復(fù)合函數(shù)的定義域詳細(xì)講義及其練習(xí)提高詳細(xì)答案解析

復(fù)合函數(shù)

一，復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y是u的函數(shù)，即y=f(u),u是x的函數(shù)，即u=g(x),且g(x)

的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過(guò)u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)

為由y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[g(x)],其中u稱(chēng)為中間變量。

二，對(duì)高中復(fù)合函數(shù)的通解法一一綜合分析法

1、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫(xiě)出復(fù)合過(guò)程

例1：指出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

(1)y=V2-x2(2)y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cosVl-x2

解：(1)y=J2-x2是由y=Ju,u=2-x2復(fù)合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x復(fù)合而成的。

(3)y=sin3x=(sinx)-3

,*.y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復(fù)合而成的。

(4)y=3cosVl+x2是由y=3cosu,u=Vr,r=l+x2復(fù)合而成的。

2、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之二是正確理解復(fù)合函數(shù)的定義。

看下例題:例2：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5)的定義域。

經(jīng)典誤解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復(fù)合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復(fù)合而成的。

由g(x),G(x)得:u2=2x-ll

即：y=f(u2),u2=2x-ll

?；f(ul)的定義域?yàn)閇1、2]

1Wx<2

.,.-9<2x-ll<-6

即:y=f(u2)的定義域?yàn)閇-9、-6]

...f(2x-5)的定義域?yàn)閇-9、-6]

經(jīng)典誤解2：解：???f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2]

，lWx+3<2

二-2Wx<_1

-4W2x<_2

，9W2x-5<-7

，f(2x-5)的定義域?yàn)閇-9、-7]

(下轉(zhuǎn)2頁(yè))

注：通過(guò)以上兩例誤解可得，解高中復(fù)合函數(shù)題會(huì)出錯(cuò)主要原因是對(duì)復(fù)合函數(shù)的概

念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過(guò)u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為由

y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),記作y=f[g(x)],其中u稱(chēng)為“中間變量"。從以上誤

解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成(x+3)的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。而從定

義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復(fù)合函數(shù)的定義域是

指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復(fù)合而成的

復(fù)合函數(shù)，其定義域是x的取值范圍。

正確解法：解:f(x+3)是由y=f(ul),ul=xl+3(lWx<2)復(fù)合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復(fù)合而成的

1Wxl<2

，4Wul<5

.?.4<u2<5

，4W2x2-5<5

；.2Wx2<5

，f(2x-5)的定義域?yàn)閇2、5]

結(jié)論：解高中復(fù)合函數(shù)題要注意復(fù)合函數(shù)的分層，即u為第一層，x為第二層，一、

二兩層是不可以直接建立關(guān)系的，在解題時(shí)，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考

慮則會(huì)出現(xiàn)經(jīng)典誤解1與2的情況。

三、高中復(fù)合函數(shù)的題型(不包括抽象函數(shù))

題型一：?jiǎn)螌?duì)單，如：已知f(x)的定義域?yàn)閇-1,4],求f(x2)的定義域。

題型二：多對(duì)多，如：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5)的定義域。

(下轉(zhuǎn)3頁(yè))

題型三:單對(duì)多，如:已知f(x)的定義域?yàn)閇0、1],求f(2xT)的定義域。

題型四：多對(duì)單，如：己知f(2x-l)的定義域?yàn)閇0、1],求f(x)的定義域。

注：通解法一一綜合分析法的關(guān)鍵兩步：第一步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

第二步：找出復(fù)合函數(shù)定義域所真正指代的字母(最為關(guān)

鍵)

下面用綜合分析法解四個(gè)題型

題型一:單對(duì)單:例3：已知f(x)的定義域?yàn)閇-1、4],求f(x2)的定義域。

第1步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程：f(x2)是由y=f(u),u=x22復(fù)合而成的。

(由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形)f(x)是由y=f(u),u=xl復(fù)

合而成的。

：f(x)的定義域?yàn)?1、4]

第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng).?.TWxl<4

即TWu<4

又,；u=x22

，TWx22<4

(x2是所求f(x2)的定義域，此點(diǎn)由定義可找出)；.-2<x2<2

；.f(x2)的定義域?yàn)?-2,2)

結(jié)論：此題中的自變量xl,x2通過(guò)u聯(lián)系起來(lái)，故可求解。

題型三：?jiǎn)螌?duì)多:例4：已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求f(2x-l)的定義域。

第1步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程：f(x)是由y=f(u),u=xl復(fù)合而成的。

f(2x-l)是由y=f(u),u=2x2-l復(fù)合而成.

