廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合，={2。},8={2,3},則GUB(AC5)=()

A.{0}B.{2}C.{3}D.{0,3}

【答案】D

【解析】

【分析】計(jì)算AcB和AuB，再求補(bǔ)集.

【詳解】因?yàn)锳={2,0},8={2,3},所以AcB={2},AuB={0,2,3},

所以5)={0,3}.

故選：D

3"%<1

2.已知函數(shù)/(x)=「一,則"/(2))=()

log3X,X>1

A.2B.-2C.1D-i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的分段點(diǎn)代入求值.

【詳解】/(2)=log32,因?yàn)镮og32<log33=l,所以/(/(2))=3嘀2=2.

故選：A.

3.設(shè)等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“，若Eo=2O,S2o=lO,則邑。=()

A.OB.-10C.-30D.-40

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得：S1°,S20-Si0,S30-S20也成等差數(shù)列，即可得出.

【詳解】由等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，0，S20-S10,830-820也成等差數(shù)列，

Ze%—So)=do+區(qū)。—S20)，

.-.2x(10-20)=20+S30-10,解得S30=-30.

故選：C.

4.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則()

A.V,〈匕＜匕B.%＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.匕〈匕〈匕

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)正方體棱長為。，正四面體棱長為。，球的半徑為R,面積為S.表示出3個(gè)幾何體的表面

積，得出a,b,R,進(jìn)而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.

【詳解】設(shè)正方體棱長為“，正四面體棱長為匕，球的半徑為R,面積為S.

正方體表面積為5=6",所以"=

6

所以,年=3)2=(%3=親；

如圖，正四面體P-A3C,。為AC的中點(diǎn)，。為uABC的中心，則尸。是P-A3C底面ABC上的

高.

則AC,AD^b,所以3」=心=鳥,

22

所以S^-xACxBD=-xbx—b=—b2,

ABC2224

所以，正四面體P-A3C的表面積為S=4S.c=G從，所以/=#S.

又。為的中心，所以BO=2BO=且從

33

又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知POL8O,

所以PO=yJPB2-BO2=—b，

3

、2

kg*4'1樂3；

所以，吟=

-3xS/A?HoCCxPO

7343J7272

q

球的表面積為S=4病，所以心叁

、2

所以，匕2=(4成3

7

因?yàn)榇骸剑揪退_=備＞

所以，匕2＞彳＞吟,

所以，

故選：B.

5.已知，。46中，0C=c4，0D=2DB，AO與BC相交于點(diǎn)M，OM=xOA+yOB,則有序數(shù)對(duì)

(x,y)=()

11、11、

A.B.D.

2,3452

y145a7

【答案】D

【解析】

［分析］根據(jù)平面向量共線定理得到AM=AAD，CM=juCB,利用OA、OB分別表示出OM，再根

據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得2、〃，再代入計(jì)算可得.

【詳解】依題意A、M＞。三點(diǎn)共線，故=

所以O(shè)M=QA+AM=OA+XAD=OA+4OD—OA

OA+A^OB-OA^=

又C、M、8三點(diǎn)共線，故CM=ptCB,

則OM=OC+CM=OC+〃C8=OC+〃(OB-OC)

=(1—〃)OC+〃O8=^^OA+〃O8,

D=1T

2

所以》，解得

戶行

11.

所以0河=5。3+104,又OM=xOA+yOB,所以

所以有序數(shù)對(duì)(x,y)=

故選：D

6.從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為

45

C

9-D.9-

【解析】

【分析】先列基本事件，再列滿足條件的基本事件，最后根據(jù)古典概型求解.

【詳解】從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)可得基本事件為

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),10種情況，

若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),

9種情況,

它們之和大于8共有（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）,5種情況,

從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為

P=~.

9

故選:D.

22

7.設(shè)橢圓C：5+%的左、右焦點(diǎn)分別為％F2,直線/過點(diǎn)耳.若點(diǎn)尸2關(guān)于/的對(duì)稱

--10

點(diǎn)戶恰好在橢圓。上，且6P?耳巴=耳。2,則。的離心率為（）

12

A.-BC?D.-

3-I5

【答案】C

【解析】

1

【分析】根據(jù)己知結(jié)合橢圓的定義可推得忸耳|=2c,|尸鳥|=%一2c.然后根據(jù)6P-a92可推

2f

得4c2cos6=1a2最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.

2

【詳解】

設(shè)NP大6=6,

由已知可得，|P耳|=|耳閭=2c,

根據(jù)橢圓的定義有|「昭=2"-歸用=2。-2'.

