第八章 立體幾何初步2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)

第八章立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）

「思維導(dǎo)圖I

現(xiàn)實(shí)世界中的物體柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

空間幾何體I?但體圖形的直觀圖

!柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

產(chǎn)面的基本性質(zhì)

藥可中直線.直線的位置4系

空間點(diǎn)、直線、'空間中直線、平面的平行

平面的位置關(guān)系

空間中直線與平面的位置關(guān)系

空間中直綬、平面的垂直

空間中平面與平面的位置關(guān)系

空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

判定I

?平面與平面平行

性質(zhì)

性質(zhì)

------------------------1判定i------------;-------------判定i------------------------

直線與直線垂直!-二直線與平面垂直二一平面與平面垂直

性質(zhì)'

i.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

%

4

圖形

>ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱互相平行且相等相交于二點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2.正棱柱'正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反

之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱

錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.

3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

\0

至

圖形

互相平行且相長(zhǎng)度相等且相交

母線延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面于*A

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

般

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方和

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

(3)三視圖的長(zhǎng)度特征：

“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬.

5.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫,其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸，y'軸的夾角為45?；?35。,z，

軸與x'軸和V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸:平行于x軸和z軸的線段在

直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變:平行于v軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.

6.多面體的表(側(cè))面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是

側(cè)面積與底面面積之和.

7.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

--

---/;

:

側(cè)面展開圖1

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀尸/S圓錐便產(chǎn)國(guó)iS1由分低1=兀(而+尸2)/

rf=rr'=0

三者關(guān)系

S圓柱側(cè)=2W7網(wǎng)臺(tái)網(wǎng)=兀0"+)/網(wǎng)惟倜=?！?/p>

8.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

V=Sh

柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底

V=-Sh

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S例+S底

3一

%=如上+5下+也上S"

臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))s表面積=s側(cè)+S上+S下

-J4R,

球TI2

S=4R3-

9.平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線.

(4)公理2的三個(gè)推論

推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

10.空間直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

共面直線ES量

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'//b,把優(yōu)與

b,所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：kll

(3)平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

11.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

直線a在平面a內(nèi)aUa有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線a與平面a_____a

a//a沒有公共點(diǎn)

平行

直線

直線a與平面a

在平aC\a=A

斜交

面外有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線a與平面a

aS.a

垂直

(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

兩平面平行^37a//B沒有公共點(diǎn)

3/

兩平斜交aC0=l

面相有一條公共直線

交aa，p且

垂直/a7

LB7

12.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一

條直線平行，則該直線與此平面平----------1

判定定理

行（簡(jiǎn)記為“線線平行=線面平二：.l//a

行”）

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這

\'l//a,lu9

條直線的任一平面與此平面的交

性質(zhì)定理

線與該直線平行（簡(jiǎn)記為“線而平aC8=b,

：.l//b

行=線線平行”）

13.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直■:allB,b//B,

線與另一個(gè)平面平行，則這aCb=P,

判定定理2^7

兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線%/aUa,"a,

面平行=面面平行”）:.a"§

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和a///3,aC\y=a9

性質(zhì)定理第三個(gè)平面相交,那么它們6Cy=b,

的交線平行：.a//b

14.直線與平面垂直

（1）定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a垂直.

（2）判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂

直.

(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平

面.

(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：

①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線包.

②直線垂直于平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任二直線.

③垂直于同一條直線的兩平面平行.

15.直線和平面所成的角

(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90。和

02，

(3)直線和平面所成角的范圍是0WW90。.

16.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍是0°忘但180。.

17.平面與平面垂直

(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

判定定/J_a

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直?0a邛

理￡/u4"

lu。

性質(zhì)定兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與

anB=a

理另一個(gè)平面垂直

￡7l\_a

/_La

〈常用結(jié)論》

1.特殊的四棱柱

底面為平行側(cè)棱垂直直平行底面為

四棱柱于底面'矩形’

平行四邊形六面體六面體

rr;一；—Tn底面rz：---,,,.I側(cè)棱與底面[~―:~~7-\

長(zhǎng)萬體"?"=正四棱柱.”‘正萬體

---------邊長(zhǎng)相等------------邊長(zhǎng)相等------------

上述四棱柱有以下集合關(guān)系：；正方體;窄I正四棱柱]會(huì)

｛長(zhǎng)方體:呈)直平行六面體；號(hào)■:平行六面體:?拿,四棱

柱1.

