研究案例介紹-實(shí)證研究二數(shù)學(xué)解題遷移研究概要

關(guān)于遷移的思想，可追溯到古希臘的柏拉圖、亞里士多德時(shí)代。柏拉圖學(xué)園重視幾何的學(xué)習(xí)并非因?yàn)閹缀蔚膶?shí)用價(jià)值，而是因?yàn)閹缀螌W(xué)可以訓(xùn)練學(xué)生的思考力，這事實(shí)上就是后來遷移學(xué)說中著名的理論—形式訓(xùn)練說的雛形。而第一次提出遷移概念，是英國(guó)學(xué)者JohnLocke(1632一1704)。他認(rèn)為要使一個(gè)人有良好的推理能力，一定要讓他及早習(xí)慣于推理方法，藉以訓(xùn)練他的心智，以后一旦有機(jī)會(huì)，他們就可以把推理的方法遷移到其他知識(shí)中去。1

遷移的一般理論第一頁(yè)第二頁(yè)，共43頁(yè)。

經(jīng)過漫長(zhǎng)的研究，歷史上形成了幾種經(jīng)典的遷移學(xué)說。(l)形式訓(xùn)練說。形式訓(xùn)練說主張遷移要經(jīng)歷一個(gè)“形式訓(xùn)練”過程才能產(chǎn)生。形式訓(xùn)練說的心理基礎(chǔ)是官能心理學(xué)。官能心理學(xué)認(rèn)為，人的心是由意志、記憶、思維等官能組成，各種官能可以像肌肉一樣，通過練習(xí)增強(qiáng)力量(能力)，這些能力在各種活動(dòng)中都能發(fā)揮效用，遷移正是通過對(duì)組成心的各種官能的訓(xùn)練，以提高各種能力而實(shí)現(xiàn)的。(2)相同要素說。20世紀(jì)初，美國(guó)心理學(xué)家詹姆士(James)和桑代克等通過實(shí)驗(yàn)否定了形式訓(xùn)練說，提出遷移的相同要素說理論。該學(xué)說認(rèn)為只有當(dāng)學(xué)習(xí)情境與遷移測(cè)驗(yàn)情境存在相同要素時(shí)，才能產(chǎn)生遷移。桑代克認(rèn)為學(xué)習(xí)即形成一種情境與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，學(xué)習(xí)的遷移就是相同聯(lián)結(jié)的轉(zhuǎn)移。1

遷移的一般理論第二頁(yè)第三頁(yè)，共43頁(yè)。

(3)概括說。賈德(Judd)通過“水下?lián)舭小睂?shí)驗(yàn)，在批判相同要素說的基礎(chǔ)上提出了遷移的概括化理論。賈德認(rèn)為，在先期學(xué)習(xí)A中所獲得的東西之所以能遷移到后期的學(xué)習(xí)B中，是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)A時(shí)獲得了一般原理，這種一般原理可以部分或全部運(yùn)用于A、B之中。根據(jù)這一理論，兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)之間存在的共同成分，只是遷移產(chǎn)生的必要條件，而產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵是，學(xué)習(xí)者在兩種活動(dòng)中概括出它們之間的共同原理。(4)關(guān)系轉(zhuǎn)換說。這種理論認(rèn)為，遷移的關(guān)鍵不在于掌握原理和經(jīng)驗(yàn)的概括化，而在于對(duì)情境中各種關(guān)系的頓悟，特別是對(duì)手段—目的之間關(guān)系的覺察，所以頓悟情境中的一切關(guān)系是獲得遷移的根本。遷移是由于學(xué)習(xí)者突然發(fā)現(xiàn)兩個(gè)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之間存在的關(guān)系的結(jié)果，人所遷移的是頓悟一一兩個(gè)情境突然被聯(lián)系起來的意識(shí)。1