又

所以4c285。=!"

2

在耳心中，由余弦定理可得，

I叫2=|叫2+忻段2_2|阿M6|cos6,

即（2。-2c）2=8c?-8C2COS=8C2-a2,

整理可得4c2+Sac-5a2=0，

等式兩邊同時(shí)除以"可得，4/+8e—5=0，

解得，e=,或6=一。（舍去），

22

所以e=L

2

故選：C.

8.己知￡>0,I,且e?'siny=e，siar,則下列關(guān)系式恒成立的為（）

A.cosx<cosyB.cosx>cos^C.sinx<sinyD.sinx>siny

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造/（x）=hwin*，x?e7il兀L、求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類討論得到正確選項(xiàng).

【詳解】構(gòu)造〃力=手

cosx-sia￥

則/'（力=

7171cosx-sinx

當(dāng)時(shí)，cosx>sinx,/'(x)=>0,

454

所以〃x）=學(xué)在（-5小單調(diào)遞增,

因?yàn)?<e',0<e>',

當(dāng)F7=-R>°，e'>l時(shí)，貝ij°<smx<smy,所以—?>0,所以—>x>y>°

ee,ee-4

y=cosx,單調(diào)遞增，所以cow<cosy；

?sinxsiny八?」..?,sinrsiny,nn

當(dāng)~V7=-L<。，e￡>1時(shí)$111%<5111丁<0,所以「一<—L<0,所以一一<x<><0,

ee'ee>4

y=cosx,xe[-；,0)單調(diào)遞減，所以co&xvcosy.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，構(gòu)造函數(shù)，本題中構(gòu)造/（力=丁進(jìn)行求解，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大

小，.

二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：

工12345

V0.50.811.21.5

假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為?=晟+0.28,則（）

A.另=0.24

B.當(dāng)尤=8時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為2.2

C.樣本數(shù)據(jù)），的40%分位數(shù)為0.8

D.去掉樣本點(diǎn)（3,1）后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)，?不變

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)回歸直線必過點(diǎn)（H）解得上;對(duì)于B選項(xiàng)：結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)即可求

解；對(duì)于C選項(xiàng)：結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：線性回歸方程亍=晟+0.28必過點(diǎn)伍?。?=3-5=1，解得8=0.24,所以

選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)x=8時(shí)，5=0.24X+0.28可以的出y的預(yù)測(cè)值為2.2,所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：從小到大排列共有5個(gè)數(shù)據(jù)，則i=5x40%=2是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列

的第3個(gè)數(shù)據(jù)，

即第40百分位數(shù)為3,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

力kT（y"）

對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為r=/,

但"法（XT

5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為:

(-2)x(-0.5)+(-l)x(-0.2)+0x0+1x0.2+2x0.5

，4+1+0+1+4>J(O.5)2+(OS)+0?+(0a)+(o.5『

去掉樣本中心點(diǎn)（3,1）后相關(guān)系數(shù)為

所以相關(guān)系數(shù)「不變，所以D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

10.已知f（x）是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)的圖象是函數(shù)y=sin（5+Q）

（。>0,0<0<兀）圖象的一部分（如圖所示），則（）

A./（X）的定義域?yàn)椋?兀,可

7T

B.當(dāng)》=—時(shí)，/*）取得最大值

6

2兀71

C.當(dāng)x<0時(shí)，/*）的單調(diào)遞增區(qū)間為一T，一w

-3o

D.當(dāng)尤<0時(shí)，/（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)-二和-----

1212

【答案】BCD

【解析】

【分析】先利用待定系數(shù)法求出。，公，再根據(jù)原點(diǎn)右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)為=+工，即可判斷A；求出

3416；

的值即可判斷B；求出當(dāng)x>0時(shí)的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷C；求出當(dāng)x>0時(shí)的零點(diǎn)，結(jié)合函

數(shù)為偶函數(shù)即可判斷D.