2.球的截面的性質(zhì)

(1)球的任何截面是圓面；

(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直土截面：

(3)球心到截面的距離△與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為尸=一灰2一衣

3.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下：

S/如圖=￥￡根國(guó)“，S&陽移=2他￡電和凰.

4

4.正四面體的表面積與體積

棱長(zhǎng)為a的正四面體，其表面積為近咫，體積為注出.

5.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為七

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=?:

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=Sa.

(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,〃,c,外接球的半徑為R,則級(jí)三五玉1

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為二1,棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑

R內(nèi)=書，外接球半徑R外=事.

6.異面直線的判定定理

經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為爰畫直線.

7.等角定理的引申

(1)在等角定理中，若兩南的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等.

(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ).

8.唯一性定理

(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

9.線、面平行的性質(zhì)

(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.

(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度粗篁.

(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面上女.

(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.

(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平

面平行.

(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面壬丘.

(8)垂直于同一平面的兩條直線上任.

10.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

11.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.

12.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

13.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

14.過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

〈解題方法與技巧)

一、空間幾何體概念辨析題的常用方法

一緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或

定義法

增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

一通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即

反例法

可

典例1：下列結(jié)論正確的是()

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)

形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線

D[A錯(cuò)誤.如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是

三角形，但它不是棱錐.

S'

圖1圖2

B錯(cuò)誤.如圖2,若△/8C不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直

線，所得的幾何體都不是圓錐.

C錯(cuò)誤.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).D正確.]

二'識(shí)別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；

對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

典例2：(1)如圖是一個(gè)正方體，aB,C為三個(gè)頂點(diǎn)，。是棱的中點(diǎn)，則三棱錐

的正視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()

A

B

ABCD

(2)中國(guó)古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫樣頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，

圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,

則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

(1)A(2)A[(1)正視圖和俯視圖中棱/￡＞和8。均看不見，故為虛線，易知選A.

(2)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形.]

三、由三視圖確定幾何體的步驟

定底面H根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀

應(yīng)贏贏]T根據(jù)正、側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征

定形狀，注意三視圖中虛線和實(shí)線變化，確定幾何體形狀:

一___________________________

典例3:(1)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()

側(cè)(左)視圖

B.2C.3D.4

(2)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)用在正視圖上

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為力,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()

A.2^17B.2^5C.3D.2

(1)C(2)B[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ZBCZ),如圖，由圖可

知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3,故選C.

(2)先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)A/,N的位置如圖1所示.

MiMrrr---------

N°4NP

圖1圖2

圓柱的側(cè)面展開圖及N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接則圖中

即為A/到N的最短路徑.ON=-X16=4,OM=2,

4

:.MN=蜴而五2=岳森」2電.故選B.]

四、由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其

剩下部分視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).

典例4：如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()

□I

D

A[由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的

寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A,故選A.]

五、空間幾何體的直觀圖

1.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧

在原圖形中與X軸或歹軸平行的線段在直觀圖中與X,軸或_/軸平行，原圖中不與坐標(biāo)

軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線.

2.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)5"囤=/原圖例(2)5

原由杉=2、￡S直觀圖.

典例5：(1)已知等腰梯形458,CD=\,AD=CB=QAB=3,以所在直線為x軸,

則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖HB'CD'的面積為()

(2)如圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm,

O'C=2cm,則原圖形是()

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四邊形

(1)C(2)C[(1)法一(作圖求解)：如圖，取的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)

系，y軸交。。于點(diǎn)E,O,E在斜二測(cè)畫法中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',E',過￡'作E'F'_Lx'

軸，垂足為F,

因?yàn)镺E=N而2_丫=1,

所以0，E'=-,E'F'=也.

24

所以直觀圖B'CD'的面積為

S'修(1+3/衿,

故選C.

法二(公式法)：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形/8C。的面積S=gx(l+3)X1=2.

