第5章 第2講 動能定理及其應用-2021屆高中物理一輪復習講義（機構）

第五章功和能

第2講動能定理及其應用

【教學目標】1、掌握動能的概念，會求動能的變化量

2、掌握動能定理，并能熟練運用

【重、難點】靈活運用動能定理解決動力學綜合問題

【知識梳理】

定義f物體由于朝面具有的能量

公式f/=/小”2;單位一蛆,符號:J

矢標性一動能是標量,且只有正值

動能的變化量f

小火力在一個過程中對物體所做的功

內容f

等于物體在這個過程中動能的變化

表達式-W=Ek2-Eki

物理意義f倉型的功是物體動能變化的量度

,既適用于直線運動，也適用于曲線運動

適用氾圍f既適用于恒力做功，也適用于變力做功

［微觀?易錯判斷］

（1）一定質量的物體動能變化時，速度一定變化，但速度變化時，動能不一定變化。（）

（2）動能不變的物體一定處于平衡狀態(tài)。（）

（3）如果物體所受的合外力為零，那么合外力對物體做功一定為零。（）

（4）物體在合外力作用下做變速運動時，動能一定變化。（）

（5）物體的動能不變，所受的合外力必定為零。（）

（6）做自由落體運動的物體，動能與時間的二次方成正比。（）

典例精析

考點一對動能及其變化的理解

1.對動能的理解

（1）動能是物體由于運動而具有的能量，表達式反=%”

（2）動能是狀態(tài)量，和物體的瞬時速度大小（速率）對應.

2.關于動能的變化

（1）物體的動能不會發(fā)生突變，它的改變需要一個過程，這個過程就是外力對物體做功的過程或物

體對外做功的過程。

（2）動能的變化量為正值，表示物體的動能增加了，對應于合外力對物體做正功；動能的變化量為

負值，表示物體的動能減小了，對應于合外力對物體做負功，或者說物體克服合外力做功.

例1、（多選）一質點開始時做勻速直線運動，從某時刻起受到一恒力作用.此后，該質點的動能可

能（）

A.一直增大

B.先逐漸減小至零，再逐漸增大

C.先逐漸增大至某一最大值，再逐漸減小

D.先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大

考點二動能定理及其應用

1.對“外力”的兩點理解：

（1）“外力”可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等，它們可以同時作用，也可以不同時

作用.

（2）“外力”既可以是恒力，也可以是變力。

2.公式中“=”體現(xiàn)的三個關系：

數(shù)量關系合力做的功與物體動能的變化相等

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單位關系國際單位都是焦耳

因果關系合力做功是物體動能變化的原因

3.運用動能定理需注意的問題

(1)應用動能定理解題時，在分析過程的基礎上無需深究物體運動過程中狀態(tài)變化的細節(jié)，只需考

慮整個過程的功及過程初末的動能.

(2)若過程包含了幾個運動性質不同的分過程，既可分段考慮，也可整個過程考慮.但求功時，有

些力不是全過程都作用的，必須根據不同的情況分別對待求出總功，計算時要把各力的功連同

正負號一同代入公式.

例2、如圖所示，光滑斜面的頂端固定一彈簧，一物體向右滑行，并沖上固定在地面上的斜面.設

物體在斜面最低點A的速度為°,壓縮彈簧至C點時彈簧最短，C點距地面高度為/?,則從A到C

的過程中彈簧彈力做功是()

1

A.B.mgh-^nw7

2

C.~mghD.—(mgh+gmv)

例3、(多選)如圖所示為一滑草場。某條滑道由上下兩段高均為〃，與水平面傾角分別為45°和37°

的滑道組成，滑草車與草地之間的動摩擦因數(shù)為"。質量為根的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由

下滑，經過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計滑草車在兩段滑道交接處的能量

損失，sin37°=0.6,cos37°=0.8)。則()

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A.動摩擦因數(shù)〃=專

B.載人滑草車最大速度為、丹

C.載人滑草車克服摩擦力做功為Wg/7

D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為以

變式1、如圖所示，從地面上4處豎直向上拋一質量為用的小球，小球上升到B點時的動能與小球

上升到最高點后返回至C點時的動能相等，8點離地面高度為〃，C點離地面高度為作空氣阻力/

=0.1mg,大小不變，重力加速度為g,貝4()

