福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校協(xié)作2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考試題+數(shù)學(xué)+Word版含解析

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校協(xié)作2023—2024學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若集合，，則的元素的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C. D.2.復(fù)數(shù)虛部為（）A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象可能是（）．A B. C. D.4.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的值可以為（）A. B. C. D.或5.若向量，，且，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.6.設(shè)，，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.7.我國(guó)古代的洛書中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的每列的數(shù)字之和為，如圖，三階幻方的，那么（）492357816A.41 B.369 C.1476 D.33218.函數(shù)，若恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，正實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸10.已知數(shù)列中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是遞增數(shù)列 C. D.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且均為奇函?shù)，則（）A. B. C. D.12.如圖，直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，,，點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)Q是經(jīng)過點(diǎn)D的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.四面體PBCQ的體積的最大值為B.的取值范圍是C.若二面角的平面角為，則D.若三棱錐的外接球表面積為S，則第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點(diǎn)，___．14.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15.設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則_________．16.已知無窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的范圍為_____________.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的最值，及取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．18.已知函數(shù)，圖象在處的切線為．（1）設(shè)，求的最小值；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．（1）求證：數(shù)列等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列滿足，其前9項(xiàng)和為63．令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．20.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，平面平面．（1）設(shè)平面平面，問：線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？（2）平面與平面的夾角的余弦值．21.已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．（1）求角；（2）若，在的邊和上分別取點(diǎn)，，將沿線段折疊到平面后，頂點(diǎn)恰好落在邊上（設(shè)為點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.“德化一中、永安一中、漳平一中”三校協(xié)作2023—2024學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若集合，，則的元素的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合解不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得答案.【詳解】由題意得，，故，即的元素的個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選：A2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】，所以的虛部為.故選：C.3.函數(shù)的圖象可能是（）．A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B，D都不正確；對(duì)于C，時(shí)，，，所以，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也符合時(shí)，，故A正確．故選：A.4.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的值可以為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出，結(jié)合求出答案.【詳解】由正弦定理得，即，故，因?yàn)?，所以，?故選：A5.若向量，，且，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】，，，，，解得，，在方向上的投影向量為.故選：C.6.設(shè)，，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可判斷A；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B；根據(jù)的范圍判斷C，利用基本不等式以及等號(hào)成立條件判斷D.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，所以，即，A錯(cuò)誤，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，故，B正確；由于，即，故，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但，故，D錯(cuò)誤，故選：B7.我國(guó)古代的洛書中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的每列的數(shù)字之和為，如圖，三階幻方的，那么（）492357816A.41 B.369 C.1476 D.3321【答案】B【解析】【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：九階幻方所有數(shù)字之和為，由于每列和對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，所以每列的數(shù)字之和為，故選：B.8.函數(shù)，若恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，正實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性求出參數(shù)范圍即可.【詳解】由題知，的實(shí)數(shù)解可轉(zhuǎn)化為或的實(shí)數(shù)解，即，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖所示：

所以時(shí)有最大值：所以時(shí)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，令，則則有且，如圖所示：

因?yàn)闀r(shí)，已有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需保證與及與有四個(gè)交點(diǎn)即可，所以只需，解得．故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到函數(shù)最小正周期，進(jìn)而得到；B選項(xiàng)，將代入解析式，求出；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，計(jì)算出，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)最小的正周期為，由圖象可知，，解得，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，將代入中得，，故，即，因?yàn)椋灾挥挟?dāng)時(shí)，滿足要求，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；D選項(xiàng)，，故直線是函數(shù)圖象對(duì)稱軸，D正確.故選：ACD10.已知數(shù)列中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是遞增數(shù)列 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，得到表為等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，則，又由，可得，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由，所以A不正確；由，即，所以是遞增數(shù)列，所以B正確；由，所以C錯(cuò)誤；由，，所以，所以D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且均為奇函?shù)，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，，即可代值逐一求解.【詳解】因?yàn)榫鶠槠婧瘮?shù)，所以，即①，，因?yàn)?，即，所以，即②．由①，取得，由②，令，得；令，得，所以．由①，令，得．故選：ABC12.如圖，直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，,，點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)Q是經(jīng)過點(diǎn)D的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.四面體PBCQ的體積的最大值為B.的取值范圍是C.若二面角的平面角為，則D.若三棱錐的外接球表面積為S，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)棱錐的體積公式可判斷A；根據(jù)向量的相等以及數(shù)量積的定義可判斷B；結(jié)合二面角平面角定義找出，結(jié)合解直角三角形判斷C；確定三棱錐的外接球球心位置，列等式求得半徑表達(dá)式，求得其取值范圍，即可求出三棱錐外接球表面積取值范圍，判斷D.【詳解】由題意知在直四棱柱中，半圓弧經(jīng)過點(diǎn)D，故，點(diǎn)P到底面的距離為，當(dāng)點(diǎn)Q位于半圓弧上的中點(diǎn)時(shí)最大，即四面體PBCQ體積最大，則，故A正確；由于，則，又在中，，故，因?yàn)?，所以，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，故，?平面，故平面，平面，故，所以是二面角的平面角，則，因?yàn)椋裕蔆正確；設(shè)線段BC的中點(diǎn)為N，線段的中點(diǎn)為K，則三棱錐的外接球球心O在NK上，在四邊形中，,,設(shè)，在中，在中，故，整理得，所以，所以外接球的表面積為，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面位置關(guān)系，確定外接球球心位置，進(jìn)而找出等量關(guān)系，求得球的半徑取值范圍，即可求解球表面積取值范圍.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點(diǎn)，___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化為齊次式，化弦為切，代入求值.【詳解】由題意得，.故答案為：14.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依題意可得“，”是真命題，分、兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然成立；當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．15.設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則_________．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律，得；再根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，得；最后根據(jù)圓的性質(zhì)即可解答.【詳解】記的半徑為，則..，即.，因?yàn)椋谥?，，則，同理，所以三角形為等邊三角形，.故答案為：.16.已知無窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的范圍為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，分析可得的取值范圍，由求出，則有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最值，從而可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于無窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，則，由于，則，解得或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，令，則，由，得，得，解得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即的范圍為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的最值，及取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．【答案】（1）,；，（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，根據(jù)范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果可求出角A，利用余弦定理可求出的值，利用三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】，，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；【小問2詳解】由，即，而為銳角，，則，，又，由余弦定理得，即，即，.18.已知函數(shù)，的圖象在處的切線為．（1）設(shè)，求的最小值；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求解最小值；（2）先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)最小值即可.【小問1詳解】，由題意知，所以=，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，即的最小值為0.【小問2詳解】令，則，由（1）可知當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；所以，故.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列滿足，其前9項(xiàng)和為63．令，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，求出即可；（2）用基本量法求出，利用裂項(xiàng)相消法求出，適當(dāng)放縮即可證明.【小問1詳解】證明：，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，【小問2詳解】證明：20.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，平面平面．（1）設(shè)平面平面，問：線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？（2）平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）存在為的中點(diǎn)，使平面（2）【解析】【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，證明四邊形為平行四邊形，，從而平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到，即，從而平面；（2）由平面平面，得出平面，建立空間直角坐標(biāo)系求解.【小問1詳解】存在為的中點(diǎn)，使平面.分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，平面平面，平面，，，平面，平面，平面.即線段上存在一點(diǎn)，使平面.【小問2詳解】分別取、中點(diǎn)、，連接、，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則取，得，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．（1）求角；（2）若，在的邊和上分別取點(diǎn)，，將沿線段折疊到平面后，頂點(diǎn)恰好落在邊上（設(shè)為點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，