【詳解】由圖得/(O)=sing=g,且位于增區(qū)間上,

IT7T

所以9=—+2E,攵sZ,又因?yàn)?<。<兀，所以9=—,

—6,+-=—+2^,A：eZo=2+3Z,ZeZ

362zs

0'得〈八

2兀。8兀0<(y<—9

co91

所以/(x)=sin[2x+《J(xN0),

由圖可知，原點(diǎn)右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)為生+工=0+乙=",

343412

11兀I1K

所以/(X)的定義域?yàn)?=,二,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)xe0,言時(shí)，/(x)=sin(2x+￡j,

因?yàn)?[?]=sinE=l為最大值，則當(dāng)x=?時(shí)，Ax)取得最大值，故B正確；

\6J26

ITjrSTETTTT27r

當(dāng)x>0時(shí)，令一+2%兀<2x+—K2——h2E,則一+EW2x+—<--卜kn,keZ,

262663

豈「八11兀

又因?yàn)閄E0,--,

jr2冗

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)的減區(qū)間為,

因?yàn)楹瘮?shù)"X)為偶函數(shù)，

2兀71

所以當(dāng)XV。時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一丁，一工，故c正確；

JO

1IJFJTjrITT)

當(dāng)XE0,---時(shí)，2x+—￡—,2兀,令/(無)=sin2x+—=0,

_12」6|_6」<6J

/口c兀_—lt5兀1ITT

得2xH—二?；?兀，則x=—或---，

61212

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）為偶函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時(shí)，f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)-1|和-詈，故D正確.

故選：BCD.

11.如圖，在矩形AER7中，AE=2C,EF=4,B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC'^^ABE.ABCF翻

折，使點(diǎn)瓜尸重合，記為點(diǎn)P,翻折后得到三棱錐P/BC,則（）

A.三棱錐尸-ABC的體積為逑B.直線朋與直線BC所成角的余弦值為史

36

C,直線雨與平面PBC所成角的正弦值為，D.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為叵

32

【答案】BD

【解析】

【分析】證明5P_L平面PAC，再根據(jù)LABC=LPAC即可判斷A；先利用余弦定理求出ssNAPC,將

8c用PC,表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d,再根據(jù)

直線也與平面PBC所成角的正弦值為2-即可判斷C；利用正弦定理求出AB4c的外接圓的半徑，再利

PA

用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.

【詳解】由題意可得5P_LAP,8P，CP,

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面抬。,

所以BP，平面PAC，

PA=PC=2BAC邊上的高為^^廚7^2=2加，

在中,

所以VpAG。=VB二4x'x4x2A/^x2=,故A錯(cuò)誤;

r-/iov15-AViC-323

12+12-161

對(duì)于B,在gAC中，網(wǎng)/”。=荻/麗=5,

BC=J12+4=4

PA-^PC-PB）

cos（PA,BC）=,PA',BC.-PA-PC-PA-PB

\/PABC273x486

2房2島；山

8G-6

所以直線而與直線BC所成角的余弦值為故B正確；

6

對(duì)于C,SPBC=；PBPC=2瓜

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

由%-PAC=匕-PBC'W—X2A/3J~?解得d=，

333

476

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為_d_=232=迪,故C錯(cuò)誤；

無一而一亍

由B選項(xiàng)知，cosZAPC=-,則sin/APC=2^,

33

1AC3

所以AB4c的外接圓的半徑r=%?-=K，

2sinZAPCV2

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

又因?yàn)槌?，平面PAC，

則7?2=戶+（，依］=2+1=1，所以R=叵，

即三棱錐P-ABC外接球的半徑為叵，故D正確.

2

故選：BD.

12.設(shè)拋物線C：y=/的焦點(diǎn)為凡過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A,8分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)

為P,48的中點(diǎn)為。，則（）

A.尸Q，X軸B.PFLABC./PFA=/PFBD.\AF\+\BF\^2\PF\

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)切線求交點(diǎn)根據(jù)兩根之和判斷A選項(xiàng)；特殊值法判斷B,C選項(xiàng)；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選

項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)4（和凹）,8（々,%），「（%，%），。［土產(chǎn)，上產(chǎn)］

y^x2,y'=2x,

過點(diǎn)A切線：＞一），］=2X］（x-xJ①，

過點(diǎn)B切線為：y-y2=2%2（%-尤2）②，

①一②得加一%=2%x-2X2X,

化簡可得不~—右=2x（%］一9），

玉+x2

%=2

PQLx軸,A選項(xiàng)正確.

設(shè)4（0,0）,8（1,1）/（0,；）,

過A點(diǎn)的切線為y=0,過8點(diǎn)的切線為y—1=2（%-1）,交點(diǎn)為尸（g,。］,

A3的中點(diǎn)為,所以=—：，%"=L^PF^AB/一1，PF不垂直AB,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

網(wǎng)+陽=?+同芥|,2陽=2⑶+百呼,所以

|AF|+忸F*21,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

作拋物線準(zhǔn)線的垂線A4',85',連接A'P,B'P,PF,AF,BF,

則kFA'~~~^PA

X|P

顯然既*kpA=T，，所以FA!VPA,

又因?yàn)橛蓲佄锞€定義，得|A4[=|A耳，故知24是線段FA'的中垂線，得至U|BT|=|P耳則

ZPAA=ZPFA

同理可證：|~叫=|P月,ZPB'B=NPFB，

所以|Q4[=|=|P月，即/PAB=NPBAL

所以ZPAA=NRV8'+90?=ZPB'A+^PB'B,即ZPFA=ZPFB.