3

A.小球上升的最大高度為27?8.小球下落過程中從8點到C點動能的增量為9“購

4

C.小球上升的最大高度為4/?D.小球下落過程中從B點到C點動能的增量為gmg/z

變式2、如圖所示，小物塊從傾角為。的傾斜軌道上A點由靜止釋放滑下，最終停在水平軌道上的8

點，小物塊與水平軌道、傾斜軌道之間的動摩擦因數(shù)均相同，A、8兩點的連線與水平方向的夾角為

a,不計物塊在軌道轉折時的機械能損失，則動摩擦因數(shù)大小為()

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A.tan6B.tanaC.tan(0+a)D.tan(0—a)

變式3、如圖所示，傾角，=37°的斜面AB與水平面平滑連接于B點，A、8兩點之間的距離so=3

m,質量m=3kg的小物塊與斜面及水平面間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.4。當小物塊從A點由靜止開

始沿斜面下滑的同時，對小物塊施加一個水平向左的恒力尸（圖中未畫出）。取g=10m/s2。

（1）若尸=10N,小物塊從A點由靜止開始沿斜面運動到B點時撤去恒力F,求小物塊在水平面上

滑行的距離s。（sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（2）為確保小物塊不離開斜面，該恒力尸的最大值為多大?

考點三應用動能定理解決平拋運動、圓周運動問題

1.平拋運動和圓周運動都屬于曲線運動，若只涉及位移和速度而不涉及時間，應優(yōu)先考慮用動能定

理列式求解。

2.動能定理的表達式為標量式，不能在某一個方向上列動能定理方程。

例4、（2017?新泰模擬）如圖所示，傾斜軌道的傾角為37°,CD、EF軌道水平，AB與CQ通

過光滑圓弧管道BC連接，C。右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從。進入該軌道，沿軌道內

側運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道。小球由靜止從A點釋放，已知AB長為5R,CO長為K,

圓弧管道8c入口8與出口C的高度差為1.8R,小球與傾斜軌道AB及水平軌道8、EF的動摩擦

因數(shù)均為0.5,重力加速度為g,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求：（在運算中，根號中的數(shù)值無需

算出）（1）小球滑到斜面底端C時速度的大小。

（2）小球剛到C時對管道的作用力。

（3）要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R'應該滿足什么條件？

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變式4、（多選）

如圖所示，一固定容器的內壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑的一端有一質量為m的質點

凡它在容器內壁由靜止下滑到最低點的過程中，克服摩擦力做的功為卬。重力加速度大小為g。設

質點P在最低點時，向心加速度的大小為m容器對它的支持力大小為N,則（）

2mgR—W2(mgR—W)

A-4=-贏-B-a=~贏~

3mgR—2W2（mg/?-W）

C?NRD.Nn

變式5、如圖所示，豎直四分之一光滑圓弧軌道固定在平臺AB上，軌道半徑R=1.8m,末端與平臺

相切于A點。傾角9=37。的斜面BC緊靠平臺固定。從圓弧軌道最高點由靜止釋放質量〃z=lkg

的滑塊小當。運動到B點的同時，與a完全相同的滑塊b從斜面底端C點以速度如=5m/s沿斜面

向上運動，b（視為質點）恰好在斜面上的尸點相遇，已知AB長度s=2m,a與AB面及匕與

BC面間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.5,g=10m/s2,sin37°=0.6.cos37°=0.8,求：

（1）滑塊a到8點時的速度；（2）斜面上PC間的距離。

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考點四運用動能定理巧解往復運動問題

1.在有些問題中物體的運動過程具有重復性、往返性，而在這一過程中，描述運動的物理量多數(shù)是

變化的，而且重復的次數(shù)又往往是無限的或者難以確定，求解這類問題時若運用牛頓運動定律及運

動學公式將非常繁瑣，甚至無法解出。由于動能定理只關心物體的初末狀態(tài)而不計運動過程的細節(jié)，

所以用動能定理分析這類問題可使解題過程簡化。

2.運用動能定理解決問題時，有兩種思路：一種是全過程列式，另一種是分段列式.