第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng)：???OWxlWl

...OWuWl

.?.0W2x2TWl

，x2Wl

.??f(2x-l)的定義域?yàn)閇,1]

結(jié)論：由此題的解答過(guò)程可以推出：已知f(x)的定義域可求出丫=員6)]的定義域。

下轉(zhuǎn)4頁(yè)

題型四：多對(duì)單：如:例5：已知f(2xT)的定義域?yàn)閇0、1],求f(x)的定義域。

第1步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程：f(2x-l)是由f(u),u=2xl-l復(fù)合而成的。

f(x)是由f(u),u=x2復(fù)合而成的。

第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域?qū)?yīng)的真正值：???OWxlWl

.?.0〈2xlW2

.,.-K2xl-Kl

.?.-IWuWl

.?.TWx2Wl

■f(x)的定義域?yàn)閇-1、1]

結(jié)論：由此題的解答過(guò)程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。

小結(jié)：通過(guò)觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)u這

個(gè)橋梁將X1與x2聯(lián)系起來(lái)解題。

題型二：多對(duì)多：如例6：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5)的定義域。

解析：多對(duì)多的求解是比較復(fù)雜的，但由解題型三與題型四的結(jié)論：已知f(x)的定義

域可求出y=f[g(x)]的定義域”已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)

與y=f[g(x)]可以互求。若yl=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知yl=f(x+3)的定義域，故這

里f(x)成為了聯(lián)系yl=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個(gè)橋梁，其作用與以上解題中u所充當(dāng)?shù)?/p>

作用相同。所以，在多對(duì)多的題型中，可先利用開(kāi)始給出的復(fù)合函數(shù)的定義域先求出f(x),

再以f(x)為跳板求出所需求的復(fù)合函數(shù)的定義域，具體步驟如下：

第一步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復(fù)合而成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復(fù)合而成的。

第二步：求橋梁f(x)的定義域：..TWxW2

；.4Wx+3W5

；.4WuW5

設(shè)：函數(shù)y3=(u),u=x

下轉(zhuǎn)4頁(yè)

...y3=f(x)的定義域?yàn)閇4、5]

第三步：通過(guò)橋梁f(x)進(jìn)而求出y2=f(2x-5):f(x)是由y3=f(u),u=x復(fù)合而成的

?.?4WxW5

，4WuW5

.?.4W2x-5W5

Wx2W5

，f(2x-5)的定義域?yàn)椋篬5]

小結(jié)：實(shí)際上，此題也可以u(píng)為橋梁求出f(2x-5),詳參照例2的解法。

四、將以上解答過(guò)程有機(jī)轉(zhuǎn)化為高中的標(biāo)準(zhǔn)解答模式。

如：例7：已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0、1],求函數(shù)y=f(x2+l)的定義域。

解：..,函數(shù)f(x2+l)中的x2+l相當(dāng)于f(x)中的x(即u=x2+l,與u=x)

，0Wx2+lWl

.?.TWx2W0

/.x=0

定義域?yàn)閧0}

小結(jié)：本題解答的實(shí)質(zhì)是以U為橋梁求解。

例8：已知y=f(2xT)的定義域?yàn)閇0、1],求函數(shù)y=f(x)的定義域。

解：由題意：OWxWl(即略去第二步，先找出定義域的真正對(duì)象)。

...TW2X-LW1(即求出u,以u(píng)為橋梁求出f(x)

視2xT為一個(gè)整體(即u與u的交換)

則2xT相關(guān)于f(x)中的x(即u與u的交換，f(x)由y=f(u),u=x復(fù)合而成，T-

1,.?.TWxWl)???函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1、1]

總結(jié)：綜合分析法分了3個(gè)步驟

①寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

②找出復(fù)合函數(shù)定義域所指的代數(shù)。

③找出解題中的橋梁(u或f(x)可為橋梁)

淺析復(fù)合函數(shù)的定義域問(wèn)題

一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成

設(shè)〃=g(x)是A到5的函數(shù)，y=/(“)是9到C上的函數(shù)，且6U夕,

V

當(dāng)〃取遍3中的元素時(shí)，y取遍C,那么y=/(g(x))就是A到C上的函數(shù)。此函數(shù)稱(chēng)為由

外函數(shù)y=/(x)和內(nèi)函數(shù)〃=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。

說(shuō)明：

⑴復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))中x的取值范圍。

⑵x稱(chēng)為直接變量，“稱(chēng)為中間變量，”的取值范圍即為g(x)的值域。

⑶y(g(x))與g(/(x))表示不同的復(fù)合函數(shù)。

例1.設(shè)函數(shù)/(x)=2x+3,g(x)=3x—5,求/(g(x)),g(/(x)).

⑷若/(x)的定義域?yàn)槔?，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))中，g(x)eM.

