波動方程和行波法

物理學(xué)專業(yè)必修課程數(shù)學(xué)物理方法MathematicalMethodinPhysics西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院1編輯課件第一章波動方程和行波法2編輯課件引言1.1弦振動方程1.2行波法3編輯課件數(shù)理方程〔泛定方程〕〔三類〕在物理學(xué)的研究中起著重要作用。如何從物理學(xué)的實(shí)際問題中導(dǎo)出數(shù)理方程呢？我們先從弦振動方程入手。引言4編輯課件根本步驟：1.建立坐標(biāo)系〔時間，空間〕2.選擇表征所研究過程的物理量

表征物理量的選擇常常是建立一個新方程的起點(diǎn)?！惨粋€或幾個〕。數(shù)學(xué)模型物理模型5編輯課件3.尋找〔猜測〕物理過程所遵守的物理定律或物理公理;4.寫出物理定律的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型。6編輯課件一、弦的橫振動方程二、定解條件的提出三、三類定解問題1.1弦振動方程7編輯課件一、弦的橫振動方程〔均勻弦的微小橫振動〕演奏弦樂〔二胡，提琴〕的人用弓在弦上來回拉動，弓所接觸的是弦的很小的一段，似乎只能引起這個小段的振動，實(shí)際上振動總是傳播到整個弦，弦的各處都振動起來。振動如何傳播呢？8編輯課件實(shí)際問題：設(shè)有一根細(xì)長而柔軟的弦,緊繃于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動〔以某種方式激發(fā)，在同一平面內(nèi)，弦上各點(diǎn)的振動方向相互平行，且與波的傳播方向〔弦的長度方向〕垂直〕，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。1.物理模型9編輯課件2.分析弦是柔軟的，即在放松的條件下，把弦彎成任意的形狀，它都保持靜止?？嚲o后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為弦中的張力，張力沿線的切線方向。10編輯課件由于張力的作用，一個小段的振動必帶動它的鄰段，鄰段又帶動它自己的鄰段，這樣一個小段的振動必然傳播到整個弦，這種振動的傳播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質(zhì)弦〔其質(zhì)量只有張力的幾萬分之一〕。跟張力相比，弦的質(zhì)量完全可以略去。11編輯課件①模型實(shí)際上就是：柔軟輕質(zhì)細(xì)弦〔“沒有質(zhì)量〞的弦〕②將無質(zhì)量的弦緊繃，不振動時是一根直線，取為x軸。③將弦上個點(diǎn)的橫向位移記為12編輯課件④已知：線密度

重量不計(jì)，沿切線方向，不隨x變化，弦中各點(diǎn)的張力相等（小振動下T與t也無關(guān)）.

張力⑤研究方法：連續(xù)介質(zhì)，微積分思想，任意性。13編輯課件3.研究建立方程①如圖，選弦繃緊時〔不振動〕直線為x軸AB14編輯課件為表征物理量。②弦離開平衡位置的位移記為③因弦的振動是機(jī)械振動，根本規(guī)律為：然而弦不是質(zhì)點(diǎn)，故對整根弦并不適用。但整根弦可以細(xì)分為許多極小的小段，每個小段可以抽象為質(zhì)點(diǎn)。15編輯課件即整根弦由相互牽連的質(zhì)點(diǎn)組成，對每個質(zhì)點(diǎn)即每個小段可應(yīng)用

.方法：將連續(xù)分布的介質(zhì)離散化為多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，再取內(nèi)部任一代表性的點(diǎn)進(jìn)行研究。將弦細(xì)分為許多極小的小段，取區(qū)間上小段為代表。無質(zhì)量且柔軟，故該段僅受到相鄰兩段的拉力.和

16編輯課件④對弦的每一小段dx,沿x方向〔縱向〕沒有運(yùn)動，沿x方向所受合外力為零。任一小段弦在振動過程中只受到相鄰段對它的張力和施加在弦上的外力。設(shè)單位長度上受到的橫向外力為17編輯課件于是由牛頓第二定律對dx

所對應(yīng)的這一小段弦有:沿

方向（縱向）：

沿

方向（縱向）：

①②18編輯課件近似：考慮小的振動，

，為小量。

其中:

是弦的線密度，即單位長度的為對應(yīng)弧長，

為弦的橫向?yàn)橄业臋M向加速度。

質(zhì)量，位移，19編輯課件∵

20編輯課件于是①、②化簡為：兩點(diǎn)間任一時刻橫小振動近似：

與與

相比是一向位移之差

個小量，即

21編輯課件即令

那么上式為:22編輯課件應(yīng)用微積分中值定理:23編輯課件即——弦的強(qiáng)迫橫振動方程其中:

