微分幾何答案

第二章曲面論§1曲面的概念r求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐標(biāo)曲線.r解u-曲線為r={ucosv,usinv,bv}={0,0,bv}+u{cosv,sinv,0},為曲0 0 0 0 0 0r線的直母線；v-曲線為r=｛"°cosv,“°sinv,bv｝為圓枉螺線.r2.證明雙曲拋物面r=｛a(u+v),b(u-v),2uv｝的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。r證u-曲線為r={a(u+v),b(u-v),2uv}={av,bv,0}+u{a,b,2v}表示過0 0 0 0 0 0點(diǎn)｛aVq,b匕,°｝以｛a,b,2七｝為方向向量的直線;rv-曲線為r={a(u0+v),b(u°-v),2u°v}={au°,bu°,0}+v{a,-b,2u°}表示過點(diǎn)(au0,bu0,°)以｛a,-b,2u0｝為方向向量的直線。r3.求球面r=｛acos9sin中,acos9sin中,asin9｝上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。解匕={-asin9cosQ-asin9sin里,acos9},《={-acos9sin里,acos9cos中,0}任意點(diǎn)的切平面方程為x-acos9cos中y-acos9sin中

-asin9cos中 -asin9sin中任意點(diǎn)的切平面方程為-acos9sin中 acos9cos中即xcos9cos甲+ycos9sin甲+zsin9-a=0；法線方程為x-acos9cos中 y-acos9sin中 z-asin9法線方程為cos9cos中 cos9sin中sin9x2 y2求橢圓柱面一+：=1在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。- x2 y2解橢圓柱面—+-—a2 b2=1的參數(shù)方程為x=cosS,y=asinSp={-asinS,b0cosS,0},P={0,0,1}。所以切平面方程為：tx一acosSy一bsinSz一t一asinSbcosS0=0，即xbcosS+yasinS—ab=0001z=t此方程與t無(wú)關(guān)，對(duì)于S的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而S的每一數(shù)值對(duì)應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。證明曲面r={u,v,竺)的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。uvp a3、p a3、 xyuv證r={1,0,一uv}r{0,1,_uv2}°切平面萬(wàn)程為：；+v+云z=33a2與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,——)。于是，四面體的體積為:uv1 3a3 9V=—31u131vI——=—a3是常數(shù)6 IuvI2§2曲面的第一基本形式r1.求雙曲拋物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式.解r={a,b,2v},r={a,-b,2u},E=r2=a2+b2+4v2,F=p-p=a2一b2+4uv,G=p2=a2+b2+4u2,I=(a2+b2+4v2)du2+2(a2一b2+4uv)dudv+(a2+b2+4u2)dv2°r求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解p={cosv,sinv,0},p={-usinv,ucosv,b},E=p2=1,F=p-p=0,G=r2=u2+b2，二I=du2+(u2+b2)dv2,vf=O,a坐標(biāo)曲線互相垂直。3.在第一基本形式為I頊"2+sinh2udv2的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長(zhǎng)。解由條件ds2=du2+sinh2udv2，沿曲線u=v有du=dv,將其代入ds2得ds2=du2+sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲線u=v上，從vi到v2的弧長(zhǎng)為Ijv2coshvdv1=1sinhv—sinhvI。vi 2 14.設(shè)曲面的第一基本形式為I=du2+(u2+a2)dv2,求它上面兩條曲線u+v=0,u-v=。的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E=1,「尸0,G=u2+a2，曲線u+v=。與u-v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類基本量為E=1,Fv=0,G=a2。曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u-v=0的方向?yàn)?u=8v,設(shè)兩曲線的夾角為甲，則有甲Edu8u+Gdv8u 1一a27Edu2+Gdv2E8u2+Gbv2 1+a2。求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x0,y=*的交角.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"r r解曲面的向量表示為r={x,y,axy},坐標(biāo)曲線x=x0的向量表示為r={x0,y,ax0y},其切向量^={0,1,ax}；坐標(biāo)曲線y=＞的向量表示為r={x,y,axy},其切向量F={1,y 0 0 0 0 x0,ay}，設(shè)兩曲線x=x與y=y的夾角為甲，則有cos甲=px0=. “X0’0 =0 0 0 IrIIFyI\.‘1+a2x2V'1+a2y2求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對(duì)于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)?u:8v，則有EduSu+F(du6v+dv6u)+Gdv6v=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為E6u+F6v=0.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為F6u+G6v=0.在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,確定兩個(gè)切方向

