2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷05解析版-決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷（新高考地區(qū)專用）

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷05一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由解得，所以，由解得，所以，所以.故選：B2．復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，所以的虛部為1.故選：D.3．英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．對于任意實數(shù)，下列命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】對A：因為，可能，故錯誤；對B：當(dāng)時，若，則，故錯誤；對C：當(dāng)，時，則，故錯誤；對D：若，，則，故正確.故選：D.4．如圖所示，為射線，的夾角，，點在射線上，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)射線所對的角為，則有，，又因為，所以，，，所以，所以.故選：A.5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；對于B，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：C.6．已知圓上兩動點A，B滿足為正三角形，O為坐標(biāo)原點，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知是邊長為1的正三角形，設(shè)的中點為，則，又，所以點的軌跡方程為，且．因為，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)點線段上時等號成立，所以的最大值為，所以的最大值為．故選：D．7．現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】3名女生需要住2個房間或3個房間.若3名女生住2個房間，則不同的方法種數(shù)為；若3名女生住3個房間，則不同的方法種數(shù)為.其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為，所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是.故選：C8．，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，令，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，則；令，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，則，所以.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.若，則．C.在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和4【答案】ABD【解析】對于選項A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對于選項B：若，則，故B正確；對于選項C：在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，其中是線性回歸方程的一次項系數(shù)，不是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個量，范圍是[?1，1]，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時呈正相關(guān)關(guān)系，為負(fù)時呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；對于選項D：以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和4，故D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)的一個對稱中心為，則（）A.的最小正周期為πB.C.直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸D.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則【答案】AC【解析】則有，解得，因為，所以，所以，則的最小正周期為π，故A正確；，故B錯誤；，則直線是圖像的一條對稱軸，故C正確；，當(dāng)時，，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得則，故D錯誤.故選：AC11．已知正項數(shù)列的前項和為，，且，.，為的前項和.下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】，，可得時，，解得，故A錯誤，當(dāng)時，由，可得，上面兩式相減可得，由于，所以，而，則，首項也符合，所以，．故B錯誤，C正確，，．D正確，故選：CD12．如圖所示的六面體中，，，兩兩垂直，連線經(jīng)過三角形的重心，且，則（）A.若，則平面B.若，則平面C.若五點均在同一球面上，則D.若點恰為三棱錐外接球的球心，則【答案】BCD【解析】因為六面體中，，，兩兩垂直，連線經(jīng)過三角形的重心，所以可以將六面體放在長方體中，點在對角線上運動，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)的中點，連接，與交于點，且，，，設(shè)，由得，解得，故，，A選項，若，即，此時點在點處，此時，，由于，故不垂直，故與平面不垂直，A錯誤；B選項，若，即，此時點為對角線的中點，此時，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，又，故，故，所以平面，B正確；C選項，由于長方體的頂點在同一球面上，若五點均在同一球面上，則點一定在點處，此時，C正確；D選項，三棱錐的外接球即為長方體的外接球，若點恰為三棱錐外接球的球心，則點為對角線的中點，所以，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為________【答案】【解析】由，為在上的投影向量，所以，故故答案為：14.展開式中項的系數(shù)為________．【答案】8【解析】由題意可知：展開式的通項公式為,所以展開式中項的系數(shù)為.故答案為：8．15.已知直線與是曲線的兩條切線，則________．【答案】【解析】由已知得，曲線的切線過，時，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點為，，切線：，又切線過，∴，，同理取，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點為，，切線：，又切線過，，∴，故答案為：16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一點，為坐標(biāo)原點，為線段的中點，的平分線與直線交于點，當(dāng)四邊形的面積為時，__________．【答案】【解析】由題可知，．因為平分，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長，交于點，則為的中點，過作于，易得，則，從而．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D為邊上的一點，若，，求的長．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因為，所以，所以，因為，所以．（2）因為，，，根據(jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．18．如圖，三棱錐的平面展開圖中，，，，，為的中點．（1）在三棱錐中，證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由，得，且為的中點，所以，取中點為，連接，，可得，在中，，在中，，所以，所以因為，，平面，所以平面，因為平面，所以；（2）如圖，過點作，交于點，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，在中，可得點到距離為，故可得，，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，，平面與平面的夾角為，由,取，所以，由,取，所以，所以所以兩平面的夾角的余弦值為.19．已知數(shù)列是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且是與的等差中項，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，是與的等差中項，，解得或(舍去)，，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）由，整理可得，即，對任意恒成立，令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)或時，取得最大值，.解得.故實數(shù)的取值范圍是.20．某中學(xué)有A，B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（1）估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．【答案】（1）0.6（2）分布列見解析，1.9（3）證明見解析【解析】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因為30天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1和2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望．（3）由題知，所以所以，所以，即，所以，即21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上的一個動點．以為焦點、為頂點作拋物線．設(shè)為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，為軸負(fù)半軸上一點，設(shè)，使得為拋物線的切線，且．圓均與直線切于點，且均與軸相切．（1）試求出之間的關(guān)系；（2）是否存在點，使圓與的面積之和取到最小值．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）由條件拋物線C：，點，設(shè)，將其與拋物線C的方程聯(lián)立，消去得．①因為與拋物線C切于點P，所以，方程①的判別式為，解得．進(jìn)而，點．故．由，則．②∴.（2）設(shè)的圓心分別為．注意到，與圓切于點P．故．設(shè)圓與軸分別切于，如圖所示：則分別為的角平分線，故，，,易知，則，．結(jié)合式②有．③由三點共線得，化簡可得．④令，于是，圓的面積之和．根據(jù)題意，僅需考慮T取最小值的情形，根據(jù)③、④知．令．由，，．當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．此時，．結(jié)合式②得．故點．22．已知，函數(shù)，.（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時，求實數(shù)的值；（2）若，求證：.【答案】（1）1（2）