，

量綱分析：

，24編輯課件即：振動的傳播速度

它與弦的張力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比。

∴

25編輯課件對樂器來講，意味著弦繃的越緊，波速越大；弦的質(zhì)料越密，波速越小。那么得弦的自由橫振動方程：消失，即

上式中,外力f26編輯課件注意：上述推導(dǎo)過程中，并沒有考慮重力。不僅弦振動，一維波動方程，如彈性桿的橫振動。二維波動方程，如薄膜的橫振動方程，管道中小振動的傳播，理想傳輸線的電報(bào)方程等均可用上述波動方程描述。故稱為一類方程，即波動方程?！惨彩欠Q其為泛定方程的遠(yuǎn)大〕可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學(xué)與聲學(xué)中推導(dǎo)三維波動方程，這里不再一一推導(dǎo)。27編輯課件二、定解條件的提出1、必要性。導(dǎo)出方程后，就得對方程進(jìn)行求解。但是只有泛定方程缺乏以完全確定方程的解，即缺乏以完全確定具體的物理過程，因?yàn)榫唧w的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受的外界作用有關(guān)，因而必須找一些補(bǔ)充條件，用以確定該物理過程。28編輯課件從物理角度看：泛定方程僅表示一般性〔共性〕，要為物體的運(yùn)動個性化附加條件。從數(shù)學(xué)角度看：微分方程解的任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)〔解不能唯一確定〕。通過附加條件確定任意函數(shù)〔常數(shù)〕，從而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題的“歷史〞與“環(huán)境〞，即初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。29編輯課件2、初始條件在求解含時間t變量的數(shù)理方程時，往往要追溯到早些某個所謂“初始〞時間的狀況〔“歷史〞〕，于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件。30編輯課件如弦振動方程:

其初始條件為:同一時刻(

)情況

注意：(a〕初始條件應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。31編輯課件若

就錯了。

如：一根長為l的兩端固定的弦，用手把它的中點(diǎn)朝橫向拔開距離h，然后放手任其振動〔初始時該就為放手的時刻〕，那么初始條件應(yīng)為：32編輯課件(b)時間t

的n階方程需n個初始條件，n個常數(shù)。如：33編輯課件3、邊界條件求解方程時還需考慮邊界狀況〔周邊“環(huán)境〞〕〔邊界狀況將通過逐點(diǎn)影響所討論的整個區(qū)域〕，稱物理過程邊界狀況的表達(dá)式為邊界條件，或稱為邊值條件。邊界條件在數(shù)學(xué)上分為三類：34編輯課件

第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)：直接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值其中為已知函數(shù)。

35編輯課件

第二類邊界條件（Neuman邊界條件）：規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向上的方向?qū)?shù)的數(shù)值.，36編輯課件第三類邊界條件〔混合邊界條件也叫Robin邊界條件〕：規(guī)定所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的值:常系數(shù)37編輯課件第一、二、三類齊次邊界條件。時，以上三類邊界條件當(dāng)分別稱為38編輯課件⑴

銜接條件集中地由于一些原因，在所研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在該點(diǎn)失去意義。如波動方程〔弦〕，如果有橫向力作用于點(diǎn)，這就成了弦的折點(diǎn)。在點(diǎn)斜率的左極限不同于右極限，因而不存在,

4、其它條件39編輯課件在各段上,弦振動方程有意義，但它是一根弦的兩段，并不是各自振動的。從數(shù)學(xué)上來講，不可能在兩端上分別列出定解問題。兩段可作為一個整體來研究，兩段的振動是相互關(guān)聯(lián)的。在這一點(diǎn)無意義.如果,將分成，兩段分別考慮，40編輯課件F（0,t）α1α2xu41編輯課件雖是折點(diǎn)，但它們連續(xù)，即①在

，力

應(yīng)和張力平衡，即②

①、②合稱為銜接條件，這時振動問題適定。42編輯課件再如，不同材料組成的桿的振動，在銜接處的位移和能量相等，即：：桿的兩部分位移.：兩部分的楊氏模量.