(du:dv)和(6u：6v)，證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv黃0，則所給二次方程可寫成為P(丁)2+2。丁+du5uR=0，設(shè)其—根丁，b‘dvdu5uR=0，設(shè)其—根丁，b‘dvovduOu duOuEdov+F方+ov)+,du8uR

則 =—?jiǎng)tdv5vP'duOu 2Q _ ,，一一，」，，，不+ov二—下……①又根據(jù)二方向垂直的條件知將①代入②則得ER-2FQ+GP=0.證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=gdv2.證用分別用8、O*、d表示沿u—曲線，v一曲線及其二等分角線的微分符號(hào)，即沿u一曲線Bu主0,8v=0,沿v一曲線O*u=0,O*v主0.沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv,根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得(EduOv+FdvOu)2(FduO*v+GdvO*v)2 (Edu+Fdv)2(Fdu+Gdv)2 z = z ,即 = 。EOu2ds2 GO*v2ds2 E G展開并化簡(jiǎn)得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2，而eg-F2>0,消去eg-F2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.9.設(shè)曲面的第一基本形式為I二du2+(u2+a2)dv2,求曲面上三條曲線u=+av,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲線圍城的三角形的面積是S=Lx.u2+a2dufdv+j七u2+a2dufdv-a u0 u—a a=2ftu2=2ftu2+a2u2+a2du2 3. :~— .一1一/. :~— XII——(u2+a2)2+"、"2+a2+a2ln(u+x；u2+a2)]|a3a 0=a2[2-.+ln(1+巨)]。r求球面r={acos9sin中,acos9sin中,asin9}的面積。解P={-asin9cos^，-asin9sinQacos9},《={—acos9sinQacos9cos中,0}E=P2=a2,F=E《=0，G=r2=a2cos29.球面的面積為：S=f2d9 a4cos29dp=2na2f2cos9d9=2Ra2sin9I2=4Ka2.TOC\o"1-5"\h\z兀 兀 z.— — —2 0 2 2證明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋轉(zhuǎn)曲面r={tcos9,tsin9,氣t2—1}(t>1,0<9<2兀)之間可建立等距映射9=arctgu+v,t=\:u2+1.分析根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射9=arctgu+v,t=vu2+1，可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基本形式為I=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為TOC\o"1-5"\h\z八 12I=(1+——)dt2+12d9，在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換9=arctgu+v,t=卻2+1,則12—1其第一基本形式為：u2+1、u2 1(1+ ) du2+(u2+1)( du+dv)2u2u2+1 1+u2u2+1 1=( +1)du2+ du2+2dudv+(u2+1)dv2=2du2+2dudv+(u2+1)dv2=|u21+uu2所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射9=arctgu+v,t=昂2+1§3曲面的第二基本形式r1.計(jì)算懸鏈面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式，第二基本形式.解？二{sinhucosv,sinhusinv,1},《二{-coshusinv,coshucosv,0}^二{coshucosv,coshusinv,0},?二{-sinhusinv,sinhucosv,0},^二{-coshucosv,-coshusinv,0},E=二cosh2u,F=?-?=0,G=?2=cosh2u.所以I二cosh2udu2+cosh2udv2.fi= 。*J_= \ {—coshucosv,—coshusinv,sinhusinv},%EG—F2cosh2ucoshuA coshuL=— =T,M=0,N=， ==1.v'sinh2+1 \sinh2+1所以II=-du2+dv2。2.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2x3=5x12+4x1x2+2x2第一基本形式,第二基本形式.wrx

1={1,0,5x1+2x2}(0o)={1,0,0},解曲面的向量表示為wrx

1={1,0,5x1+2x2}(0o)={1,0,0},W={0,1,2x+2x} ={0,1,0}W={0,0,5}x2 1 2(0,0) %氣wrxwrx1X2W={0,0,2},r={0,0,2},Ex2x2=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,+2dx22I=dx2+dx2,||=5dx2+4dxdx+2dx22r證明對(duì)于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-8<u,v<8處處有EN-2FM+GL=0。解P={cosv,sinv,0},P=(—usinv,ucosv,b},r二{0,0,0},r二{-uucosv,cosv,0},r二{-ucosv,-usinv,0},E=柘=1,F=r-r—0,