注意：g(x)的值域

例2：

⑴若函數(shù)/(x)的定義域是[0,1],求/(1-2幻的定義域；

⑵若/(2x-l)的定義域是[-1,1],求函數(shù)/(x)的定義域；

⑶已知/(x+3)定義域是[-4,5),求/(2x-3)定義域.

要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)

合而成的.

解答：

⑴函數(shù)/(l-2x)是由A到B上的函數(shù)〃=1-2》與B到C上的函數(shù)y=73)復(fù)合而成的函

數(shù).

?.?函數(shù)/(x)的定義域是[0,1],

??.B=[0,1],即函數(shù)〃2x的值域?yàn)閇0,1].

.\0<l-2x<l,

.\-l<-2x<0,BP0<x<-,

2

函數(shù)/(1一2幻的定義域[0,；].

⑵函數(shù)/(2x-l)是由A到B上的函數(shù)〃=2x-1與B到C上的函數(shù)y=/Q)復(fù)合而成的函

數(shù).

?.?/(2x—1)的定義域是[-1,1],

.*.A=[-l,1],即TWxWl,

...—3W2x—1W1,即〃=2x—1的值域是[-3,1],

,y=/(x)的定義域是[-3,1].

要點(diǎn)2：若已知/(%)的定義域?yàn)锳,則/[g(%)]的定義域就是不等式g(%)eA的％的集

合；若已知/[g(%)]的定義域?yàn)锳,則/(%)的定義域就是函數(shù)g(%)QeA)的值域。

⑶函數(shù)/(x+3)是由A到B上的函數(shù)〃=x+3與B到C上的函數(shù)丁=/(“)復(fù)合而成的函數(shù).

???/(x+3)的定義域是[-4,5),

.*.A=[-4,5)即—4Wx<5,

...-l4x+3<8即〃=x+3的值域B=[T,8)

又/(2x-3)是由A到8上的函數(shù)M=2x-3與B到C上的函數(shù)y=/(“)復(fù)合而成的函數(shù)，

而8=3,從而〃=2%-3的值域8=[-1,8)

—1<2%—3V8

2<2x<11,

1<x<—

2

???/(2x—3)的定義域是[1,y).

例3：已知函數(shù)/(x)定義域是(a,b),求尸(%)=/(3%-1)一/(3元+1)的定義域.

a+1b+1

<X<

a<3x-1<b亍

解：由題，,~r

a<3x-^\<ba-\

<X<

."3~

a+1h—1

當(dāng)<3-3，即方>々之/?一2時(shí)，尸(幻不表示函數(shù);

a<b

a+1h—1

當(dāng),3<3，即avZ?—2時(shí)，尸(幻表示函數(shù)，

a<b

其定義域?yàn)?四,B).

33

說(shuō)明：

①已知/(幻的定義域?yàn)?a,b),求/(g(x))的定義域的方法:

已知/(X)的定義域?yàn)?。，b),求/(g(x))的定義域。實(shí)際上是已知中間變量的〃的

取值范圍，即〃e(Q,b),g(x)e(a,b)。通過(guò)解不等式a<g(x)<。求得工的范圍,

即為/(g(x))的定義域。

②已知/(g(x))的定義域?yàn)?a,b),求/(x)的定義域的方法:

若已知/(g(x))的定義域?yàn)?。，b),求/(%)的定義域。實(shí)際上是已知復(fù)合函數(shù)

/(g(x))直接變量光的取值范圍，即％Z?)o先利用。<%<人求得g(%)的范圍，

則g(%)的范圍即是/(%)的定義域，即使函數(shù)/(%)的解析式形式所要求定義域真包含

g(%)的值域，也應(yīng)以g(%)的值域做為所求/(%)的定義域，因?yàn)橐_保所求外含數(shù)/(%)

與已知條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否則所求外含數(shù)/(%)將失去解決問(wèn)題的有效

性。換元法其實(shí)質(zhì)就是求復(fù)合函數(shù)/(g(x))的外函數(shù)/(%),如果外函數(shù)/(%)的定義域不

等于內(nèi)函數(shù)g(%)的值域，那么/(%)就確定不了/(g(x))的最值或值域。

例4：已知函數(shù)y(x)=J7=T+x,(x2i)

求/(X)的值域。

分析：令〃(尤)=Jx-l,(X>1);

則有g(shù)(〃)="2+〃+1，(w>0)

復(fù)合函數(shù)/(%)是由“(X)=Jx-l與g(〃)=〃2+〃+1復(fù)合而成，而g(“)="2+〃+1,(w>0)

的值域即/(%)的值域，但g(〃)=+〃+1的本身定義域?yàn)镽,其值域則不等于復(fù)合函數(shù)