3.全過程列式時，涉及重力、彈簧彈力、大小恒定的阻力或摩擦力做功時，要注意運用它們的功能

特點：

（1）重力的功取決于物體的初、末位置，與路徑無關;

（2）大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小與路程的乘積.

（3）彈簧彈力做功與路徑無關.

（一）往復次數(shù)可確定的情形

例5、如圖所示，ABCD是一個盆式容器，盆內側壁與盆底BC的連接處都是一段與BC相切的圓弧，

BC是水平的，其距離J=0.50m。盆邊緣的高度為力=0.30m。在A處放一個質量為m的小物塊并

讓其從靜止開始下滑（圖中小物塊未畫出）。已知盆內側壁是光滑的，而盆底BC面與小物塊間的動

摩擦因數(shù)為〃=0.10。小物塊在盆內來回滑動，最后停下來，則停的地點到8的距離為（）

A.0.50mB.0.25mC.0.10mD.0

（二）往復次數(shù)無法確定的情形

例6、

如圖所示，斜面的傾角為仇質量為，”的滑塊距擋板P的距離為xo,滑塊以初速度內沿斜面上滑,

滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為//,滑塊所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。若滑塊每次與擋板

相碰均無機械能損失，則滑塊經過的總路程是（）

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.2（如2」4B-段湍3+x°tanj）

D-X^^+xocot。）

（三）往復運動永不停止的情形

例7、如圖所示，4B是傾角為。的粗糙直軌道，8CO是光滑的圓弧軌道，A8恰好在8點與圓弧相

切，圓弧半徑為七一個質量為機的物體（可以看做質點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結果它

能在兩軌道間做往返運動。已知P點與圓弧的圓心0等高，物體與軌道A8間的動摩擦因數(shù)為〃。

求：（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程；

（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力；

（3）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D,釋放點距B點的距離〃應滿足什么條件？

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■規(guī)律總結■1

利用動能定理求解往復運動問題的基本思路

1.弄清物體的運動由哪些過程組成.

2.分析每個過程中物體的受力情況.

3.各個力做功有何特點，對動能的變化有無影響.

4.從總體上把握全過程，表達出總功，找出初、末狀態(tài)的動能.

5.對所研究的全過程運用動能定理列方程.

考點五動能定理與圖象結合的問題

1.解決物理圖像問題的基本步驟

一

第

一觀察題目給出的圖像，弄清縱坐標、橫坐標所對應

步

一的物理量及圖線所表示的物理意義。

。

一

第

二根據物理規(guī)律推導出縱坐標與橫坐標所對應的物

步

一理量間的函數(shù)關系式。

一

=

>將推導出的物理規(guī)律與數(shù)學上與之相對應的標準

一

第函數(shù)關系式相對比，找出圖線的斜率、截距、圖線

三

步的交點、圖線下的面積所對應的物理意義，分析解

一答問題，或者利用函數(shù)圖線上的特定值代入函數(shù)

關系式求物理量。

2.四類圖象所圍面積的含乂

內圖由公式X=w可知，v-r圖線與坐標軸圍成的面積表示物體的位移

a-t圖由公式\v=at可知，a-t圖線與坐標軸圍成的面積表示物體速度的變化量

尸-X圖由公式W=Er可知，凡x圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功

?圖由公式W=Pt可知，P-t圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功

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例8、（多選）質量為1kg的物體靜止在水平粗糙的地面上，在一水平外力尸的作用下運動，如圖甲

所示，外力尸和物體克服摩擦力好做的功W與物體位移x的關系如圖乙所示，重力加速度g取10mg.