一b=u2+b2,L=0,M=. ,N二0.所以有EN-2FM+GL=0.4.求出拋物面z=1(ax2+by2)在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.4.xyadx2+bdy2

dx2+dy2g={1,0,ax}(00)={1,0,0},ry={0,1,by}(00)={0,1,0},七={0,0,a}xyadx2+bdy2

dx2+dy2P={0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率kyy n5.已知平面兀到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1),求兀與(S)交線的曲率與法曲率.解設(shè)平面兀與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為E—d2，即(C)的曲率為, 1k=1d,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于±3-d2,所以(C)的法曲率為k=±kV1—d2=±1.,II利用法曲率公式k=，證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比nI例。證明因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v),沿任意方向du:dvIILdu2+2Mdudv+Ndv2 1 1LMN,1、kn=I=Edu2+2Fdudv+Gdv2=R或-R，所以E=F=G仁R，即第一、第二類基本量成比例。求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。r. .一、證明對(duì)于正螺面r={ucosv,usinv,bv},P={cosv,sinv,0},p=(—usinv,ucosv,b}, ={0,0,0},r={-ucosv,-usinv,0},u v vv(P,P,P) (P,P,P)L=.uv"=0, N=、.uv,"=0.所以u(píng)族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是.■EG—F2 」EG—F2直線，v族曲線是螺旋線。求曲面Z二勺2的漸近線.解曲面的向量表示為r={x,y,xy2},P+{1,0,y2},《={0,1,2xy},々={0,0,0},^={0,0,2y},^={0,0,2x},E=L+1+4y4,F=F?F=2xy2,G=柘=1+4x2y2.￥‘1+4x2y2+y4 、(1+4x2y2+y4漸近線的微分方程為L(zhǎng)dx2+2Mdxdy+Ndy2，即4ydxdy+2xdy2=0,一族為dy=0,即y=%c為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即lnx2y=c,或%2y=c,C為常數(shù)..1 1 2證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線._rr、 一rrrr方法二：任取曲線r:r=r(s)，它的主法線曲面為S:P=P(s,t)=r(s)+1P(s),rr、」&、r,rr、一、rrrrrrr_、rP=a(s)+1p(s)=a+1(—Ka+ry)=(1-tK)a+try,Pt=P,pxp=—tKa+(1-tK)yrrrrr r PxP rrr在曲線r上，t=0,PxP/y，曲面的單位法向量n=JEg~F~=Y，即n=，所以曲線r在它的主法線曲面上是漸近線.證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x二常數(shù)，y二常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).r證曲面的向量表示為r={x，y，f(x)+g(y)}，x=^數(shù),y二常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。P={1,0,f'},P{0,1,g'}.r={0,0,f■■},r={0,0,0},r={0,0,g士y xx xy yyrr因?yàn)镸=^.'尸y=0,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族x二常數(shù)，y二常數(shù)構(gòu)成共軛xy4EG-F2網(wǎng)。r確定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率線.皿={0,0,0},rvv={-ucosv,-usinv,0},解P={cosv,sinv,0},P={-usinv,ucosv皿={0,0,0},rvv={-ucosv,-usinv,0},^二{-sinv,cosv,0},E=P2=1,F=P-F=0G=?2=^二{-sinv,cosv,0},E=P2=1,F=P-F=0N=0,曲率線的微分方程為:dv210dv210-dudv0-bivu2+b2du2u2+b20八， 1 ，=0,即dv=±人du,積分得兩族曲率線方程:j1 Iv=ln(u+Ju2+b2)+c和v=ln(/u2+b2-u)+c.求雙曲面z=axy上的曲率線.解E=1+a2y2,F=a2x2y2,G=1+a2x2,L=0,M= —,N=0.(1+a2x2+a2y2dy2由1dy2由1+a2x20-dxdya2x2y2a■"1+a2x2+a2y21+a2x2=0得(1+a2y2)dx2=(1+a2x2)dy2，積分得0兩族曲率線為ln(ax+t'1+a2x2)=±ln(ay+<1+a2y2)+c.13.求曲面?={a(u-v),?(u+v),?}上的曲率線的方程.」」」a2+b2+v2 -a2+b2+u^ a2+b2+u2解M=E= ,F= ,G= ,L=0,解M=4 4 4,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是:(a2+b2+u2)dv2=(a2+b2+v2)du2,積分得:ln(u+,a2+b2+u2)=±ln(v+\a2+b2+v2)+c.給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角，求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線,所以沿L有dE=-Kdr，又沿L有#?n二常數(shù)，求微商n得牟.R+丫.陷0,而腕dn//#與隹交，所以移n=0，即-t#-n=0,則有t=0,或#.n=0.若T=0,則L是平面曲線；若#?n=0,L又是曲面的漸近線，則沿L,Kn=0，這時(shí)dn=0,n為常向量，而當(dāng)l是漸近線時(shí)，?=土n，所以#為常向量，l是一平面曲線.