遷移的一般理論第三頁(yè)第四頁(yè)，共43頁(yè)。

(5)認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論。奧蘇伯爾根據(jù)他的有意義學(xué)習(xí)理論，對(duì)遷移作了新的解釋。其一，遷移不是在孤立的兩個(gè)課題A、B之間產(chǎn)生，先前學(xué)習(xí)的不只是A，還包括過去的經(jīng)驗(yàn)，即累積獲得的，按一定層次組織的，適合當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)的知識(shí)體系。其二，在有意義的學(xué)習(xí)與遷移中，過去經(jīng)驗(yàn)的特征，不是指前后兩個(gè)學(xué)習(xí)課題在刺激和反應(yīng)方面的相似程度，而是指學(xué)生在一定知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織特征，諸如清晰性、穩(wěn)定性、概括性、包容性等。在學(xué)習(xí)課題A時(shí)所得到的最新經(jīng)驗(yàn)，并不是直接同課題B的刺激—反應(yīng)成分發(fā)生相互作用，而只是由于它影響原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征，從而間接影響新的學(xué)習(xí)或遷移。其三，遷移的效果主要不是派生類學(xué)習(xí)情境，而是指提高了相關(guān)類屬學(xué)習(xí)、總括學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)的能力。因此，無論在接受學(xué)習(xí)或解決問題中，凡是己形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響新的認(rèn)知功能的地方都存在著遷移。1

遷移的一般理論第四頁(yè)第五頁(yè)，共43頁(yè)。

(6)產(chǎn)生式遷移理論。這一理論主要用于解釋基本技能的遷移。其基本思想是:先后兩項(xiàng)技能學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移的原因是兩項(xiàng)技能之間產(chǎn)生式的重疊，重疊越多，遷移量越大。安德森1989提出這一學(xué)說，并認(rèn)為這一遷移理論是“相同要素說”的現(xiàn)代化，因?yàn)檫@一理論對(duì)相同要素說提出的遷移產(chǎn)生的原因作了修正，即導(dǎo)致先后兩項(xiàng)技能學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生遷移的原因，不應(yīng)用它們共有S一R聯(lián)結(jié)的數(shù)量來解釋，而應(yīng)該用它們之間共有的產(chǎn)生式數(shù)量來解釋。

此外，遷移理論還有學(xué)習(xí)定勢(shì)說(哈洛，Harfow，1949)，三維遷移模式(奧斯古德，Osgood，1949)以及新近發(fā)展起來的認(rèn)知策略遷移理論(Ghatala，1958)等等。1

遷移的一般理論第五頁(yè)第六頁(yè)，共43頁(yè)。上述各種遷移理論，從遷移過程的不同側(cè)面去揭示遷移的規(guī)律，去探索學(xué)習(xí)者、最初的學(xué)習(xí)任務(wù)和要遷移的任務(wù)三者之間的復(fù)雜關(guān)系和相互作用，因而都有其合理的一面，都有重要的理論價(jià)值。1

遷移的一般理論第六頁(yè)第七頁(yè)，共43頁(yè)。近年來，問題解決中的遷移成為關(guān)注的熱點(diǎn)，在數(shù)學(xué)問題解決中的遷移研究己有了諸多成果。我們提出的問題是:解答數(shù)學(xué)問題，其產(chǎn)生遷移的現(xiàn)象是否具有特殊性?如果存在特殊性，能否揭示它?

2數(shù)學(xué)解題中的遷移第七頁(yè)第八頁(yè)，共43頁(yè)。首先，數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)存在特殊性。解答數(shù)學(xué)問題是一個(gè)化歸過程，化歸前后的問題之間必存在某種關(guān)系，這些關(guān)系可以用數(shù)學(xué)關(guān)系去刻畫，包括強(qiáng)抽象、弱抽象、等置抽象和廣義抽象等幾種情形。這幾個(gè)抽象關(guān)系，與奧蘇伯爾提出的命題學(xué)習(xí)形式有如下關(guān)系:強(qiáng)抽象對(duì)應(yīng)下位學(xué)習(xí)(包括派生類屬過程與相關(guān)類屬過程);弱抽象對(duì)應(yīng)上位學(xué)習(xí);廣義抽象對(duì)應(yīng)并列學(xué)習(xí)。等置抽象對(duì)應(yīng)同位學(xué)習(xí)。我們?cè)O(shè)想，數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)中數(shù)學(xué)問題之間的這些關(guān)系，是數(shù)學(xué)解題遷移產(chǎn)生的一個(gè)重要因素。從理論上說，具有強(qiáng)抽象、弱抽象及等置抽象的兩個(gè)問題之間不僅具有諸多“相同要素”，而且還存在統(tǒng)攝兩者的“共同原理”，這是產(chǎn)生遷移的必要條件。對(duì)于具有廣義抽象的兩個(gè)問題，同樣有“相同要素”和“共同原理”作為聯(lián)系兩者的紐帶，只是“相同要素”較少或“共同原理”表現(xiàn)得更隱蔽。2數(shù)學(xué)解題中的遷移第八頁(yè)第九頁(yè)，共43頁(yè)。