43編輯課件靜電場中，兩種電介質(zhì)的交界面上電勢應(yīng)相等（連續(xù)），電位移矢量的法向分量也應(yīng)相等（連續(xù)）,其銜接條件是:44編輯課件代表兩種電介質(zhì)的介電常數(shù)，（設(shè)電其中代表兩種電介質(zhì)的電勢，

則,位移矢量分別為45編輯課件⑵

自然邊界條件某些情況下，出于物理上的合理性等原因，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，這些條件通常都不是要研究的問題直接給出，而是根據(jù)解的特性要求自然加上去，故稱為自然邊界條件，如：46編輯課件通解為：

在區(qū)間

上要求解有限，故

有限，從而在

中的解為:

47編輯課件但并非所有的定解問題中，都一定同時具有初始條件和邊界條件。三、三類定解問題定解問題泛定方程定解條件初始條件邊界條件+銜接條件48編輯課件〔1〕初值問題(Cauchy問題〕：定解問題中僅初始條件而無邊界條件,如無界弦的振動:49編輯課件〔2〕邊值問題：定解條件為邊界條件如

50編輯課件〔3〕混合問題:即有初始條件又有邊界條件。如有界弦的自由振動51編輯課件物理系統(tǒng)總是有限的，必須有界，要求邊界條件，如：弦總是有限長的，有兩個端點(diǎn)，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太長的時間里，另一端還沒來得及傳到，可認(rèn)為另一端不存在這樣就可將真實(shí)的弦抽象為半無界弦。〔4〕無界半無界問題：52編輯課件如果注重考慮不靠近兩端點(diǎn)的某段弦，在不太長的時間里，兩端點(diǎn)的影響還沒來得及傳到，可認(rèn)為兩端點(diǎn)都不存在，即兩端點(diǎn)都在無限遠(yuǎn)，就不提邊界條件了，這樣有限的真實(shí)弦抽象成無界的弦，分別稱為半無界問題、無界問題。53編輯課件舉例：弦振動問題中

第一類邊界條件：

54編輯課件端點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律:

左端點(diǎn)，

右端點(diǎn)

假設(shè)兩端點(diǎn)固定，那么為齊次邊界條件，稱固定端點(diǎn)邊界條件。

55編輯課件第二類邊界條件：

若左端點(diǎn)自由地上下運(yùn)動，則

稱自由（端點(diǎn)）邊界條件

.56編輯課件第三類邊界條件：

的彈簧，弦的左端點(diǎn)固定于彈簧的自由頂端，弦的左端點(diǎn)受到垂直于軸的已知外力的作用而上下運(yùn)動。

設(shè)在處安置了一個垂直于

軸的57編輯課件58編輯課件假設(shè)彈性支承邊界條件：

弦的一端與一個其他系統(tǒng)相連接，弦在左端處連接于一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，保持其運(yùn)動是完全垂直的。59編輯課件想象質(zhì)量在垂直軌道上無摩擦，軌道對質(zhì)量施加一個張力，防止張力的水平分量拉翻質(zhì)量系統(tǒng)，弦與此質(zhì)量未連接，質(zhì)量的位置為弦在端點(diǎn)的位置

，未知的量，滿足牛頓第二定律的一個ODE。60編輯課件彈簧的拉伸長度為:

由牛頓第二定律：

彈簧上的其它力假設(shè)彈簧的未拉伸的長度為

，且滿足胡克定律，設(shè)弦的支撐點(diǎn)按照其解的方式移動。彈簧的長度為61編輯課件其中

為小振動近似，

常量，62編輯課件邊界條件為（連接于一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，帶動支撐

的外力的一條振動的處,則弦在63編輯課件若無外力作用于質(zhì)量上

充分小，那么其中:

是質(zhì)量的平衡位置64編輯課件假設(shè)質(zhì)量的平衡位置與弦的平衡位置重合，即那么：若弦和質(zhì)量的，若

處

，。成正比，與平衡位置都是則必有65編輯課件端點(diǎn)處無任何其它垂直外力，彈力在端點(diǎn)的垂直分量必為0，否那么此端點(diǎn)將會有無限垂直加速度。對

取極限

假設(shè)端點(diǎn)附在前述無摩擦的垂直軌道上，上下自由移動，無彈簧質(zhì)量系統(tǒng)也無外力，66編輯課件1.2行波法一、定解問題二、求解定解問題三、分析解答四、依賴區(qū)域五、其它:問題67編輯課件引言上節(jié)課我們已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)物理方程所研究的對象、特點(diǎn)，并推導(dǎo)出一類典型的方程——波動方程（弦振動方程），接下來的問題就是對這些問題如何來求解？先來回顧一下的求解

