第四章-章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課一、指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算主要考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式等，會(huì)利用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明．2．掌握基本運(yùn)算性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例1化簡(jiǎn)并計(jì)算(式中字母均為正數(shù))．(1)(－)÷()；(2)＋eq\r(π－42)－＋lg4＋2lg5＋log49·log34.解(1)原式＝··÷＝···＝·＝4x·.(2)原式＝＋|π－4|－32·＋lg4＋lg25＋2log43·log34＝3＋4－π－18＋lg(4×25)＋2eq\f(lg3,lg4)·eq\f(lg4,lg3)＝－π－7.反思感悟指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡(jiǎn)順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的．對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化，前后要等價(jià)，熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式，換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧．跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)1－－eq\f(1,2＋\r(3))－＋(eq\r(7)－eq\r(103))0；(2)log20.25＋lneq\r(e)＋＋lg4＋2lg5－eq\r(4,－24).解(1)1－－eq\f(1,2＋\r(3))－＋(eq\r(7)－eq\r(103))0＝1－eq\r(3)－eq\f(2－\r(3),2＋\r(3)2－\r(3))－＋1＝1－eq\r(3)－2＋eq\r(3)－＋1＝－eq\f(3,2).(2)log20.25＋lneq\r(e)＋＋lg4＋2lg5－eq\r(4,－24)＝log2eq\f(1,4)＋＋＋lg4＋lg52－eq\r(4,24)＝－2＋eq\f(1,2)＋81＋lg100－2＝79eq\f(1,2).二、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用有兩個(gè)方面：一是已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象，即“知式求圖”；二是判斷方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，通常不具體解方程，而是轉(zhuǎn)化為判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．2．掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的作法以及簡(jiǎn)單的圖象平移翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．例2已知a>0且a≠1，則函數(shù)f(x)＝ax和g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))的圖象只可能是()答案C解析函數(shù)g(x)的定義域是(－∞，0)，排除A，B，若0<a<1，則f(x)＝ax是減函數(shù)，此時(shí)g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))是減函數(shù)，C，D都不滿足，若a>1，則f(x)＝ax是增函數(shù)，此時(shí)g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))是增函數(shù)，C滿足．反思感悟指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象既是直接考查的對(duì)象，又是數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)、最值、解不等式的工具，所以要能熟練畫(huà)出這兩類函數(shù)圖象，并會(huì)進(jìn)行平移、對(duì)稱、翻折等變換．跟蹤訓(xùn)練2對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()答案A解析若0<a<1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又由函數(shù)y＝(a－1)x2－x開(kāi)口向下，其圖象的對(duì)稱軸x＝eq\f(1,2a－1)在y軸左側(cè)，排除C，D.若a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝(a－1)x2－x圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸x＝eq\f(1,2a－1)在y軸右側(cè)，因此B項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng)A滿足．三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1．以函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算考查函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及利用性質(zhì)進(jìn)行大小比較、方程和不等式求解等．在解含對(duì)數(shù)式的方程或解不等式時(shí)，不能忘記對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0，以免出現(xiàn)增根或擴(kuò)大范圍．2．掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)．例3(1)設(shè)a＝log2π，b＝，c＝π－2，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a答案C解析∵a＝log2π>log22＝1，b＝<＝0，c＝π－2＝eq\f(1,π2)，即0<c<1，∴a>c>b.(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函數(shù)y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．解①因?yàn)閘oga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上為增函數(shù)．又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函數(shù)y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因?yàn)?≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2)))，所以所求函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2))).反思感悟要熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．方程、不等式的求解可利用單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)含參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要注意變量本身的取值范圍，以免出現(xiàn)增根；大小比較問(wèn)題可直接利用單調(diào)性和中間值解決．跟蹤訓(xùn)練3若0<x<y<1，則()A．3y<3x B．logx3<logy3C．log4x<log4y D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y答案C解析因?yàn)?<x<y<1，則對(duì)于A，函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，故3x<3y，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，根據(jù)底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的影響：當(dāng)0<a<1時(shí)，在x∈(1，＋∞)上“底小圖高”．因?yàn)?<x<y<1，所以logx3>logy3，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故log4x<log4y，C正確．對(duì)于D，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上單調(diào)遞減，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D錯(cuò)誤．四、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1．函數(shù)的零點(diǎn)主要考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及零點(diǎn)所在區(qū)間，主要利用了轉(zhuǎn)化思想，把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸交點(diǎn)以及兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題．2．掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理及轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．例4(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x＋2x－3，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋2x－3，所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，f(2)＝log22＋22－3＝2>0，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間(1,2)內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn)．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1,0) D．[－1,0)答案D解析由3x－1＝0可得x＝eq\f(1,3)>0，若函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為ex＋a＝0在x≤0上有一個(gè)實(shí)根，即y＝－a與y＝ex在x≤0上有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閤≤0時(shí)，ex∈(0,1]；又y＝－a與y＝ex在x≤0上有一個(gè)交點(diǎn)，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.反思感悟(1)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)基本方法：利用圖象研究與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．跟蹤訓(xùn)練4(1)方程eq\f(x3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根x0所在的區(qū)間為()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析將方程變形，并構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因?yàn)閥＝eq\f(x3,4)和y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x均為增函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x也為增函數(shù)，由函數(shù)解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0，f(1)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)<0，f(2)＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得f(x)＝eq\f(x3,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)，即方程eq\f(x3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根x0所在的區(qū)間為(1,2)．(2)設(shè)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程2x－2[x]－1＝0的根有()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)答案B解析方程2x－2[x]－1＝0根的個(gè)數(shù)等價(jià)于y＝2x－1與y＝2[x]的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程2x－2[x]－1＝0有3個(gè)根．1．(2019·全國(guó)Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.2．(2019·全國(guó)Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0 D．|a|>|b|答案C解析由函數(shù)y＝lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a－b<1時(shí)，ln(a－b)<0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3>0，故C正確；當(dāng)b<a<0時(shí)，|a|<|b|，故D不正確．3．(2019·全國(guó)Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>>B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>>C．>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))答案C解析根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可知，

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(－log34)＝f(log34)，因?yàn)?<<<20<log34，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))).4．(2019·全國(guó)Ⅲ)函數(shù)y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的圖象大致為()答案B解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)，所以f(－x)＝eq\f(－2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函數(shù)y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)為奇函數(shù)，排除C；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)>0恒成立，排除D；因?yàn)閒(4)＝eq\f(2×64,24＋2－4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))＝eq\f(128×16,257)≈7.97，排除A.5．(2019·北京)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽(yáng)的星等是－26