不定積分概念與性質(zhì)

第五章不定積分本章的教學(xué)根本要求是：1、理解原函數(shù)和不定積分的定義，掌握原函數(shù)和不定積分的性質(zhì)；2、熟練掌握不定積分的根本公式及湊微分法；3、熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。

一、原函數(shù)與不定積分的概念四、不定積分的性質(zhì)三、根本積分表五、小結(jié)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的幾何意義例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念(primitivefunction)定義原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)假設(shè)不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù),那么（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分(indefiniteintegral)的定義：被積表達(dá)式積分變量定義原函數(shù)

例1求解:解:例2求例3某商品的邊際本錢為,求總成解:其中為任意常數(shù)本函數(shù).二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,在同一橫坐標(biāo)處,任一曲線的切線有相同的斜率.0xy實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.三、根本積分表根本積分表

是常數(shù));說明：根本積分表導(dǎo)數(shù)根本公式∫0dx=cC’=0〔C為常數(shù)〕∫xndx=xn+1/(n+1)+c(xn)’=nxn-1∫1/xdx=ln|x|+c(lnx)’=1/x∫axdx=ax/lna+c(ax)’=axlna∫exdx=ex+c(ex)’=ex∫cosxdx=sinx+c(sinx)’=cosx∫sinxdx=-cosx+c(cosx)’=-sinx∫sec2xdx=tanx+c(tanx)’=sec2x∫csc2xdx=-cotx+c(cotx)’=-csc2x∫secx.tanxdx=secx+c(secx)’=secx.tanx∫cscx.cotxdx=-cscx+c(cscx)’=-cscx.cotx∫1/(1-x2)1/2dx=arcsinx+c(arcsinx)’=1/(1-x2)1/2∫1/(1+x2)dx=arctanx+c(arctanx)’=1/(1+x2)

例4求積分解：證：等式成立.〔此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況〕四、不定積分的性質(zhì)例5求積分解：求不定積分的方法

(1)直接積分法(2)第一類換元法(3)第二類換元法(4)分部積分法直接積分法根據(jù)不定積分的性質(zhì)和根本積分公式，對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的不定積分可以直接求出結(jié)果，或者只需經(jīng)過簡(jiǎn)單的恒等變換，再輔以積分的法那么，就可按根本公式求出結(jié)果，這樣的積分方法，叫做直接積分法。該方法主要把被積函數(shù)變換成根本積分公式中的被積函數(shù)的形式。

例6求積分解：例7求積分解：例8求積分解：說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用根本積分表.化積分為代數(shù)和的積分解:所求曲線方程為3.根本積分表〔1〕～〔13〕5.不定積分的性質(zhì)1.原函數(shù)的概念：2.不定積分的概念：4.求微分與求積分的互逆關(guān)系五、小結(jié)根本積分表是常數(shù));不定積分的性質(zhì)作業(yè)題: