專題1-7數(shù)列求通項(xiàng)13類題型匯總

專題1-7數(shù)列求通項(xiàng)13類題型匯總TOC\o"1-3"\n\h\z\u數(shù)列求通項(xiàng)常見題型梳理【題型1】Sn與an【題型2】前n項(xiàng)積【題型3】因式分解型（正項(xiàng)數(shù)列）【題型4】已知等差或等比求通項(xiàng)【題型5】累加法（疊加法）【題型6】累乘法（疊乘法）【題型7】構(gòu)造：等差、等比，常數(shù)列【題型8】取倒數(shù)型【題型9】取倒數(shù)后進(jìn)行構(gòu)造【題型10】隔項(xiàng)等差數(shù)列求通項(xiàng)（和為等差）【題型11】隔項(xiàng)等比數(shù)列求通項(xiàng)（積為等比）【題型12】和為等比數(shù)列求通項(xiàng)【題型13】奇偶數(shù)列：奇偶項(xiàng)遞推公式不同數(shù)列求通項(xiàng)常見題型梳理1、與與同時(shí)存在角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題中的例：已知；已知角度3：等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2、前n項(xiàng)積前n項(xiàng)積角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項(xiàng)之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.3、因式分解型如果式子中出現(xiàn)了2次項(xiàng)或者正項(xiàng)數(shù)列這些條件，可能需要因式分解例：設(shè)正項(xiàng)的前項(xiàng)和為（1）若滿足,,數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________（2）若，，的通項(xiàng)公式為_____________（3）若，，的通項(xiàng)公式為____________【答案】（1）；（2）；（3）4、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用累加法求通項(xiàng)公式。具體步驟：，將這個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=5、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法具體步驟：，將這個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：6、構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.7、倒數(shù)型用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如：（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列）8、隔項(xiàng)等差數(shù)列（和為等差）已知數(shù)列，滿足，（k≠0）則；；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；9、隔項(xiàng)等比數(shù)列（積為等比）已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；10、和為等比數(shù)列（和為等比）已知數(shù)列，滿足，則，再通過累加法和錯(cuò)位相減求出的通項(xiàng)公式【題型1】Sn與an已知數(shù)列滿足：對任意，有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】(1)【分析】當(dāng)時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，有遞推關(guān)系可知，將其與與原遞推關(guān)系作差，即可得到結(jié)果，再檢驗(yàn)是否滿足，進(jìn)而得到結(jié)果；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，則，故，當(dāng)時(shí)，上式亦滿足；綜上，（湖南師大學(xué)附中月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（

）A．為等差數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)，得到即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯(cuò).當(dāng)時(shí)，，又由時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯(cuò).已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，作差得，即當(dāng)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，而，則，故（重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校月考）（多選）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯(cuò)誤；先放縮，再利用裂項(xiàng)相消求和可證明D正確.【詳解】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，求【詳解】由題意知，，又，得．當(dāng)時(shí)，由，得，得．則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．所以．又，則．當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以．【題型2】前n項(xiàng)積對于數(shù)列，前項(xiàng)積記為；①；②則①②：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，，求數(shù)列，的通項(xiàng)公式【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時(shí).∴當(dāng)時(shí)，，也滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，符合上式當(dāng)時(shí)，，所以，也符合上式，綜上，∴，.（江蘇連云港，南通調(diào)研）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，求的通項(xiàng)公式【答案】；【詳解】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)積為，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，為定值，因?yàn)?，令，得，，故，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，得.所以，當(dāng)時(shí)，，顯然符合上式，所以.2021·全國高考乙卷（理）——前n項(xiàng)積，消求記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對于n=1不成立,∴.【題型3】因式分解型（正項(xiàng)數(shù)列）正項(xiàng)遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求的通項(xiàng)公式；【答案】或【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴.當(dāng)時(shí)，，即，解得.由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，∴或.已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以或（舍去），當(dāng)時(shí)，有兩式相減得，整理得，因?yàn)榈母黜?xiàng)都是正數(shù)，所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí),，,則,當(dāng)時(shí)，，則,兩式相減得：即即∵，∴,∴數(shù)列是2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴. 【題型4】已知等差或等比求通項(xiàng)注意與消Sn的方法進(jìn)行區(qū)分（湖北省黃岡市9月調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】【詳解】依題意有，，，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，（蘇州市期初調(diào)研）已知等比數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和.【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，∵，∴，解得，，∴，（佛山二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】.【詳解】設(shè)的公比為，則，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，所以，所以或(舍去)，所以，即，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（濰坊一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】，【分析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，由，可求出的值【詳解】因?yàn)椋詴r(shí)，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因?yàn)?，所以，綜上【題型5】累加法（疊加法）在數(shù)列中，，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：在數(shù)列中，已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：，所以，則已知數(shù)列滿足，，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，，，，可得，，又，則當(dāng)時(shí)，，上式對也成立，所以，【題型6】累乘法（疊乘法）數(shù)列滿足，，則【答案】【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求其前2021項(xiàng)的和，從而得到結(jié)果.【詳解】由得：，；設(shè)，則，，，，即，，，.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】n【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴.（2022·新高考1卷）為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，【詳解】解：時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，故，所以，故.符合上式故的通項(xiàng)公式為，.【題型7】構(gòu)造：等差、等比，常數(shù)列（2020·全國Ⅲ卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，，求an.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號(hào)兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時(shí)也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．【點(diǎn)評】方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，①，②，由①-②，得，即.所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，即.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，求通項(xiàng)公式．【解答】又是以2為公比和首項(xiàng)的等比數(shù)列，即已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】所以所以數(shù)列是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，所以.數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．在數(shù)列中，，且對任意的，都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【詳解】由，可得又，，所以.所以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.所以.又滿足上式，所以廣東省廣州市2023屆高三綜合測試（一）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求.【答案】(2)【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以2023·廣東惠州一模已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，．可得，整理得：，從而，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.【題型8】取倒數(shù)型已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【詳解】由兩邊取倒數(shù)可得，即．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3等差數(shù)列.所以，所以．在數(shù)列中，若，則.【答案】【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得.【詳解】取倒數(shù)得:，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以.已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對所給式子化簡、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋蛇f推知，，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.【題型9】取倒數(shù)后進(jìn)行構(gòu)造已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對所給式子化簡、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，由遞推知，，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.在數(shù)列中，，，且滿足，則.【答案】【分析】由遞推公式兩邊同除得到，即可得到，即可得到是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，則，再利用累加法求出，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)?，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考（九）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（，2，…），則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對于A選項(xiàng)，只需判斷；對于B選項(xiàng)，通過通項(xiàng)公式可求得；對于C選項(xiàng)，將條件轉(zhuǎn)化為，可判斷錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，將數(shù)列放縮成等比數(shù)列求和，可判斷正確.【詳解】由條件，兩邊同時(shí)除以，得，∴∴，∴，對于A選項(xiàng)，∵，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，等價(jià)于，由極限思想知，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，∴，又∵，所以D選項(xiàng)正確.

