高思奧數導引小學五年級含詳解答案第23講 計數綜合二

第23講計數綜合二

興趣篇

1、同時能被6,7,8,9整除的四位數有多少個？

2、從1,2,3,…，9這9個數中選出2個數，請問：

(1)要使兩數之和是3的倍數，一共有多少種不同的選法？

(2)要使兩數之積是3的倍數，一共有多少種不同的選法？

3、在所有由1、3、5、7、9中的3個不同數字組成的三位數中，有多少個是3的倍數？

4、用0至5這6個數字可以組成多少個能被5整除且各位數字互不相同的五位數？

5、個位比十位大的兩位數共有多少個？個位比十位大，十位比百位大的三位數共有多少個？

6、如果稱能被8整除或者含有數字8的自然數為“吉利數”，那么在1至200這200個自然數中有多少個

“吉利數”?

7、一個正整數，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個數為“回文數”。例如：1331,7,

202,66都是“回文數”，而220則不是“回文數請問：從一位到六位的“回文數”一共有多少個？

其中第1997個“回文數”是什么？

8、一個四位數A8C。，它與逆序數。CBA之和的末兩位為56,這樣的四位數ABCO有多少個？

9、把2005、2006、2007、2008、2009這5個數分別填入圖23-1的東、南、西、北、中5個方格內，使橫、

豎3個數的和相等，一共有多少種不同的填法？

10、從1至7中選出6個數字填入圖23-2的表中，使得相鄰的兩個方框內，下面的數字比上面大，右邊的

數字比左邊大。請先給予出一種填法，然后考慮一共有多少種填法？

圖23-2

拓展篇

1、分子小于6,分母小于20的最簡真分數共有多少個？

2、從1、2、3、4、5、6、7這7個數中選出3個數，請問：

（1）要使這3個數的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法?

（2）要使這3個數的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

3、小明的衣服口袋中有10張卡片，分別寫著1,2,3,…，10。現從中拿出兩張卡片，使得卡片兩個數的

乘積能被6整除，這樣的選法共有多少種？（注：9不能顛倒當作6來使用，6也不能顛倒當作9來使

用）

4、六位數123475能被11整除，如果將這個六位數的6個數字重新排列，還能排出多少個能被11整除的

六位數？

5、三個2,兩個1和一個?？梢越M成多少個不同的六位數？求所有符合條件的六位數的和。

6、有一種“上升數”，這些數的數字從左往右依次增大，將所有的四位“上升數”按從小到大的順序排成

一行：1234,1235,1236,…，6789。請問：此列數中的第100個數是多少？

7、有一些三位數的相鄰兩位數字為2和3,例如132、235等等，這樣的三位數一共有多少個？

8、在圖23-3的方框內填入3、4、5、6中的一個數字，使得豎式成立。請問：所填的九個數字之和是多少？

一共有多少種填法？

WWWW

WWW

+WW

4~9~9~5

圖23-3

9、在1000,1001,2000這1001個自然數中,可以找到多少對相鄰的自然數，滿足它們相加時不進位?

10、將1至7分別填入圖23-4中的7個方框中，使得每行每列中既有奇數又有偶數，一共有多少種不同的

填法？

11、在圖23-5的空格內各填入一個一位數，使同一行內左邊的數比右邊的數大，同一列內下面的數比上面

的數大，并且方格內的6個數字互不相同，例如圖23-6就是一種填法。請問：一共有多少種不同的填

法？

12、將數字1至7分別填入圖23-7的各個圓圈中，使得每條線段兩個端點處所填的數，上面的比下面的大。

請問：符合上述要求的不同填數方法一共有多少種？

圖23-7

超越篇

1、甲、乙、丙、丁四人各有一個作業(yè)本混放在一起，四人每人隨便拿了一本。問:

(1)甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

(2)恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

(3)至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

(4)誰也沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

2、一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6：2430,那么從5時到7時這段時間里，此表的5個數字都

不相同的時刻一共有多少個？

2、各位數字均不大于5,且能被99整除的六位數共有多少個?

