不定積分 (公式大全)

第5章不定積分5.1原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分通過對求導和微分的學習，我們可以從一個函數(shù)y＝f(x)出發(fā)，去求它的導數(shù)f'(x)那么，我們能不能從一個函數(shù)的導數(shù)f’(x)出發(fā)，反過來去求它是哪一個函數(shù)(原函數(shù))的導數(shù)呢?[定義]f(x)是定義在某區(qū)間上的一個函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點x處都有F'(x)＝f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。編輯課件例1求以下函數(shù)的一個原函數(shù)：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函數(shù)2x的一個原函數(shù)⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函數(shù)cosx的一個原函數(shù)這里為什么要強調是一個原函數(shù)呢?因為一個函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。例如在上面的⑴中，還有(x2＋1)'＝2x，(x2－1)'＝2x所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C為任意常數(shù))都是函數(shù)f(x)＝2x的原函數(shù)。編輯課件[定理5.1]設F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，C是一個任意常數(shù)，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)在該區(qū)間I上的原函數(shù)⑵f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示為F(x)＋C證明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)⑵略編輯課件這說明函數(shù)f(x)如果有一個原函數(shù)F(x)，那么它就有無窮多個原函數(shù)，它們都可以表示為F(x)＋C的形式。[定義5.2]函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量。求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。編輯課件例2求以下不定積分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一個原函數(shù)∴⑵∵－cosx是sinx的一個原函數(shù)∴編輯課件二、不定積分的幾何意義設F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那么曲線y＝F(x)稱為f(x)的一條積分曲線，曲線y＝F(x)＋C表示把曲線y＝F(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4求斜率為2x且經過點(1,0)的曲線。解：設所求曲線為y＝f(x)，那么f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲線過點(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲線為y＝x2－1。編輯課件三、根本積分公式由于積分運算是求導運算的逆運算，所以由根本求導公式反推，可得根本積分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾編輯課件說明：冪函數(shù)的積分結果可以這樣求，先將被積函數(shù)的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。[注意]不能認為arcsinx＝－arccosx，他們之間的關系是arcsinx＝π／2－arccosx編輯課件四、不定積分的性質⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)該性質說明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導，所得結果仍為f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C該性質說明，如果函數(shù)F(x)先求導再求不定積分，所得結果與F(x)相差一個常數(shù)C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k為常數(shù))該性質說明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx該性質說明，兩個函數(shù)的和或差的不定積分等于這兩個函數(shù)的不定積分的和或差編輯課件五、根本積分公式的應用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdx編輯課件5.2不定積分的計算一、直接積分法對被積函數(shù)進行簡單的恒等變形后直接用不定積分的性質和根本積分公式即可求出不定積分的方法稱為直接積分法。運用直接積分法可以求出一些簡單函數(shù)的不定積分。編輯課件

編輯課件一、第一換元法(湊微分法)如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。例如求∫cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2x，積分變量是x。這時，我們可以設被積函數(shù)的自變量為u，如果能從被積式中別離出一個因子u’(x)來，那么根據(jù)∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定積分。這種積分方法叫做湊微分法。編輯課件[講解例題]例2求∫2sin2xdx解：設u＝2x，那么du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后結果中不能有u，一定要復原成x。解：設u＝x2＋1，那么du＝2xdx編輯課件解：設u＝x2，那么du＝2xdx設u＝cosx，那么du＝-sinxdx編輯課件當計算熟練后，換元的過程可以省去不寫。例求∫sin3xcosxdx解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C編輯課件二、第二換元積分法例如，求，把其中最難處理的局部換元，令那么原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入這就是第二換元積分法。編輯課件

(1)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝asint換元。

(2)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝atant換元。編輯課件

(3)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝asect換元。編輯課件以下結果可以作為公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅編輯課件5.3分部積分法一、分部積分公式考察函數(shù)乘積的求導法那么：[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)兩邊積分得u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。編輯課件二、講解例題例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex那么原式為∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部積分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，那么v(x)＝sin2x于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx＝xsin2x＋cos2x＋C編輯課件有時，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使用幾次分部積分公式才可以求出結果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，那么v(x)＝于是編輯課件由此可見：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。為了簡化運算過程，下面介紹:三、分部積分法的列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx求導↓+↓積分2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx編輯課件

[分部積分法的列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求導↓↓積分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求導↓

２↓積分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求導↓

０↓積分+cosx＋－－＋＋編輯課件例4：求∫xlnxdxxlnx求導↓↓積分1?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解：lnxx求導↓+↓積分-編輯課件[一般原那么]對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應放在左邊，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應放在右邊。有些單獨一個函數(shù)的不定積分也要用分部積分法解。例3：求∫lnxdxlnx1求導↓+↓積分-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C編輯課件例6求∫arcsinxdxarcsinx1求導↓+↓積分-x例71求導↓↓積分x編輯課件例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移項得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函數(shù)積分法一、有理函數(shù)的定義有理函數(shù)是指分子、分母都是多項式的分式函數(shù)，形如編輯課件二、真分式的局局部式分解設分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。當n＜m時，該分式稱為真分式；當n≥m時，該分式稱為假分式。假分式可以寫成多項式與真分式的和。這里主要講解真分式的局局部式分解。例 分解成局局部式解：因為分母含有(x－1)的三重因式，所以設編輯課件等式右邊通分后得比較等式兩邊分子各項的系數(shù)得Ａ＋Ｂ＝1解得：Ａ＝－1－3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0Ｂ＝23Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0Ｃ＝1－Ａ＝1Ｄ＝2這種方法稱為待定系數(shù)法編輯課件幾種簡單分式的積分法一、編輯課件二、1.當分子不含一次項時因為分母中p2-4q＜0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2，再進一步，還可以化成編輯課件編輯課件2.