其次，從解答數(shù)學(xué)問題的知識(shí)基礎(chǔ)來看，個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特殊表現(xiàn)，心理學(xué)家的研究表明，合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于知識(shí)的遷移，因而，個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)必將會(huì)影響解題的遷移。于是，數(shù)學(xué)解題中遷移的特殊性也就顯露出來，個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)影響解題遷移的程度如何?優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是否更有利解題遷移?綜上所述，我們提出假設(shè):如果兩個(gè)(或多個(gè))數(shù)學(xué)問題之間存在數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，那么一個(gè)問題的結(jié)構(gòu)、解決方法、解題策略會(huì)影響到別的問題中去。個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)是影響遷移產(chǎn)生和實(shí)現(xiàn)的重要因素，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)和具有較高自我監(jiān)控能力的學(xué)生有較強(qiáng)的遷移能力。2數(shù)學(xué)解題中的遷移第九頁(yè)第十頁(yè)，共43頁(yè)。我們將對(duì)如下問題進(jìn)行實(shí)證研究：

(1)在具有強(qiáng)抽象或弱抽象或廣義抽象的兩問題之間，哪一種抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。(2)個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)與解題遷移的相關(guān)性。(3)個(gè)體的數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力、CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)解題的相關(guān)性。3問題的提出第十頁(yè)第十一頁(yè)，共43頁(yè)。（1）研究目的：驗(yàn)證具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題之間能夠產(chǎn)生遷移，在此基礎(chǔ)上，探討兩問題之間的兩種抽象關(guān)系(強(qiáng)抽象、弱抽象)哪一種更容易產(chǎn)生遷移。（2）被試選取：山東省臨沂市一中高二年級(jí)兩個(gè)平行班(7班、17班)，其中7班63人，男生40人，女生23人。17班62人，男生35人，女生27人。臨沂市六中初二年級(jí)兩個(gè)平行班(11班，12班)，其中11班54人，男生27人，女生27人。12班81人，男生37人，女生44人。4具有強(qiáng)抽象、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共43頁(yè)。

(3)測(cè)試材料：將高中數(shù)學(xué)中的“乘法原理”及其乘法原理的特例作為學(xué)習(xí)樣例(被試均未學(xué)過這一內(nèi)容)，然后讓被試做遷移練習(xí)題。遷移題由10道填空題組成，其中有用原理或原理的特例去接解答的近移題4題，遠(yuǎn)遷移題3題，另有3題為千擾題，即不能用乘法原理而只能用加法原理解答。

具有強(qiáng)、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測(cè)試材料第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共43頁(yè)。練習(xí)題:

1.A地到B地要過3條河，第1條河上有2座橋，第2條河上有3座橋，第3條河上有6座橋。現(xiàn)有一人要從B地到A地，則他一共有

種走法。2.在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本，共有

種不同的選法。具有強(qiáng)、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測(cè)試材料第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共43頁(yè)。

3.多項(xiàng)式(x+y+z)(a+b)(m-n)(q-p)展開式中，一共有

項(xiàng)。

4.一名兒童做加法游戲，在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1，2，……，19，20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù);在另一個(gè)黃口袋中裝有10張分別標(biāo)有數(shù)1，2，……，9，10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)。這名兒童一共可以列出

個(gè)加法式子。5.組裝一臺(tái)機(jī)器，需要n道工序才能完成，其中第1道工序只有1個(gè)技術(shù)工人能做，第2道工序只有2個(gè)技術(shù)工人能做，第3道工序只有3個(gè)技術(shù)工人能做，以此類推，……，第n道工序只有n個(gè)技術(shù)工人能做?，F(xiàn)要組裝一臺(tái)這樣的機(jī)器，安排工人的方法共有

