2023北京運河中學(xué)初三10月月考數(shù)學(xué)（教師版）

2023北京運河中學(xué)初三10月月考考試時間120分鐘；滿分100分一.選擇題(共8小題每題2分共16分)A.4B.43.下列說法正確的是()A.任意兩個矩形一定相似B.任意兩個菱形一定相似4.如圖，直線AD,BC交于點O,AB|/EF//CD.若AO=2,OF=1,FD=2.則的值為(),AAB7.大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗.并在《墨經(jīng)》中10cm,像距為15cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm,則蠟燭火焰的高度是()圖1A.3cmB.4cmC.6cm形與原三角形不相似的是()9.某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體.如圖，若舞臺AB的長為20m,C為AB的一個黃金分割點(AC<BC),則AC的長為.(結(jié)果精確到0.1m) m 12.如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，若△ABC的面積為4,則四邊形BCED的面積13.已知△ABC的三邊分別是5,6,7,則與它相似△A'B'C'的最短邊為10,則△A'B'C"的周長是△CDO的面積的比為.中看到旗桿的頂部.若眼睛距離地面AB=1.5m,同時量得BC=2m,CD=12m,則旗桿高度DE=16.如圖，將等邊三角形ABC折疊，使點A落在BC邊上點D處(不與B、C重合),折痕為EF,若三.解答題(共9小題，17至22題每題5分，23至26題每題6分，27至28題每題7分)(1)求證：△ABC∽△ACD;(2)若AB=2,AC=3,求AD的長.(2)若∠B=55°,∠ADE=75°,分別在邊AB,AC上，連接DE,且AD·AB=AE·AC,求∠A的度數(shù).(2)求線段CD的長.21.如圖，AM平分∠BAD,BF//AD是AD上一點，且BE=BD;求證：△ABE∽△ACD.點E在BC上，且滿足AB=4,BE=2,CE=6.求證：交AM于點F,點C在BF的延長線上，CF=BF,DC的22.如圖：方格紙中的每個小正方形邊長均為1,△ABC和DEF的頂點都在方格紙的格點上.(1)判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；點，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似.(寫出一個即可，并在圖中連接相應(yīng)線段，不必說明理由)24.據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.如圖，如果木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得OA為201m,求金字塔的高度BO.25.在ABC中，∠C=90°(1)如圖1,P是AC上的點，過點P作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似.例如：過點P作PD//BC交AB于D,則截得的△ADP與△ABC相似.請你在圖中畫出所有滿足條件的直線.(2)如圖2,Q是BC上異于點B,C的動點，過點Q作直線截。ABC,使截得的三角形與A直接寫出滿足條件的直線的條數(shù).(不要求畫出具體的直線)A出發(fā)，沿AC邊一直移到點C為止，點Q從點B出發(fā)沿BA邊一直移到點A為止，(點P到達(dá)點C后，點Q繼續(xù)運動)(1)請直接用含t的代數(shù)式表示AP的長和AQ的長，并寫出定義域.(2)當(dāng)t等于何值時，△APQ與△ABC相似?27.如圖：△ABC中，D是AB上一點，AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F,求證：AB:AC=CF:DFDF⊥DE,交直線BC于點F,連接EF.(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點時，設(shè)AE=a,BF=b,求EF的長(用含a,b的式子表示);(2)當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.參考答案【詳解】3a=4b,等式兩邊同時除以3b.【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解答本題關(guān)鍵.【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得代入線段長度即可求解.,【點睛】本題考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)相似圖形的定義分別判斷后即可確定正確選項.【詳解】A、兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不D、兩個平行四邊形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定【點睛】本題主要考查相似圖形的判定，注意相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.【分析】由線段的和差可得AF=3,再根據(jù)平行線等分線段定理可得即可解答.【詳解】解：∵AO=2,OF=1,FD=2,【點睛】本題主要考查了平行線等分線段定理，掌握兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，截得的【分析】利用已知條件得出△ECD∽△ACB,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：∵AB//DE,,,事,【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的性質(zhì).【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD//BC,AD=BC,證得△DEF∽△BCF,由點E是AD的中點，得到,由此得到【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記平行△DEF∽△BCF是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為xcm,則即蠟燭火焰的高度為4cm,【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可.C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意.【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.二.填空題(共8小題每題2分共16分)【分析】根據(jù)黃金分割比即可求解.故答案為：7.6.【點睛】本題考查利用黃金分割解決實際問題，讀懂題意，熟練掌握黃金分割比與的關(guān)鍵.【分析】由題意，證明。ACD∽BAD,得到然后代入數(shù)據(jù)，即可得到答案.