4、從1,2,3,…，9中選取若干個互不相同的數字（至少一個），使得其和是3的倍數，共有多少種不同

的選法？

5、從0至9這10個數字中選出7個填入圖23-8的方框中，使豎式成立，一共有多少種不同的填法？

WWWW

+WWW

F~6~6~8

圖23-8

6、從1至9這9個數字中選出6個不同的數填在圖23-9的6個圓圈內，使得任意相鄰兩個圓圈內的數字之

和都是質數。請問：共能找出多少種不同的選法？（所填的6個數字相同，只是排列次序不同，都算同

一種選法。）

圖23-9

7、在3X3方格表內填入數字1至9,使得左邊的數比右邊的大，上邊的數比下邊的大，一共有多少種不同

的填法？

nE0

H

8、含有數字3,且能被3整除的五位數共有多少個?

第23講計數綜合二

興趣篇

2、同時能被6,7,8,9整除的四位數有多少個？

【分析】因為［6,7,8,9*50,最小的滿足條件的四位數是504x2=1008,最大的滿足條件的四位數是

504x19=957（,因此滿足條件的四位數共有19-2+1=18個

2、從1,2,3,…，9這9個數中選出2個數，請問：

（1）要使兩數之和是3的倍數，一共有多少種不同的選法？

（2）要使兩數之積是3的倍數，一共有多少種不同的選法？

【分析】（1）除以3余0的數有3,6,9,除以3余1的數有1,4,7,除以3余2的數有2,5,8,要使兩數之和為

3的倍數可以是兩個數除以3的余數分別是1,2或這兩個數都是3的倍數，因此共有3x3+C；=12個.

（2）要使兩數之積是3的倍數，其中至少有一個因數為3的倍數，因此共有3x3+3x3+C；=21個

3、在所有由1、3、5、7、9中的3個不同數字組成的三位數中，有多少個是3的倍數？

【分析】除以3余0的數有3,9,除以3余1的數有1,7,除以3余2的數有5,三個數字之和為3的倍數，本

題只能從除以3余0,1,2的數中各取一個，每個三位數交換位置又可以變換出6個，因此共有

2x2x1x6=24個

4、用0至5這6個數字可以組成多少個能被5整除且各位數字互不相同的五位數？

【分析】當個位數字為0時，其他數位數字可以任意取共有5x4x3x2=120個，當個位數字為5時，共有

4x4x3x2=96個，因此共有120+96=216個能被5整除且各位數字互不相同的五位數

5、個位比十位大的兩位數共有多少個？個位比十位大，十位比百位大的三位數共有多少個？

【分析】由于三位數的三個數位上的數的大小關系已經非常明確，而對于從1?9中任意選取的3個數字，

它們的大小關系也是明確的，那么由這3個數字只能組成1個符合條件的三位數（題目中要求個位

比十位大，十位比百位大，所以百位不能為0,所以進行選擇時不可以把0包含在內），也就是說

滿足條件的三位數的個數與從1~9中選取3個數字的選法是----對應的關系，那么滿足條件的三

位數有C；=9x8*7=84個.兩位數有cj=36個

3x2x1

6、如果稱能被8整除或者含有數字8的自然數為“吉利數”，那么在1至200這200個自然數中有多少個

“吉利數”?

【分析】個位含8的有2x10=20個，同理十位含8的也有20個，但88,188被算了2次，因此含有數字8的

共有2依2-2=?個，能被8整除的有（192S=1個，但含8又是8的倍數有

8,48,88,128,168,184,因此吉利數共有38+24-6=56個

7、一個正整數，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個數為“回文數”。例如：1331,7,

202,66都是“回文數”，而220則不是“回文數二請問：從一位到六位的“回文數”一共有多少個？

其中第1997個“回文數”是什么？

【分析】一位回文數有9個，兩位回文數有9個，三位和四位回文數都有9x10個，五位和六位回文數都有

9x10x10=900個，所以共有9x2+90x2+900x2=1998個，第1997個也就是倒數第二大的即

998899

8、一個四位數4BC。，它與逆序數OC8A之和的末兩位為56,這樣的四位數A8s有多少個？

【分析】它與逆序數DCBA之和的末兩位為56,因此有館夕：§，[上七3]A：?：。，心：立已

IDIL-JII—IJID?L——IIL_1什

每種情況只要確定A,8即可，因此共有5x6+5x4+3x5+3x5=80個

9、把2005、2006、2007、2008、2009這5個數分別填入圖23-1的東、南、西、北、中5個方格內，使橫、

豎3個數的和相等，一共有多少種不同的填法？

圖23-1

【分析】5個數為3奇2偶，所以''中"只能填奇數.