種。具有強(qiáng)、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測(cè)試材料第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共43頁(yè)。

6.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同。(l)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有

種不同的取法。(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有

種不同的取法。7.A地到B地有m條路，B地到C地有n條路，A地直接到C地有p條路。(l)從A地經(jīng)B地到C地一共有

種不同的走法。(2)從A地到C地一共有

種不同的走法。8.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字，任取4個(gè)互不相同的數(shù)組成一個(gè)電話號(hào)碼，一共可以組成

個(gè)電話號(hào)碼。具有強(qiáng)、弱抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題遷移研究測(cè)試材料第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共43頁(yè)。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)模式第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共43頁(yè)。(4)過程。初11班和高17班作為強(qiáng)抽象組，即先學(xué)習(xí)乘法原理及例題，然后做遷移題。

初12班與高7班作為弱抽象組，先學(xué)習(xí)乘法原理的兩個(gè)特例，然后做與強(qiáng)抽象組相同的遷移題。第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共43頁(yè)。

實(shí)驗(yàn)分組進(jìn)行。由2名教師分別在強(qiáng)抽象組的高中班和初中班講解乘法原理，然后讓學(xué)生自己閱讀例題，使每個(gè)學(xué)生都理解原理和例題，之后，高中組用15分鐘解答遷移題，初中組用20分鐘解答遷移題。

同時(shí)，由2名教師在弱抽象組的高中班和初中班講解特例1，讓學(xué)生自己閱讀特例2，使所有學(xué)生都能理解兩個(gè)特例。然后高中組用15分鐘解答遷移題，初中組用20分鐘解答遷移題。在遷移題的解答中，答對(duì)一題得1分，不答或答錯(cuò)，得0分。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共43頁(yè)。結(jié)果與分析第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共43頁(yè)。結(jié)果與分析第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共43頁(yè)。

從表5一1中可以看到，高17班的平均分高于高7班的平均分，但兩者的差異不顯著，這種情形也反映出，強(qiáng)抽象命題比弱抽象命題更容易實(shí)現(xiàn)遷移。這一現(xiàn)象在初中組中表現(xiàn)得更加明顯，由于初中組的解題時(shí)間比高中組的解題時(shí)間多用了5分鐘，因而平均分比高中組的平均分略高。從表5一3中可以看到，強(qiáng)抽象組(11班)與弱抽象組(12班)的平均成績(jī)有非常顯著的差異，即強(qiáng)抽象命題更容易產(chǎn)生順向正遷移。結(jié)果與分析第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共43頁(yè)。

表5一2反映出，對(duì)近遷移題，弱抽象組與強(qiáng)抽象組的遷移率分別為89.2%和93.9%，在遠(yuǎn)遷移題上，兩組的遷移率分別為59.7%和61.2%，這表明，具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題能夠產(chǎn)生正遷移，而且強(qiáng)抽象方向的遷移量比弱抽象方向的遷移量大。另一方面，從表中可以看到，對(duì)于干擾題，兩組被試答錯(cuò)率分別為32.2%和34.3%，說明干擾題產(chǎn)生了較大的負(fù)遷移。干擾題在問題的情節(jié)、表述形式、表述對(duì)象等方面與遷移題非常相似，即表面概貌相似，但兩者的內(nèi)在原理不同，于是，當(dāng)新問題的內(nèi)在原理與樣例不相同時(shí)，兩者表面內(nèi)容相似會(huì)對(duì)新問題的解決產(chǎn)生負(fù)遷移作用。結(jié)果與分析第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共43頁(yè)。

