=2(X-1)2+3\/(x)關(guān)于x=l對稱，

當xw(-Ll)時，/(x)單調(diào)遞減，當xe(l,2)時，“X)單調(diào)遞增..............................2分

2

/(-0=2.(-l-l)+3=ll,42)=2?(2-lf+3=5,/(x)min=/(l)=3.

"(x)11Hx="-1)=11./W,rtn=/(!)=3...........................................................................................4分

(2)=2x?-or+5=+5--^-,

對稱軸為彳=￡,函數(shù)圖象開口向上，..............................5分

4

①當時，/(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增，

4

-<-lla<^

所以《4，即｛,：,a=-12；......................................................................7分

/(-1)=7+?=-5I"”

②當一i<@<2時,/'（x）在-1,且上單調(diào)遞減，在-,2上單調(diào)遞增,

444

-4<a<8

所以＜即《5?5無解;........................................................................9分

I8

③當:22時，/(x)在上單調(diào)遞減，

所以.產(chǎn),即產(chǎn)8,...“=9,

11分

/⑵=13—2。=一51”9

綜上，當/(X),“M=_5時，a=9或。=一12......12分

21.解：(1)選①，由asinB=Z?sin[A+m)，由正弦定理得sinAsin5=sinBsin(A+g

?1分

△4BC中sinBwO,sinA=sinlA+y.?3分

AG(O,7t),則sinA>0,-4分

J31

所以，-^cosA+—sinA=sinA,可得sinA=\/JcosA>0,則tanA=G，??5分

22

因止匕，A=1；............................?6分

選②，S=—BACA=—bccosA=—/?csinA,-3分

222

Aw(0,7t),貝l」sinA>0,.................-4分

??tanA=^3,得4=.............................??6分

選③，ctanA=(26-c)tanC,由正弦定理和切化弦得

winAsin

sinC----=(2sinB-sinC)-----,△48c中sinC^O,??????2分

cosAcosC

/.2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin8-3分

△48c中sin5wO,AG(O,7T),cosA=—-5分

?6分

(2)由5從4==；^csinA,有匕。=8,........

??7分

212

由4。二回十32AD=-AB+-AC9.........??8分

4

222222+

+16一48

16一-=

???AD=-AB+-ABAC+-AC=-c+-b+—>2.99-99-10分

999999

(c=2bfc=2

等號成立時/BPt,11分

[Z?c=8[h=4

AO的最小值為迪.....

12分

3

22.解：(1)作EM_LOM,垂足為例，作FN_LON,垂足為N,

N

MO

EA

TT冗

因為/ZME=—,所以NMEO=NNOF=NBFO=—,

66

74c”二2.412.

在RtzMDE中，ED=2.4xtan-=—,在Rtz^BC尸中，兀一5

65tan-J

o

48也,_4

OnEr=-K=-，在RtzXONF中，nOfF__^_8

在RtZkOME中,

cos—sin-

66

^^CD=OE+OF-ED-CF=-+8---^!^=8--

2分

35515

4424

(2)因為NOAE=，，所以O(shè)E=-OF=,ED=2.4tan0,CF=------

cosJsin。tan。

44c)「2.4

所以A3=C￡＞=OE+OP—EQ—CF=-----------1------------2.4tan0---------

cos0sin0tan，

4sin6+4cos。一2.4sin?。-2.4cos204(sin0+cos0)-2.4，(。<方

0<4分

sin。cos。sinOcos。

令sine+cos9=1,則/=0sin(，+￥),0＜。＜三,/.。+：￡7T371

4244