下列分析正確的是（）

甲

4物體與地面之間的動摩擦因數(shù)為0.2B.物體運動的位移為13m

C.物體在前3m運動過程中的加速度為3m/s2D.x=9m時，物體的速度為3啦m/s

變式6、（多選）

在某一粗糙的水平面上，一質量為2kg的物體在水平恒定拉力F的作用下做勻速直線運動，當運動

一段時間后，拉力逐漸減小，且當拉力減小到零時，物體剛好停止運動，圖中給出了拉力F隨位移

變化的關系圖象。已知重力加速度g=10m/s2?根據以上信息能精確得出或估算得出的物理量有

（）

A.物體與水平面間的動摩擦因數(shù)B.物體做減速運動的過程中拉力F對物體做的功

C.物體做勻速運動時的速度D.物體運動的總時間

變式7、靜止在粗糙水平面上的物塊在水平向右的拉力作用下做直線運動，，=4s時停下，其修圖

象如圖所示，已知物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)處處相同，則下列判斷正確的是（）

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A.f=ls到f=3s這段時間內拉力不做功

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B.f=2s時刻拉力的瞬時功率在整個過程中最大

C.整個過程中拉力做的功等于零

D.整個過程中拉力做的功等于物塊克服摩擦力做的功

【能力展示】

【小試牛刀】

1.某人用手托著質量為山的物體，從靜止開始沿水平方向運動，前進距離/后，速度為v（物體與

手始終相對靜止），物體與手掌之間的動摩擦因數(shù)為小則人對物體做的功為（）

A.mglB.0C.jLimgl

2.子彈的速度為v,打穿一塊固定的木塊后速度剛好變?yōu)榱?若木塊對子彈的阻力為恒力，那么當

子彈射入木塊的深度為其厚度的一半時，子彈的速度是（）

vyl2vv

A.2B.2vC.D.W

3.（多選）質量為1500kg的汽車在平直的公路上運動，v—f圖象如下圖所示。由此能求得（）

A.前25s內汽車的位移B.前10s內汽車的平均速度

C.15?25s內合外力對汽車所做的功D.前10s內汽車所受的牽引力

4.如圖所示，質量相同的物體分別自斜面AC和BC的頂端由靜止開始下滑，物體與斜面間的動摩

擦因數(shù)都相同，物體滑到斜面底部C點時的動能分別為Eki和a2,下滑過程中克服摩擦力所做的功

分別為用和牝，則（）

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A.反1>反2Wi<IV2B.E^\>EY2VVI=W2

C.反1=反2W\>W2D.Eki〈Ek2W\>W2

5.（多選）如圖所示，質量為機的小車在水平恒力尸推動下，從山坡（粗糙）底部A處由靜止起運動

至高為人的坡頂B,獲得速度為v,A、B之間的水平距離為x,重力加速度為g。下列說法正確的是

（）

4小車克服重力所做的功是機B.合外力對小車做的功是同僅

C.推力對小車做的功是:D.阻力對小車做的功是最"，+，陽萬一&

6.質量為，〃的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，如圖所示，運動過程

中小球受到空氣阻力的作用.設某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg,在此后

小球繼續(xù)做圓周運動，經過半個圓周恰好能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功

是（）

A.^mgRB.yngRC.yngRD.mgR

7.（多選）如圖所示，人通過滑輪將質量為機的物體，沿粗糙的斜面從靜止開始勻加速地由底端拉

到斜面頂端，物體上升的高度為力，到達斜面頂端時的速度為V,則在此過程中（）

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A.物體所受的合外力做的功為叫〃+3加/B.物體所受的合外力做的功為品v2

C.人對物體做的功為mg/zD.人對物體做的功大于mg/z

3

8.如圖所示，將質量為帆的小球以速度。o由地面豎直向上拋出.小球落回地面時，其速度大小為1

內。設小球在運動過程中所受空氣阻力的大小不變，則空氣阻力的大小等于（）

9.質量為1kg的物體以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其動能隨位移變化的

圖線如圖所示，g取lOmd,則以下說法中正確的是（）

A.物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.5B.物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.2

C.物體滑行的總時間為4sD.物體滑行的總時間為2.5s

10.（2014年全國大綱卷）一物塊沿傾角為。的斜坡向上滑動。當物塊的初速度為v時，上升的最

大高度為H，如圖所示；當物塊的初速度為:時，上升的最大高度記為九重力加速度大小為g。物

塊與斜坡間的動摩擦因數(shù)和/?分別為（）

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A.柩"。和旦B.D.(--\)tanO^a—

22gH4

11.如圖所示，粗糙水平地面AB與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BCD相連接，且在同?一豎直平面