由H°q直呢用—一—.v0原圖形，

4

得S立%8=^X2=*,故選C.

(2)如圖，在原圖形。/8C中，應(yīng)有。。=2。'D'=2X2/=4/(cm),CD=CD'=2

cm.

所以O(shè)C=NOD?+CD?=叱4厲+22=6(cm),

所以O(shè)/=OC,由題意得。4觸8C,故四邊形。48c是菱形，故選C.]

六、求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的表

先求各個(gè)面的面積，再相加即可

面積

求旋轉(zhuǎn)體的表可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞

面積清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則幾何通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、

體的表面積時(shí)錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

典例6：(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()

俯視圖

A.48+兀B.48-7i

C.48+2兀D.48—2兀

(2)已知圓柱的上、下底面的中心分別為Oi,O2,過直線002的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.12@itB.12兀

C.8/兀D.IOK

(1)A(2)B[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為

2),高為5,半球的半徑是1,那么該幾何體的表面積為5=2X2X2+4X2X5-71X12+2^X12

=484-71,故選A.

(2)因?yàn)檫^直線。。的平面截該圓柱所得的微面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2啦,

底面圓的直徑為2/，所以該圓柱的表面積為2X7tX(/)2+27rX/義2仍=12兀.]

七'求體積的常用方法

直接法|對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

一首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的

割補(bǔ)法

幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算

一選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)

等體積法

面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

典例7：(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：53)是()

A.-+1B-+3

22

C.—+1D—+3

22

(2)如圖，已知正方體/BCD481GB的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐的體積為

(1)A(2號(hào)[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個(gè)圓錐和三棱維S

-ABC組版的,

如圖，三棱錐的高為3,底面中，AB=2,OC=1,/BLOC故其體積/=

,*1乂兀*12*3+1*1*2*1*3=匹+1.故選A.

32322

(2)四棱錐4-8囪。1。的底面881。。為矩形，其面積S=lx/=/，又四棱錐的高為點(diǎn)

4到平面8301。的距離，即力=：Q=也，所以四棱錐的體積P=lx/x也=1]

22323

八'空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)

化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段以，PB,PC兩兩互相垂直，且刈=m

PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4火2=次+62+02求解.

典例8：(1)設(shè)Z,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形

且其面積為93，則三棱錐。-/8C體積的最大值為()

A.12^3B.18由

C.24電D.54s

(2)已知直三棱柱ABC-A\B\C\的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,

AA\=\2,則球O的半徑為()

B.2710

C.yD.3V10

(1)B(2)C[(1)如圖，E是/C中點(diǎn)，A/是△48C的重心，。為球心，連接BE,OM,

OD,BO.因?yàn)镾^BC=*4B2=9\B,所以48=6,二而=2#.易知OM上平

面Z8C,所以在RtaOBM中，OM=\)OB2-81^=2,所以當(dāng)。，O,M三點(diǎn)共線且。

+OM時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，且最大值/『/版*(4+0舊)=393*6

=18他.故選B.

(2)如圖所示，由球心作平面Z3C的垂線,

則垂足為8C的中點(diǎn)因?yàn)镹8=3,AC=4,ABLAC,所以8C=5.

又NA/=18C=￡,OM=-AAI=6,

222

所以球O的半徑R=OA

=vB+62=y,故選C.]

九、共點(diǎn)、共線、共面問題的證明方法

(1)證明點(diǎn)共線問題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公

共點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然

后證明其余點(diǎn)也在該直線上.，

(2)證明線共點(diǎn)問題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn).

(3)證明點(diǎn)、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平

面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面從最后證明

平面a,4重合.

典例9：(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()

①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；

②若點(diǎn)4,B,C,。共面，點(diǎn)/,B,C,E共面，則4B,C,D,E共面；

③若直線a,b共面，直線a,c共面，則直線上c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

A.0B.1C.2D.3

(2)如圖，正方體/BCD-48cgi中，E,F分別是48和的中點(diǎn).求證:

AEB

①E,C,D\,E四點(diǎn)共面;

②CE,D\F,D4三線共點(diǎn).