①中=2005,東+西=南+北，2006+2009=2007+2008,有4x2=8種

②中=2007,2005+2008=2006+2(X)7,有4x2=8種

③中=2009,2005+2008=2006+2007,有4x2=8種

一共有8+8+8=24種

10、從1至7中選出6個數字填入圖23-2的表中,使得相鄰的兩個方框內，下面的數字比上面大，右邊的

數字比左邊大。請先給予出一種填法，然后考慮一共有多少種填法？

圖23-2

【分析】最大數只能放在右下角，右下角左邊只能放次大的數，最小數只能放在左上角，左上角的下方只

能放次小的數，剩下的位置可以隨意放有2種方法，因此共有C；x2=14種填法

拓展篇

3、分子小于6,分母小于20的最簡真分數共有多少個？

【分析】當分子為1時，分母可以取219任意一個數，因此共有18個

當分子為2時,分母可以取319任意一個奇數，因此共有9個

當分子為3時,分母可以取419任意一個不是3的倍數的數，因此共有11個

當分子為4時,分母可以取519任意一個奇數，因此共有8個

當分子為5時,分母可以取619任意一個不是5的倍數的數，因此共有12個

因此總共有18+9+11+8+12=58個

2、從1、2、3、4、5、6、7這7個數中選出3個數，請問：

（1）要使這3個數的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法？

（2）要使這3個數的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

【分析】（1）要使這3個數的乘積能被3整除，至少有一個數是3的倍數，因此當有一個數是3的倍數時

共有2xC；=20個，當有兩個數是3的倍數時有5個，因此一共有20+5=25種選法

（2）除以3余0的數有3,6,除以3余1的數有1,4,7,除以3余2的數有2,5,可以從每個余數類各

取一個，或在同一個余數類里取，因此共有2*3x2+1=13個

3、小明的衣服口袋中有10張卡片，分別寫著1,2,3,…，10。現從中拿出兩張卡片，使得卡片兩個數的

乘積能被6整除，這樣的選法共有多少種？（注：9不能顛倒當作6來使用，6也不能顛倒當作9來使

用）

【分析】當兩個卡片都不含6時，一張卡片必然是3或9,另一張卡片必然是不含6的偶數，因此共有

2x4=8個，當一張卡片含6時，另一張卡片可以任意取共有9個，因此一共有8+9=17種選法

4、六位數123475能被11整除，如果將這個六位數的6個數字重新排列，還能排出多少個能被11整除的

六位數？

【分析】設滿足條件的六位數為abcdef,因為1+2+3+4+7+5=2,因此Z?+d+/=〃+c+e=ll,

1+3+7=2+4+5,因此一共有6x2x1x3x2x1=72個，因此還能由P出71個

5、三個2,兩個1和一個0可以組成多少個不同的六位數？求所有符合條件的六位數的和。

【分析】因為0有5個位置可以選擇，再選3個位置安排2,兩個位置安排0,因此共有5xC；=50個，

當0的位置確定后，還有10種方法安排1和2,,因此1和2,每種都被安排了兩次，因此所有六位數

的和為(2+2+2+1+1)x2x(111110+111101+111011+110111+101II1)=8711104

6、有一種“上升數”，這些數的數字從左往右依次增大，將所有的四位“上升數”按從小到大的順序排成

一行：1234,1235,1236,…，6789。請問：此列數中的第100個數是多少？

【分析】當千位數字是I的“上升數"有C；="23=56個；當千位數字是2的“上升數”有

s3x2x1

C；=7x6x5=35個；共56+35=91,當前兩位是34的“上升數”有C：=四=10個；因此第101

73x2x152

個“上升數”是3489,所以第100個“上升數”是3479

7、有一些三位數的相鄰兩位數字為2和3,例如132、235等等，這樣的三位數一共有多少個？

【分析】當前兩位含有2,3時，共有2x10=20個，當后兩位含有2,3時，共有2x9=18個，但是232,323計

算了兩次，因此共有20+18-2=36個

8、在圖23-3的方框內填入3、4、5、6中的一個數字，使得豎式成立。請問：所填的九個數字之和是多少？

一共有多少種填法？

WWWW

WWW

+WW

4995

圖23-3

【分析】由于個位數字是3個數字的和不肯能等于5,必然進位，同理十位數字必然進位，兩個數字和不可

能等于19,因此百位沒有進位，因此這個豎式加法共進位兩次，而和的數字和為4+9+9+5=27,

abed

efg

因此九個數字之和為27+9x2=45,設，，，因此有＜/+g+k=15,c+f+/?=18,

+nK

4995

b+e—8,a=4,有4+5+6=15,5+5+5=15,3+6+6=15,6+6+6=18,4+4=8,3+5=8

因此共有(6+1+3)x1x(1+2)=30種填法.