內，。是8CQ的圓心，80。在同一豎直線上。質量機=2kg的小物塊在9N的水平恒力廠的作用

下，從A點由靜止開始做勻加速直線運動。已知AB=5m,小物塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為〃

=0.2。當小物塊運動到8點時撤去力凡取重力加速度g=10m/s2。求：

(1)小物塊到達8點時速度的大小;

(2)小物塊運動到。點時，軌道對小物塊作用力的大?。?/p>

(3)小物塊離開D點落到水平地面上的點與B點之間的距離。

【大顯身手】

12.如圖所示，在同一豎直平面內有兩個正對著的半圓形光滑軌道，軌道的半徑都是R,軌道端點

所在的水平線相隔一定的距離x,一質量為m的小球在其間運動而不脫離軌道，經過最高點A時的

速度為v,小球在最低點B與最高點A對軌道的壓力之差為4F(△F>0)。不計空氣阻力，則說法

正確的是()

A.m、x、R一定時，v越大，Z\F越大B.m、R一定時，x越大，Z\F越大

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C.m、x一定時，R越大，Z\F越大D.m、x、R一定時，v越大，Z\F越小

13.（2009?全國）以初速度如豎直向上拋出一質量為機的小物體.假定物塊所受的空氣阻力/大小不

變。已知重力加速度為g,則物體上升的最大高度和返回到原拋出點的速率分別為（）

A.和％f

2g(l+")mg+f

mgmg

mg

14.如圖所示，一小球從A點以某一水平向右的初速度出發(fā)，沿水平直線軌道運動到B點后，進入

半徑R=10cm的光滑豎直圓形軌道，圓形軌道間不相互重疊，即小球離開圓形軌道后可繼續(xù)向C點

運動，C點右側有一壕溝，C、D兩點的豎直高度h=0.8m,水平距離s=1.2m,水平軌道AB長為

Li=lm,BC長為L2=3m,小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)-0.2,重力加速度g=10m/s2,求：

（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點，求小球在A點的初速度？

（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不掉進壕溝，求小球在A點的初速度的范圍是多少？

15.如圖所示，用一塊長Li=1.0m的木板在墻和桌面間架設斜面，桌子高H=0.8m,長乙2=L5m.斜

面與水平桌面的夾角。可在0?60。間調節(jié)后固定.將質量〃?=0.2kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，

物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)川=0.05,物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為〃2

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，忽略物塊在斜面與桌面交接處的能量損失.（重力加速度取g=10m/s2；最大靜摩擦力等于滑動摩

擦力）（已知sin3知=0.6,cos370-0.8）

（1）求J角增大到多少時，物塊能從斜面開始下滑；（用正切值表示）

（2）當，角增大到37。時，物塊恰能停在桌面邊緣，求物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)償；

（3）繼續(xù)增大。角，當。等于多少度時物塊落地點與墻面的距離最大，并求此最大距離Xm.

16.如圖所示，傾角為37。的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相連，。點

為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點等高。質量，"=1kg的滑塊從A點由靜

止開始下滑，恰能滑到與O點等高的。點。g取始m/s2,sin37。=0.6,cos37。=0.8。

（1）求滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)〃；

（2）若使滑塊能到達C點，求滑塊從A點沿斜面滑下時的初速度為的最小值；

（3）若滑塊離開C處的速度大小為4m/s,求滑塊從C點飛出至落到斜面上所經歷的時間％

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17.一輕質彈簧左端固定在某點，放在水平面上，如圖所示.4點左側的水平面光滑，右側水平面

粗糙，在A點右側5m遠處豎直放置一半圓形光滑軌道，軌道半徑R=0.4m,連接處平滑.現(xiàn)將一

質量機=0.1kg的小滑塊放在彈簧的右端（不拴接），用力向左推滑塊而壓縮彈簧，使彈簧具有的彈

性勢能為2J,放手后，滑塊被彈簧向右水平彈出.已知滑塊與4點右側水平面的動摩擦因數(shù)〃=0.2,

MXg—10m/s2o求：

（1）滑塊運動到半圓形軌道最低點B處時對軌道的壓力；

（2）改變半圓形軌道的位置（左右平移），使得從原位置被彈出的滑塊到達半圓形軌道最高點C處

時對軌道的壓力大小等于滑塊的重力，則AB之間的距離應為多大.