故選:AC.

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,貝I」z5=_____________.

【答案】1

【解析】

【分析】解方程z2+z+l=0可得復(fù)數(shù)Z,利用共軌復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法可得結(jié)果.

（]、233,即（z+D=--=（+—i],

【說解】因?yàn)?gt;2+7+1=7.+-+-=（

12）4、214r2J

所以，z=一1一^^4或2=---+>

2222

若z=—4-立i，則1=一』+立i，則z；='iV3.Yi31i3

22)2244

2222tJ\7

若z=—‘+3i，則』=一4一立i,則zi=(1V3J13_

2222(22人22J44

綜上所述，z?Z=1?

故答案為：1.

14.若XN（9,22）,則尸（7<X<13）=_________(精確到0.01).

參考數(shù)據(jù)：若X~N（4，〃），貝=0.683,P(|X-〃<2o■卜0.955.

【答案】0.82

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率.

【詳解】因?yàn)閄N(9,22),根據(jù)參考數(shù)據(jù)，

P(7<X<13)=尸(〃-b<X<〃+2b)=gx(0.683+0.955)?0.82.

故答案為：0.82.

15.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(x+l)-2為奇函數(shù)，且/(I—x)=〃3+x),則〃2023)=

【答案】2

【解析】

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，計(jì)算出/(I)的值，結(jié)合/(1)+/(3)=4以

及周期性可求得/(2023)的值.

[詳解】因?yàn)?(x+l)-2為奇函數(shù)，則/(_x+l)_2=_[/(x+l)_2],

所以，/(l+x)+/(l—x)=4,

在等式〃l+x)+/(l—x)=4中，令》=(),可得2/⑴=4,解得〃1)=2,

又因?yàn)?(l—x)=/(3+x),則/(l+x)+/(3+x)=4,①

所以，/(x+3)+/(x+5)=4,②

由①②可得/(x+5)=/(x+l),即/(x+4)=/(x),

所以，函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為4，

所以，/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=4-/(l)=2.

故答案為：2.

16.足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng).如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的8底線寬=72碼，球門寬EE=8碼，球

門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)尸，使得NEPP最大，

這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)。處(Q4=AB,時(shí)，根據(jù)場(chǎng)

上形勢(shì)判斷，有。4、08兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路。4,則甲帶球碼時(shí)，APO到達(dá)

最佳射門位置；若選擇線路。8,則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.

72

則3(—36,0)、0(36,72)、F(Y,0)、E(4,0),k

OB36+36―

直線的方程為y=尤+36,設(shè)點(diǎn)P（x,x+36）,其中一36<x436,

x+36,x+36

tanZAFP-k-=，tan/AEP=k=

PFx+4PwFx—4

tanZAEP-tanZAFP

所以，tan/EPFtan(ZAEP-ZAFP)=

1+tan/AEPtan/AFP

x+36尤+368(x+36)

%—4%+4=元2-16=______8

1?x+36x+36-(x+36)2/x"—16

(x+36)+--------

x—4x+4+葉一一'7x+36

令m=X+36E(0,72],則工=加一36，

2

GRN”X-16(777—36)2—16c1280”F1280”

月『以，X+36H---------=m+----------------=2mH----------72>2.2m----------72

x+36mm\m

=32屈-Tl,

1230

當(dāng)且僅當(dāng)2m=——時(shí)，即當(dāng)機(jī)=8而，即當(dāng)x=8ji6—36時(shí)，等號(hào)成立，

m

/廠門廠8,81

一一tanZ.EPF=--------r---------<=------=—=——

所以,2m+1282一72-32V10-724V10-9-

m

當(dāng)且僅當(dāng)x=8麗-36時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)，|0尸|=及?卜6-(8亞-36)|=7272-1675,

所以，若選擇線路OB，則甲帶球720-16石碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.

故答案為：72-16石；7272-1675.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把

構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不

是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知a/,c分別為_A6C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且sin（A-3）=2sinC.

（1）證明:/=Z?2+2c2;

2兀_.