(1)B[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的

四點(diǎn)矛盾；②中若點(diǎn)〃，B,。在同一條直線上，則/,B,C,D,E不一定共面，故②錯(cuò)誤;

③中，直線仇c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線

段不共面，故④錯(cuò)誤.]

(2)[證明]①如圖，連接E居CD\,A\B.

,：E,尸分別是ZB,的中點(diǎn)，

：.EF//BA\.

又?.【山〃。1。，：.EF//CDi,

：.E,C,D\,尸四點(diǎn)共面.

@'：EF//CD\,EF<CD\,

:.CE與DiF必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,

則由尸任直線CE,CEu平面ABCD,

得尸W平面ABCD.

同理「C平面ADD\A\.

又平面平面ADD\A\=DA,

直線D4,：.CE,DiF,D4三線共點(diǎn).

十、空間兩條直線的位置關(guān)系

-

空

間

兩

直

線

位

置

關(guān)

系

一

典例10：⑴已知a,b,c為三條不同的直線，且aU平面a,bu平面尸，aCl￡=c,給出下

列命題:

①若a與匕是異面直線，則c至少與a,b中的一條相交;

②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直；

③若a〃b,則必有a〃c.

其中真命題有.（填序號(hào)）

（2）如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線G〃，MN是

異面直線的圖形有（填上所有正確答案的序號(hào)）.

⑴①③⑵②④KD對(duì)于①，若。與a,6都不相交，則c〃a,c//h,從而?！ǔ疬@與

a與b是異面直線矛盾，故①正確.

對(duì)于②，。與b可能異面垂直，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，由。〃b可知。〃從又aA尸=c,從而a〃c,故③正確.

（2）圖①中，魚氮GH〃MN;圖②中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M生平面GHN,因此直線

GH與MN異面;圖③中，連接MG（圖略），GM//HN,因此G”與MTV共面；圖④中，G,M,

N共面，4旦H生平面GMN,因此G"與異面，所以在圖②④中，與異面.]

十一、平移法求異面直線所成角的步驟

「平移的方法一般有三種類型：（1）利用圖中已有的平行線平移；（2）利用特殊點(diǎn)（線段的

端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；（3）補(bǔ)形平移（一作）

W~~證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角（二證）

TF#~~在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之（三計(jì)算）

因?yàn)楫惷嬷本€所成角e的取值范圍是0?！?W9。。，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的

補(bǔ)角作為異面直線所成的角（四取舍）

典例11：（1）在正方體ZBCDZiBG。中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線/￡與CO

所成角的正切值為（）

A.—B.—C.—D.—

2222

（2）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如

圖，在鱉席中，48,平面68,且AB=BC=CD,則異面直線NC與8。所成角的余

弦值為(

⑴C(2)A[(1)如圖，連接8E,

D：一k/二一_

因?yàn)閆8〃CO,所以異面直線力￡與CD所成的角等于相交直線/￡與48所成的角，即

NEZA不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則CE=1,BC=2,由勾股定理得.又由平面

BCCB可得AB1BE,所以tanNE/8=^=近.故選C.

AB2

(2)如圖，分別取43,AD,BC,BD的中點(diǎn)、E,F,G,0,連接EG,OG,FO,FG,

則EF〃BD,EG//AC,所以NEEG為異面直線ZC與8。所成的角.易知FO〃AB,因?yàn)椤?,

平面8CZ),所以尸。_1_平面BCD,所以FO_LOG,設(shè)Z8=2a,則EG=EF=?,FG=y/a2+a2

=^2a,所以NFEG=60。，所以異面直線NC與8。所成角的余弦值為:，故選A.]

十二、判定線面平行的四種方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn));

(2)利用線面平行的判定定理(aOa,"a,a//b^a//a)；

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a〃H，aUa=q〃份;

(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕，a<Za,a邛,a//a=^a///3).

典例12：如圖，在四棱錐中，AD//BC,AB=BC=-AD,E,F,“分別為線段

2

AD,PC,的中點(diǎn)，AC與BE交于。點(diǎn),G是線段O尸上一點(diǎn).

(1)求證：4P〃平面8EE；

(2)求證：GH〃平面B4D.