表5一2反映出，對(duì)近遷移題，弱抽象組與強(qiáng)抽象組的遷移率分別為89.2%和93.9%，在遠(yuǎn)遷移題上，兩組的遷移率分別為59.7%和61.2%，這表明，具有抽象關(guān)系的數(shù)學(xué)問題能夠產(chǎn)生正遷移，而且強(qiáng)抽象方向的遷移量比弱抽象方向的遷移量大。另一方面，從表中可以看到，對(duì)于干擾題，兩組被試答錯(cuò)率分別為32.2%和34.3%，說明干擾題產(chǎn)生了較大的負(fù)遷移。干擾題在問題的情節(jié)、表述形式、表述對(duì)象等方面與遷移題非常相似，即表面概貌相似，但兩者的內(nèi)在原理不同，于是，當(dāng)新問題的內(nèi)在原理與樣例不相同時(shí)，兩者表面內(nèi)容相似會(huì)對(duì)新問題的解決產(chǎn)生負(fù)遷移作用。結(jié)果與分析第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共43頁(yè)。（1）研究目的：①進(jìn)一步驗(yàn)證強(qiáng)抽象比弱抽象更易實(shí)現(xiàn)遷移。②考察具有強(qiáng)抽象、弱抽象或廣義抽象關(guān)系的問題遷移中，哪種抽象形式的遷移量更大。③探討數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力對(duì)數(shù)學(xué)解題遷移的影響。（2）被試選?。荷綎|臨沂一中高二年級(jí)一個(gè)班，共59人，其中男生30人，女生29人。臨沂六中初二年級(jí)一個(gè)班，共43人，其中男生21人，女生22人。5數(shù)學(xué)自我監(jiān)控能力與具有抽象關(guān)系數(shù)學(xué)問題遷移的相關(guān)研究第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共43頁(yè)。參照章建躍編制的《中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力問卷》，修訂后編制《數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控能力問卷》。第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共43頁(yè)。第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共43頁(yè)。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共43頁(yè)。第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共43頁(yè)。第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共43頁(yè)。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共43頁(yè)。編擬一套數(shù)學(xué)題目(見附錄3)。該組題由4道題目組成，其中一道為學(xué)習(xí)題，另外3道為遷移題，這3道題記為題A、題B、題C，學(xué)習(xí)題與遷移題的關(guān)系分別為:第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共43頁(yè)。第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共43頁(yè)。第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共43頁(yè)。(3)過程。初中組的被試采用如下圖的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?。即被試先?分鐘時(shí)間自我閱讀學(xué)習(xí)題，然后再由主試講解學(xué)習(xí)題中的解題思想。主試收回學(xué)習(xí)題，同時(shí)發(fā)給被試題A和題B，讓被試用20分鐘解答這兩道題目。第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共43頁(yè)。高中組的實(shí)驗(yàn)采用如下方式進(jìn)行。第一天，進(jìn)行問卷測(cè)試，時(shí)間為15分鐘。第二天，主試發(fā)給被試學(xué)習(xí)題，被試自學(xué)，然后主試講解該題的解題思路。主試收回學(xué)習(xí)題，同時(shí)發(fā)給被試題A、題B和題C，讓被試用25分鐘解答這3道題。第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共43頁(yè)。結(jié)果與分析第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共43頁(yè)。結(jié)果與分析第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共43頁(yè)。結(jié)果與分析

將高中組被試按問卷成績(jī)的得分分為兩組，成績(jī)高于平均分(101分)的稱為高監(jiān)控組，成績(jī)低于平均分的稱為低監(jiān)控組。表5一8是高監(jiān)控組與低監(jiān)控組在3道題目中的遷移率、平均分以及平均分的差異性檢驗(yàn)情況統(tǒng)計(jì)。第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共43頁(yè)。

從表5-4中可以看到，同一組被試在題A與題B的得分上有非常顯著的差異，先學(xué)習(xí)樣例再做題A，是強(qiáng)抽象關(guān)系，而先學(xué)習(xí)樣例再做題B，是弱抽象關(guān)系，這樣，就進(jìn)一步驗(yàn)證了第一個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，即:樣例與靶題之間，強(qiáng)抽象關(guān)系比弱抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。這種差異在表5-5、表5-6中也反映出來。高中組在題A、題B、題C的平均成績(jī)存在顯著差異，從多重比較中可以看到，題A與題B、題A與題C的成績(jī)差異非常顯著，但題B與題C的成績(jī)差異不顯著。這說明，樣例和靶題之間，強(qiáng)抽象關(guān)系比弱抽象關(guān)系及廣義抽象關(guān)系更容易產(chǎn)生遷移。對(duì)于樣例和靶題