9、在1000,1001,…，2000這1001個自然數中,可以找到多少對相鄰的自然數，滿足它們相加時不進位？

【分析】當這個四位數不含9時，相鄰兩個自然數只有個位不同，因此共有5x5x5=125對；

當較小的個位數字是9,較大的個位數字是0,十位數字相差是1,共有5x5=25對；

當較小的個位數字和十位數字是9,較大的個位數字和十位數字是0,百位數字相差是1,共有5對；

當較小的個位、十位、百位數字是9,較大的個位、十位、百位數字是0,千位數字相差是1,即

1999,2000,因此共有125+25+5+1=156對。

10、將1至7分別填入圖23-4中的7個方框中，使得每行每列中既有奇數又有偶數，一共有多少種不同的

填法？

【分析】本題共有3行，3列，而偶數只有3個，因此這三個偶數應分配在不同的行和不同的列，這3個偶

數地位均等，安排完偶數，奇數任意按排即可，因此共有3x3x2x1x4*3x2*1=432種填法

11、在圖23-5的空格內各填入一個一位數，使同一行內左邊的數比右邊的數大，同一列內下面的數比上面

的數大，并且方格內的6個數字互不相同，例如圖23-6就是一種填法。請問：一共有多少種不同的填

法？

【分析】為了方便說明，標上字母:

CD2

AB3

要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互換.

但是，D只能取4,5,6,因為如果取7,就找不到3個比它大的一位數了.

當D取4,5,6時分別剩下5,4,3個一位大數.有B、C可以互換位置.

所有不同的填法共C：x2+Cjx2+C；x2=10x2+4x2+1x2=30種.

12、將數字1至7分別填入圖23-7的各個圓圈中，使得每條線段兩個端點處所填的數，上面的比下面的大。

請問：符合上述要求的不同填數方法一共有多少種？

圖23-7

【分析】最下面肯定是1,若中間一排一個2一個3,那么隨便排就可以了有2x4!=48種

若2,3一上一下，有4種位置可選，和2,3連在一起的位置有四個數可以選擇，那么中間一排的另

一個位置必須是剩下三個數最小的一個，其它2個位置任意，有2!=2種，因此有4x4x2=32種,

共計48+32=80種.

超越篇

1、甲、乙、丙、丁四人各有一個作業(yè)本混放在一起，四人每人隨便拿了一本。問：

（1）甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

（2）恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

（3）至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

（4）誰也沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

【分析】⑴甲拿到自己的作業(yè)本的拿法，乙、丙、丁可隨便拿，所以有3!=6種拿法；

⑵恰好有一人拿到自己的作業(yè)本，就是說只有一個人拿到了自己的作業(yè)本，而其他的人拿的都不

是自己的作業(yè)本，拿對了作業(yè)本的人有甲、乙、丙、丁4種選擇，其余的3個人都拿錯了，有2

種拿法，所以恰好有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有4x2=8種；

⑶要求至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法，可以從所有的拿法中減去4個人都拿到自己作業(yè)

本的情況，由于拿法總數為4!=24種，4個人都拿到自己作業(yè)本的情況只有1種，所以至少有一人

沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有24-1=23種；

⑷誰也沒有拿到自己的作業(yè)本的拿法，甲由于拿的不是自己的作業(yè)本，中有3種拿法；甲拿完后，

作業(yè)本被甲拿的那個人，不妨設為乙，乙可以從剩下的3個作業(yè)本中拿一個，有3種拿法，乙拿

完后剩下的兩個人只有1種拿法，根據乘法原理，共有3x3xl=9種拿法

2、一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6：2430，那么從5時到7時這段時間里，此表的5個數字都