證法二：若f±n，則因n±dr11&，所以n11#，所以dn11&,由伏雷內(nèi)公式知dnn（-Ker+枯）而1是曲率線，所以沿l有dn11（r，所以有t=0,從而曲線為平面曲線；若f不垂直于n,貝侑f?n二常數(shù)，求微商得&n+f.&。,因?yàn)閘是曲率線，所以沿l有滴||d^f,所以f.&0,所以牌n=0，即-t#?n=0,若t=0,則問題得證；否則#-n=0，則因n.r=0,有n〔〔f,dnhdfii（-t#）||r，矛盾。如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。求正螺面的主曲率。r? .一、解設(shè)正螺面的向量表示為r={ucosv,usinv,bv}.r解r={cosv,sinv,0},F={-usinv,ucosv,b},皿={0,0,0},^={-ucosv,-usinv,0},F={-sinv,cosv,0},E= =1,F=?-只=0,G=?2=u2+b2,L=0,M=bb,N二0,代入主曲率公式a2(EG-F2)KN-(LG-2FM+EN)k^+LN-M2=0得K2二-__-__--所以主曲率為K=——-——,K1u2+a2 2u2+a2確定拋物面z=a(x2+y2)在(0,0)點(diǎn)的主曲率.r r r r解曲面方程即r^ ={0,0,2a}，r ={x,y,a(x2+ y2)}，r ={1,0,2ax} r.={0,1,2ay}，r r rr={0,0,2a}，r={0,0,0},r={0,0,2a}。在(0，0)點(diǎn)，E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以k^-4ak^+4a2=0，兩主曲率分別為％=2a,k2=2a.證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為％、k2,任給一方向9及與其正交的方向9+源2,則這兩方向的法曲率分別為Kn(9)=K1cos29+K2sin29,k(9+兀)=kcos2(9+兀)+ksin2(9+m；)=ksin29+kcos29，即TOC\o"1-5"\h\zn■-2 1 .，2 2 ■■-2 1 2Kn(9)+Kn(9+%)=K1+K2為常數(shù)。證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù).證由K=Kcos29+Ksin29得tg29=—M，即漸進(jìn)方向?yàn)閚1 2 K29=arctg'—^^,9=-arctg：—M.又-9+9=29為常數(shù)，所以為9為常數(shù)，即―^為常1 ]lK2 YK 2 1 1 1 K數(shù).求證正螺面的平均曲率為零.證由第3題或第16題可知.求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證在點(diǎn)x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H= 2FM+NE_°,2(EG-F2)LN-M2 °K= =-a2EG-F2證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證法一： 由H= =0有K=K=0或K=-K。0.2 1 2 1 2若K1=K2=0,則沿任意方向9,K*)_K1cos29+K2sin29=0,即對(duì)于任意的du:dv,,IILdu2+2Mdudv+Ndv2「廣Ed^u2+2Fd^^dv+Gdv2=°'所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若K]=-K2。0,則K=K1K2<0，即LN-M2<0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0，因?yàn)闃O小曲面有H=0,所以LG+EN=0，因E>0,G>0，所以LN<0。若LN—M2=0,則L=M=N=。，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若LN-M2<0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。證明如果曲面的平均曲率為零，則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一：如果曲面的平均曲率為零，由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).若為平點(diǎn)，則任意方向?yàn)闈u近方向，任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線網(wǎng).若為雙曲點(diǎn)，則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題，漸近方向9滿足tg29=-M=1,K2即91=兀/4,92=-兀/4,兩漸近線的夾角為%，即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng).證法二：QH=0LG-2FM+NE=0漸近線方程為L(zhǎng)du2+2Mdudv+Ndv2=0所以L(du)2+2mdu+n=0所以du5u=Ndu+5u=2M所以dvdv ' dv5vLdv5v L'

Edudu+Edudu+F(du8v+dvdu)+Gdv8v=dvdv[Edu5u

dv5vdu5u、+F( +丈)+G]dv5vN 2M、?八，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。=dv5v[E—+F(— )+G]=0，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。L L證法三：M豐0QH=2^+^=°,所以高斯曲率QK=%<0,所以LN—M2<0，所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0，若M=0，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若M。0，則QH=0「.LG—2FM+NE=0，所以MF=0，所以F=0，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。24.在xoz平面上去圓周y=0,3—b)2+乙2=a2(b。a)，并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為^={(b+acos甲)cosS,(b+acos甲)sinS,asin甲}，求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、