又AD=3,BD=2,【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵的三角形相似與相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用.故答案從而得△ADE∽△ABC,有故答案為：3.【點睛】本題考查了中位線，相似三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于明確相似三角形的面積比等于相似比的平方.故答案為：36.再把CAnc代入解方程即可得到答案.【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：如圖，設(shè)小方格的邊長為1,∵△ABE、△DCF分別是邊長為1和2的等腰直角三角形，故答案為：1:4.【點睛】本題考查相似三角形面積比與相似比的關(guān)系，關(guān)鍵是判斷兩三角形相似，確定其相似比.【分析】先根據(jù)光的反射定律得出∠ACB=∠ECD,再得出Rt△ACB∽Rt△ECD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.【詳解】已知CD=12m,AB=1.5m,BC=2m,【點睛】本題考查的是相似三角形的實際應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.【分析】證明△BDE∽△CFD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：∵將等邊三角形ABC折疊，使點A落在BC邊上點D處，同理Cm=10,【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.三.解答題(共9小題，17至22題每題5分，23至26題每題6分，27至28題每題7分)【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠BAC=∠CAD,再根據(jù)題意∠B=∠ACD,即可證明(2)利用三角形相似的性質(zhì)，可知【詳解】(1)∵AC分∠BAD,再根據(jù)題意AB和AC的長，即可求出AD..【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì).掌握三角形相似的判定條件是解答本題的關(guān)鍵.【分析】(1)由AD·AB=AE·AC得由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得△ADE∽△ACB;(2)由△ADE∽△ACB,得∠ADE=∠ACB=75°,再由∠B=55°及三角形的內(nèi)角和為180°可求出∠A.【詳解】(1)證明：∵AD·AB=AE·AC,(2)解：∵△ADE∽△ACB,【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD,根據(jù)BE=BD,由等邊對等角可得∠BED=∠BDE,【詳解】證明：∵AD平分∠BAC,【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.20.【答案】(1)見解析(2)3【分析】(1)利用余角的性質(zhì)證明∠A=∠DEC,即可證明△ABE∽△ECD;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】解：∵AE⊥DE,【小問2詳解】又AB=4,BE=2,CE=6,【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21.【答案】(1)見解析(2)1:16【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)得出∠BAF=∠DAF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAF=∠AFB,最后(2)先證△EFC∽EAD,再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】【小問1詳解】DF=√22+22=2√2,DE=√42+42=4VZ,EF=√22+62=2V10,【小問2詳解】連接PF,即DRF與△ABC相似.(答案不唯一)【點睛】本題考查了相似三角形的判定方法，理解題意，根據(jù)勾股定理計算邊的長度，并理解“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似”是關(guān)鍵.【分析】根據(jù)三線合一可得∠AEC=90°,公共角∠ACE=∠BCD,根據(jù)相似三角形的【詳解】證明：∵AE是等腰△ABC的頂角∠BAC的角平分線，【點睛】本題考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠BAO=∠EDF,再由∠AOB=∠DFE=90°,證出△ABO:△DEF,得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵.25.【答案】(1)見解析(2)些時，滿足條件的直線有4條；當(dāng)滿足條件的直線有3條【分析】(1)利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理過點P作兩條，再利用兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似的判定定理，過點P作兩條.(2)把Q點看成從C點出發(fā)到B點的動點，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Q點在某一個位置時，所作截的三角形與原三角形相似的數(shù)量減少了一個，通過此時的臨界條件把QC的長度計算出來，進(jìn)行分類說明.【小問1詳解】第一種：利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角點P分別作AB與BC的平行線PD與PE.分第二種：利用兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似的判定定理，過P分別作PG垂直AB于點G,作PF交【小問2詳解】如圖所示，假設(shè)點Q從點C開始往點B移動，由(1)可知，作QD⊥AB,該點往左移動，不能在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點F,該點往右移動，可以在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點F,使QCF∽ACB.時，滿足條件的直線有4條；時，滿足條件的直線有3條.【點睛】本題通過畫圖綜合性的考察了三角形相似的判定，作圖時運用到了平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理，兩組對應(yīng)角相等的兩理.在做此類試題時考慮必須全面，不能漏掉解.在6≤t≤16中，當(dāng)t=7時，△AQC~△ACB【分析】(1)本題可結(jié)合三角形的周長，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AP的長y,和AQ的長y?關(guān)于時間t的②∵∠A