不相同的時刻一共有多少個？

【分析】設A:BCDE是滿足題意的時刻，有A為6,B、D應從0,1,2,3,4,5這6個數字中選擇兩個不

同的數字，所以有A；種選法，而C、E應從剩下的7個數字中選擇兩個不同的數字，所以有A；種

選法，所以共有A：xA；=1260種選法：A為5,B、D應從0,1,2,3,4,這5個數字中選擇兩

個不同的數字，所以有A；種選法，而C、E應從剩下的7個數字中選擇兩個不同的數字，所以有

A；種選法，所以共有A；xA；=840種選法，因此一共有1260+840=2100個

4、各位數字均不大于5,且能被99整除的六位數共有多少個？

【分析】設這個六位數為嬴兩，且能被99整除，所以茄+%+彳=99,（由于各位數字均不大于5,所

以方+W+牙=198不成立），由于5+4+0=9,5+3+1=9,5+2+2=9,4+4+1=9,

4+3+2=9,3+3+3=9,b,d,f共有6+6+3+3+6+種取法；a,c,e共有

4+6+3+3+6+種取法（少兩種的原因是。工0）,因此且能被99整除的六位數共有

25x23=575個

4、從1,2,3,…，9中選取若干個互不相同的數字（至少一個），使得其和是3的倍數，共有多少種不同

的選法？

【分析】除以3余0的數有3,6,9,除以3余1的數有1,4,7,除以3余2的數有2,5,8,

當取一個數字時,使得其和是3的倍數，共有3個

當取兩個數字時,使得其和是3的倍數，共有3+3x3=12個

當取三個數字時,使得其和是3的倍數，共有3+3x3x3=30個

當取四個數字時,使得其和是3的倍數，共有3+3+3x3+3x3x3=42個

當取五個、六個、七個、八個時，剩下的數字選法與取四個、三個、兩個、一個的取法相同

當取九個數字時有1種取法，因此共有(3+12+30+42)x2+1=175個

5、從0至9這10個數字中選出7個填入圖23-8的方框中，使豎式成立，一共有多少種不同的填法?

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F6~o_8

圖23-8

abcd

【分析】設+efg,因此有"+g=8,c+/=IO,6+e=9,a=l,因此(d,g)=(0,8)=(2,6)=(3,5),

-2008

(cJ)=(2,8)=(3,7)=(4,6),(b,e)=(0,9)=(1,8)=(2,7)=(3,6)=(4,5)(e*0)

(d,g)(0,8)(0,8)(2,6)(2,6)(3,5)(3,5)(3,5)

(C,7)(3,7)(4,6)(3,7)(3,7)(2,8)(4,6)(4,6)

(b,e)(4,5)(2,7)(0,9)(4,5)(0,9)(2,7)(0,9)

六個數字的選法8848484

因此i共有8x4+4x3=44種填法

6、從1至9這9個數字中選出6個不同的數填在圖23-9的6個圓圈內，使得任意相鄰兩個圓圈內的數字之

和都是質數。請問：共能找出多少種不同的選法？(所填的6個數字相同，只是排列次序不同，都算同

一種選法。)

圖23-9

【分析】.由于相鄰兩數的和要為質數，則相鄰兩數的奇偶性必然不相同，令圖中4、氏C,為偶數，則

x、y、Z為奇數，這樣a、b、c就有(2,4,6),(2,4,8),(2,6,8),(4,6,8)共4種選擇.

x,y,z可能的選擇有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),

(5,7,9).

a

對應的(2,4,6)符合條件的有(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(5,7,9)共7

種；

對應的(2,4,8)符合條件的有(1,3,5),(1,3,9),(1,5,9),(3,5,9)共4種；

對應的(2,6,8)符合條件的有(1,3,5),(1,5,9)共2種；

對應的(4,6,8)符合條件的有(1,3,5),(1,5,9),(3,5,7),(5,7,9)共4種.

所以共有：7+4+2+4=17種.

7、在3X3方格表內填入數字1至9,使得左邊的數比右邊的大，上邊的數比下邊的大，一共有多少種不同

的填法？

【分析】根據題意9和1的填法已固定，8可以填在“，出兩個位置，當8放在4的位置時，畫樹狀圖

如下，共有21種填法，根據對稱性8放在生的位置也有21