（2）若4=5，a=3,BC=3BM，求AM的長度.

【答案】（D證明見解析

（2）AM^l

【解析】

【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，再利用正弦定理和余弦定理化角

為邊，整理即可得證；

（2）在一ABC中，由（1）結(jié)合余弦定理求出再在ABM中，利用余弦定理即可得解.

【小問1詳解】

由sin（A—3）=2sinC=2sin（A+3）,

得sinAcosB-cosAsin8=2sinAcosB+2cosAsinB,

則sinAcosB+3cosAsin3=（）,

由正弦定理和余弦定理得a-巴匯——+3b-勺/——=0,

lac2bc

化簡得a2=62+2c2；

【小問2詳解】

在_A8c中，a2=b2+c2+be=9>

又因?yàn)?=〃+2。2,所以〃+2c2=o2+c2+bc=9，所以。=c=JL

所以8=C=C，

6

由BC=3BM，得6M=]=1,

18.飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的

新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣,

得到如下列聯(lián)表：

飛盤運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

不愛好愛好

男61622

女42428

合計(jì)104050

(I)在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取

3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)

據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)

性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因.

,n(ad—bc\

附:力-=7-------~77——--------------7，其中〃=a+h+C+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

2.7066.63510.828

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)分別寫出對(duì)相應(yīng)概率列分布列求數(shù)學(xué)期望即可；

(2)先求力2再根據(jù)數(shù)表對(duì)應(yīng)判斷相關(guān)性即可，對(duì)比兩次力2的值可以得出結(jié)論說明原因.

【小問1詳解】

樣本中愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4:6，

按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.

隨機(jī)變量X的取值為：0』,2,3.

p（x=o）-0-i

C3一6,

c'c2

P（X=1）=

3

Jco=5

C2cl3

P（X=2）=,

3To

Jco

6=1

P（X=3）

C：。30,

隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

\_31

p

621030

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0d+lxJ+2x&+3x]='

OZ1UJUJ

【小問2詳解】

零假設(shè)為40:愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到*2=50x（6x24-4x16）2引299<6.635.5,

10x40x22x28001

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷“。不成立，因此可以認(rèn)為"o成立，即認(rèn)為愛

好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).

列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后,

500x（60x240-40x160）2

2?12.99>6.635=%刈,

z100x400x220x280

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷“°成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).

所以結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷

結(jié)論發(fā)生了變化.

2兀

19.在三棱柱A3C-A4G中，AB=BC=2,Z.ABC=.LA^B.

(1)證明:AA=A。；

(2)若AA=2,BC1=A，求平面ACg與平面BCC4夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

7

【解析】

【分析1(1)先由線面垂直得出AC_LQ4,又因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，可以得出結(jié)論;

(2)建系應(yīng)用空間向量法求面面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接。4，。民

因?yàn)?所以ACJ_OB,又因?yàn)锳C//AG，且

所以ACJ.A8,因?yàn)锳B,OBu平面。84，且ASOB=B,

所以AC_L平面。84,因。4/平面。84，

所以AC又因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，

所以AA=AC.

【小問2詳解】

在_ABC中，由余弦定理求得AC=26,則AG=AC=2A/3,

因?yàn)樗?G2+4乃2=8。；，解得45=血，

在RtAQ4,和RtZXABC中，可知4。=。3=1，.

在△。研中，042+032=432,因此4。，08.

由(1)知，AC±0At,且AC,03u平面ABC,且ACOB=O,

所以平面ABC.

以。氏OCQ4,所在直線分別為x軸，)，軸，z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,1）,fi（l,0,0）,C（0,V3,0）M（0,->/3,0）.

所以AE=而=。,6,0）,后=（0,若,T）,品=（一1,3,0）,

朋=84=僅,瓜1）,

設(shè)平面AgC的法向量為m=（%1,y1,z1）,

m-A.B.=0

則，

m-A｝C=0

<玉+6yl=o

gx-Z1=0

令X]=V^,得加=1,—.

設(shè)平面Beeg的法向量為〃=（々，為，22），

n-BB,=0

—x9+>/3y9=0

即1r

>/3y2+z2=0

令々=6,得〃=（6,1,-6），

mn5

設(shè)平面AC與與平面BCC內(nèi)夾角為仇則cos。=

m\\n7

所以平面4c4與平面BCC4夾角的余弦值為，.