。的求解

１.68編輯課件先求方程通解〔含任意常數(shù)〕常微分方程（

）的求解思路：

(利用初值條件)方程的特解確定條件中的數(shù)69編輯課件例如：

通解為:

70編輯課件2.的求解

對，可否也用這種思路來求解？即先求通解（通解中包含任意常數(shù)或函數(shù)），然后利用各種條件確定常數(shù)或函數(shù)，從而得到特解。已經(jīng)表明，對如下困難：來講有71編輯課件其一，通解不好求；其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，但也卻非不能解決任何方程，對一類問題是可行的：無界區(qū)域齊次波動方程的定解問題。72編輯課件齊次波動方程（

）反映介質(zhì)一經(jīng)擾動后在區(qū)域里不再受外力的運(yùn)動規(guī)律。如弦振動方程，所考慮的弦，長度很長，所需知道的又只是在較短的時間內(nèi)離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動情況，則邊界的影響可以不予考慮，就構(gòu)成一個無界問題，73編輯課件〔初值問題〕抽象成問題的區(qū)域是整個空間，由初始擾動所引起的振動就會一往無前的傳播下去，形成行進(jìn)的波，簡稱行波?！矓?shù)學(xué)上將弦的長度視為無限〕。這種求解行波問題的方法成為行波法。74編輯課件一、定解問題上式為無界弦的自由振動方程.其中為已知函數(shù)。

75編輯課件物理模型解釋：①無限長弦的自由振動②無限長桿的縱振動③無限長理想傳輸線上電流、電壓之比這里“無限長〞指沒有受到外力作用，只研究其中一小段，那么在不太長的時間里，兩76編輯課件端的影響來不及傳到，可認(rèn)為兩端不存在，因而為無限長。對該問題的處理思路〔借鑒ODE處理方法〕自變量變換簡化泛定方程定解問題的解得通解初始條件77編輯課件二、求解定解問題〔一維齊次波動方程的通解〕〔1〕作自變量變換〔行波變換〕.目的：將泛定方程簡化成易積分的形式.設(shè)78編輯課件利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：

（上述變換的由來：

由有引入變換

找兩個微分算子：

79編輯課件使

為常數(shù)，

80編輯課件令那么故令

81編輯課件那么有這時

82編輯課件為了書寫簡便和對稱，令

即

83編輯課件84編輯課件85編輯課件86編輯課件〔２〕求通解兩邊對

求積分得：

和

無關(guān)，是關(guān)于

的函數(shù)，那么有87編輯課件求積分有：

其中為的函數(shù)，然后再對自變量

其中，分別為

，函數(shù)，只要有兩次積分就可。

的任意88編輯課件故，通解為

89編輯課件（３）用初始條件定特解——確定由初始條件

由

有

90編輯課件91編輯課件由此解得

92編輯課件93編輯課件故:這叫做達(dá)朗貝爾解，簡稱達(dá)氏解，因此這種方法叫做達(dá)朗貝爾解法。94編輯課件三、分析解答〔1〕解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性)〔2〕解的物理意義.通解的物理意義：先考慮

，時

，表示弦在

時的波形（位移），

95編輯課件初始時刻的狀態(tài)，經(jīng)過時間

后由

，的波形向

正方向右進(jìn)行，故

所描述的振動規(guī)律，稱為右行波（正行波、右傳播波）；

向平移距離，即這種波的傳播形式是保持波形不變地以速度96編輯課件表示不變地向左傳播，稱為左行波（逆行波、左傳播波），故弦振動方程的通解是左右行波的疊加，（即弦上任意擾動總是向相反的兩個方向傳播下去）同理，越大,表示波傳播速度越快。97編輯課件+98編輯課件表示初始位移引起的波動左右行波疊加由初始位移激發(fā)的行波，時刻波形為

向左右傳播.，以后分成幾部分以獨(dú)立的速度上式第一項(xiàng)為:99編輯課件表示由初始速度引起的波動.設(shè)

的一個原函數(shù)是

即則100編輯課件左右對稱地?cái)U(kuò)展到的范圍，它表示左右行波疊加，由初始速度激發(fā)的行波，在

時刻，它傳播速度為.101編輯課件例1.求解初值問題〔初始位移引起的波動〕102編輯課件解：由

公式：

假設(shè)103編輯課件四、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域無界弦自由振動的這種特性，可以更幾何直觀地表現(xiàn)出來.定解問題如下:104編輯課件其定義域是