［證明］(1)連接EC,

因?yàn)?？l￡>〃8C,BC=-AD,E為/￡>中點(diǎn)，

2

所以BC—'AE,

所以四邊形45CE是平行四邊形，所以O(shè)為/C的中點(diǎn).

又因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，

所以FO〃AP,

因?yàn)镽OU平面BEF,平面BEF,

所以4P〃平面BEF.

(2)連接切，OH,

因?yàn)镋"分別是PC,CD的中點(diǎn)，

陽以FH//PD,因?yàn)槠矫鏋?。，PZ)U平面R1。，所以77/〃平面必。

又因?yàn)?。是的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)、,

所以O(shè)H〃AD,因?yàn)槠矫鍾IO,ZDU平面F4D所以平面必D

又FHCOH=H,所以平面平面RiD

又因?yàn)镚〃u平面OHF,

所以G”〃平面PAD.

十三、判定平面與平面平行的四種方法

(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；

(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀

題可用).：

注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)

幸翟申

判定

典例13：已知空間幾何體N8CDE中，△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,ZUBC

為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面C￡>E_L平面88,平面Z8C，平面88,M,N分別為。8,

。。的中點(diǎn).

(1)求證：平面ENN〃平面48C；

(2)求三棱錐A-ECB的體積.

［解］(1)證明：取3c中點(diǎn)打，連接

：△/8C為等腰三角形,

：.AHA.BC,

又平面/8C_L平面8CQ,平面/8CA平面8c0=8。,

平面8CZ),同理可證平面8CQ,

：.EN//AH,

?；ENU平面ABC,/U平面NBC,

:.EN〃平面ABC,

又M,N分別為BD,。。中點(diǎn)，

C.MN//BC,

平面NBC,8CU平面

；.MN〃平面ABC,

火MNCEN=N,

，平面EMN〃斗&ABC.

(2)連接DH,取CH中點(diǎn)G,連接NG,

則NG//DH,由(1)知EN〃平面ABC,

所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面/6C的距離相等，

又△8CD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

C.DHVBC,

又平面48C,平面8C。，平面48cA平面8C0=BC,DHU平面BCD,

二?！ǎ矫鎆8C,...NGl.平面/8C,：.DH=\[3,

文N為CD中點(diǎn),：.NG=鼻,

又AC=AB=3,BC=2,

：.S&ABC=~\BC\-\AH\=2\I2,

?*.VE-ABC—匕V-W=；，SAW|NG|=?.

十四、證明直線與平面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理.

(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”.

(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”.

(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.

典例14：如圖，在斜三棱柱/8C-N囚G中，底面/8C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M為棱

8C的中點(diǎn)，55i=3,^5i=V10,ZC55i=60°.

4i

Ci

Bi

七寸一…

B

(1)求證：平面8CGS；

(2)求斜三棱柱的體積.

［解］(1)證明:如圖，連接31跖

因?yàn)榈酌?8C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且M為棱8C的中點(diǎn)，所以/MJL8C,且AM=3,

因?yàn)?8I=3,ZCBBi=60°,BM=1,

所以BiMnp+BZ-ZXlXBXcos60°=7,

所以BiM=幣.

又因?yàn)锳B\=\[]0,

所以ZM+BlMnlOnZ衣，

所以

又因?yàn)?iA/n8C=M,

所以平面BCC\B\.

(2)設(shè)斜三棱柱/8C-48a的體積為V,則

V=3VB\-ABC=3VA-B\BC

=3X；SAfi山CMM

=^X2X3Xsin60°義3

=9

~2

Q

所以斜三棱柱48c481G的體積為三.

2

十五、證明面面垂直的兩種方法

(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面

垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,

把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，

注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

|線線垂直線面至直面面垂直

典例15：(1)如圖，點(diǎn)N為正方形Z8C。的中心，AECD為正三角形,平面EC。，平面

ABCD,M是線段的中點(diǎn)，則()

A.BM=EN,且直線EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8A1,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線EN是異面直線

B［取的中點(diǎn)尸，。廠的中點(diǎn)G,連接￡￡FN,MG,GB,BD,BE.

?.?點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，

...點(diǎn)N在8。上，且為8。的中點(diǎn).

XECD是正三角形，：.EFLCD.

?平面EC。，平面ABC