【題型10】隔項(xiàng)等差數(shù)列求通項(xiàng)（和為等差）已知,求的通項(xiàng)公式．【答案】；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列解答過程由，可推出，兩式作差所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，，∴，又，，∴。當(dāng)時(shí)，，∴為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴為偶數(shù)時(shí)，，∴已知數(shù)列中，對任意的,都有，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】由條件，可得：兩式相減得： ……7分因?yàn)?，所以，?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列； ……8分偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列． ……9分綜上： ……10分

【題型11】隔項(xiàng)等比數(shù)列求通項(xiàng)（積為等比）已知正項(xiàng)等比數(shù)列對任意的均滿足，，求的通項(xiàng)公式；【答案】思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作商，判斷為隔項(xiàng)等比數(shù)列解答過程：由，可推出，兩式作商所以是隔項(xiàng)等比數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：.山東省濟(jì)南市二模（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【詳解】，，，即，則，A正確；顯然有，于是得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，B正確；于是得，，則，，C正確，D不正確.2023·廣東深圳二模已知數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)由得,分奇偶項(xiàng)分別求通項(xiàng)，最后寫出通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列(其中）成等差數(shù)列，應(yīng)用反證法得出矛盾證明即可.【詳解】（1）由，得以上兩式相比，得,由，得,所以，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比4為的等比數(shù)列，,數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為4的等比數(shù)列，,綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列(其中）成等差數(shù)列，則.由（1）得，即,兩邊同時(shí)除以，得(*)(*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)(*）等式不成立，假設(shè)不成立.所以，數(shù)列中得任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列【題型12】和為等比數(shù)列求通項(xiàng)已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前n和.【答案】思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差變換下標(biāo)，寫成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通項(xiàng)所以數(shù)列的前n和為求和（2023·重慶巴南·一模）在數(shù)列中，已知，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】通過湊配法證得是等比數(shù)列.【詳解】（由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列..已知數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將兩邊同時(shí)加，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明可得，再構(gòu)造數(shù)列，求解首項(xiàng)分析即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可得，參變分離可得，再根據(jù)的單調(diào)性求解最大值即可.【詳解】（1）由可得，且，故是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，所以，又，故，即.（2）由（1）為等比數(shù)列，故，故即恒成立，求的最大值即可.設(shè)，則，令有，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小.又，故為的最大值，為，所以，2023·浙江杭州·統(tǒng)二模設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項(xiàng)，代入題中式子求解即可；（2）列出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)求出的前n項(xiàng)和，再根據(jù)通項(xiàng)求出的前2n項(xiàng)和，兩式相減解得的通項(xiàng)公式，最后分組求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1），設(shè)公差為d，首項(xiàng)為，