20.已知數(shù)列｛4｝滿足，q=3,4am=9X22'T,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明:數(shù)列｛q｝中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

【答案】(1)〃"=3X2"T

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由為"向=9x221得如=4,分奇偶項(xiàng)分別求通項(xiàng)，最后寫出通項(xiàng)公式；

%

(2)假設(shè)數(shù)列｛凡｝中存在三項(xiàng)數(shù)列其中加＜k＜p)成等差數(shù)列，應(yīng)用反證法得出矛盾證明

即可.

【小問1詳解】

由g=9x22"T,得4+4+2=9x22"”

ao

以上兩式相比，得」工=4,

4

由4a2=9x2：4=3得。2=6,

2n2

所以，數(shù)列｛々-J是首項(xiàng)為3,公比4為的等比數(shù)列，a2n_,=3x2-,

2

數(shù)列｛%,｝是首項(xiàng)為6,公比為4的等比數(shù)列，a2?=6x2"-',

綜上，數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式為a?=3x2"-'.

【小問2詳解】

假設(shè)數(shù)列｛%｝中存在三項(xiàng)數(shù)列。?,，4，4,(其中加＜左＜〃)成等差數(shù)列，貝I2ak=am+ap.

由(1)得2X3X2?T=3x2"i+3x2。"，即2"=2"i+201兩邊同時(shí)除以2"i，得2"川,=1+20-'"

(*)

??.(*)式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)

.?.(*)等式不成立，假設(shè)不成立.

所以，數(shù)列｛a,,｝中得任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

21.已知雙曲線：x2-y2=\,點(diǎn)M為雙曲線C右支上一點(diǎn)，A、8為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線

40與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。在x軸正半軸上，點(diǎn)E在y軸上.

(1)若點(diǎn)M(2,百)，0(2,0),過點(diǎn)。作8M的垂線/交該雙曲線C于S,T兩點(diǎn)，求_QST的面積:

(2)若點(diǎn)加不與8重合，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①Q(mào)D=Z)E；②

BMLEQ.③|0。=2.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)指

(2)證明見解析

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)已知，得出/的方程，然后聯(lián)立/與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,

表示出弦長，最后根據(jù)面積公式，即可得出答案;

（2）①②為條件，③為結(jié)論：易得一■=.然后根據(jù)直線BM的斜率

%+1

1］_x2.

可得出程°=一「=—.設(shè)點(diǎn)Q（x°,O）,則〃_l-x0_-TQ+I,即可得出。坐標(biāo)；①③為條件,

y。KEQ__

>0』

②為結(jié)論：易得一%=%，￡（（）,當(dāng)?［又0（2,0）,即可的得出縱°,kBM,求解左取?心”，整理

/+1［垢+）

y2/一1

即可得出證明；②③為條件，①為結(jié)論：易得以>=*n7>0,平方整理可得.根據(jù)

%+1%+1

BM1EQ,得益0=-4=上也.進(jìn)而根據(jù)的2=與二:，即可求出％=2（玉廠1）〉0,平方整

理，即可得出證明.

【小問1詳解】

由已知可得，A（—1,0）,5（1,0）.

因?yàn)辄c(diǎn)M（2網(wǎng),直線BM的斜率為kMB=避二9=V3，

2—1

所以直線8M的垂線/的方程為y-0=-

整理可得，x=-43y+2.

設(shè)點(diǎn)S（X［，x）,T（W，%），

：=一嚴(yán)）'+2可得,2y2一43+3=0,

聯(lián)立直線/與雙曲線的方程〈

x->■=1

2%〕

又OD=DE，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為七0,

%+1,

又|0。=2,點(diǎn)。在X軸正半軸上，所以。(2,0),

2yo

所以。_1+1_1-玉）.

KEQ=Z-=

-2%

%

又上BM

%為

所以"&W'“E0-1,

所以，BMVEQ.

②③為條件，①為結(jié)論

令點(diǎn)。(0,%),加(毛,%)(%>1),且=1,不妨設(shè)%>0.

因?yàn)锳RM三點(diǎn)共線,

%

所以如>0,且%=

%+1（公+1）2（%+以5+「

因?yàn)閨0。=2,點(diǎn)。在x軸正半軸上，所以。(2,0).

]_]%0

因?yàn)锽MJ.E。，所以凝°

k/SM%

一

又^EQ30

0-2'

_2（x-l）>0,且小吐Lmj煙為

所以,0

7E-x2-l

%0%+1

所以,%=2%，即。

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：①②為條件，③為結(jié)論:先得出的斜率，根據(jù)得出

1-X)

k--------―1..然后根據(jù)E,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出斜率，即可推出Q點(diǎn)