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18.如圖甲所示，用固定的電動機水平拉著質量，"=2kg的小物塊和質量M=1kg的平板以相同的

速度一起向右勻速運動，物塊位于平板左側，可視為質點.在平板的右側一定距離處有臺階阻擋，

平板撞上后會立刻停止運動.電動機功率保持尸=3W不變.從某時刻r=0起，測得物塊的速度隨

時間的變化關系如圖乙所示，f=6s后可視為勻速運動，/=10s時物塊離開木板.重力加速度g=10

m/s2,求：（1）平板與地面間的動摩擦因數(shù)〃為多大？

（2）物塊在1s末和3s末受到的摩擦力各為多大？

（3）平板長度L為多少？

n一：增

甲

19.如圖所示，一質量，"=0.4kg的滑塊（可視為質點）靜止于動摩擦因數(shù)"=0.1的水平軌道上的A

點。現(xiàn)對滑塊施加一水平外力，使其向右運動，外力的功率恒為「=lO.OWo經過一段時間后撤去

外力，滑塊繼續(xù)滑行至B點后水平飛出，恰好在C點沿切線方向進入固定在豎直平面內的光滑圓弧

形軌道，軌道的最低點。處裝有壓力傳感器，當滑塊到達傳感器上方時，傳感器的示數(shù)為25.6N。

已知軌道A8的長度L=2.0m,半徑OC和豎直方向的夾角a=37。，圓形軌道的半徑R=0.5m。（空

氣阻力可忽略，重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37。=0.8）,求：（1）滑塊運動到C點時

速度。c的大??；（2）B、C兩點的高度差人及水平距離s；（3）水平外力作用在滑塊上的時間人

,0

/////////////

D

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20.由相同材料的木板搭成的軌道如圖所示，其中木板AB、BC、CD、DE、EF……長均為L=L5m,

木板OA和其他木板與水平地面的夾角都為。=37。仆也37。=0.6,cos37o=0.8),一個可看成質點的

物體在木板OA上從圖中的離地高度h=1.8m處由靜止釋放，物體與木板的動摩擦因數(shù)都為"=0.2,

在兩木板交接處都用小曲面相連，使物體能順利地經過它，既不損失動能，也不會脫離軌道。在以

后的運動過程中，重力加速度取lOm/s?,問：

(1)物體能否靜止在木板上？請說明理由

(2)物體運動的總路程是多少？

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第2講動能定理及其應用

答案

例1、ABD例2、B例3、AB變式1、BC變式2、B

變式3、（1）4.7m（2）40N

例4、答案：（1）［（2）6.6mg,方向豎直向下（3）RW0.92R或R22.3R

解析：（1）設小球到達C點時速度為力小球從A運動至C過程，由動能定理有：

〃碑(5Rsin37°+1.8R)—//ngcos37°-5/?=^/nvc2

28*R

解得：vc=

（2）小球沿BC管道做圓周運動，設在C點時管道對小球的作用力為FN，由牛頓第二定律，有:

7

F^—mg=tn—

其中r滿足：r+r-cos37°=1.87?

解得：Fz=6.6mg

由牛頓第三定律可得，小球對管道的作用力為66%g,方向豎直向下。

（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入所軌道，則小球在最高點應滿足：/增沙2g

小球從C點到圓周軌道的最高點過程，由動能定理，有：一〃機gR-mg?2k=5wp2—品叱可得：

23

R?7R=0.92R

情況二：小球上滑至四分之一圓周軌道的最高點時，速度減為零，然后滑回D,則由動能定理

有：一從mgR—mg?R=。-gmvc2解得：R22.3R

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所以要使小球不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R應該滿足RW0.92R或