/(%)的值域了。

例5：已知函數(shù)/(/—3)=lg^—,求函數(shù)/(%)的解析式，定義域及奇偶性。

x-6

分析：因?yàn)閒(x2-3)=lg^—定義域?yàn)椋鹸|x4-遙或xNn｝

x-6

令〃=12一3,〃*3；則/(〃)=1g"+3,且〃A3

〃一3

所以/(x)=ig5,xx3,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故/(%)是非奇非偶函數(shù)。

x-3

n17

1.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，已知為=—，/=—,q=—，則〃為()

833

A.2B.3C.4D.5

2.設(shè)｛",｝是公差為一2的等差數(shù)列，若%+4+%---。97=50，則生+。6+。9--------。99等于

()

A.82B.-82C.132D.-132

3.已知數(shù)列｛/｝中％=1以后各項(xiàng)由公式%=%_］+-----（〃22）給出，則4=（）

〃（〃一1）

7744

--

-C---

A.4B.47D.7

4.已知一9,6,。2，-1成等差數(shù)列，一9,4，%,打一1成等比數(shù)列，貝1］（%—6）打等于（）

99

A.-B.---C.8D.-8

88

5.在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)成等比數(shù)列，后三個(gè)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)的和是

（）

45279

A.—B.—C.-D.9

442

6.等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，若為+67=10，則59=（）

A.190B.95C.170D.85

7.已知｛〃〃｝是等比數(shù)列，對(duì)V/?￡N*,?！?gt;0恒成立，且4〃3+2。2。5+。4。6=36，

則a2+a5等于（）

A.36B.±6C.—6D.6

8.已知等差數(shù)列｛%｝中，|仆|=|6|,公差4<0；S“是數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，則（）

A.S5>S6B.S5<S6C.S6=0D.S5=S6

9.已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則這個(gè)數(shù)列的

項(xiàng)數(shù)為（）

A.2B.4C,8D.16

10.已知數(shù)列｛4｝滿足：a?=logn+l（n+2）,定義使?！感纳住瓰檎麛?shù)的婁奴/eN*）叫做希望

數(shù)，則區(qū)間［1,2010］內(nèi)所有希望數(shù)的和M=（）

A.2026B.2036C.2046D.2048

11.已知數(shù)列僅“｝、仍”｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為6、仄,且2+4=5,a/b「

，eN+（neN+）,則數(shù)列｛氏｝的前10項(xiàng)的和等于（）

A.65B.75C.85D.95

12.等差數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和為S“，已知+a,“+j-%=0,S2“,_|=38,則機(jī)=（）

A.38B.20C.10D.9

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在橫線上.

13.已知數(shù)列前4項(xiàng)為4,6,8,10,則其一個(gè)通項(xiàng)公式為.

14.已知1,以34成等差數(shù)列，1,歷,也歷,4成等比數(shù)列，則婦組=____

b2

15.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)的和Sn滿足log2（S?+1）=〃，則%=.

16.甲型hlnl流感病毒是寄生在宿主的細(xì)胞內(nèi)的，若該細(xì)胞開(kāi)始時(shí)2個(gè)，記為4=2,它們按以下規(guī)

律進(jìn)行分裂，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成

10個(gè)并死去1個(gè).，記n小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)為與，則an=（用n表示）.

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛%｝是一個(gè)等差數(shù)列，且出=-1，%=5.

（1）求｛q,｝的通項(xiàng)理；

（2）求｛”“｝前n項(xiàng)和S“的最小值.

18.（本小題滿分12分）

已知己“｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列；若數(shù)列也｝滿足4=1,b“-%.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求證：bn-bn+2<hn+c.

參考答案

一、選擇題

912

--4-

1.C；解析：等比數(shù)列｛/｝中，8-3-3-

（1）"-，=（$3,〃—1=3,〃=4；

2.B；解析：因?yàn)椋?｝是公差為一2的等差數(shù)列,

+?,?+〃99=（〃1+2d）+（Q4+2d）+（Q7+2d）+,,,+（。97+2d）

=/+。4+。7+?,■+。97+33x2d—50—132=—82；

3.A；解析：因?yàn)椤?。-------（幾22）,所以。2=a1H-----------=1H--------，

""'〃（〃-1）212（2-1）12

-,+，="二+」1,117

CIA=&H------------=14-------

3（3-1）12234（4-1）144

~-1-(-9)8

4.D；解析：?.,一9,的，。2，—1成等差數(shù)列，所以%-。］=--------=一；

???一9,々也也T成等比數(shù)列，所以1=_J(_9)x(_l)=—3；.?.(%-巧曲=一8；

9

,x=545

5.A；解析：設(shè)中間兩數(shù)為x,y,則f=3）,2y=x+9；解得j所以x+y=一：

6.B；解析：兀=19x（%+電）」9X（%+%）=95；

1922

7.D；解析：VnGN\an>0；%%+2。2。5+。4〃6=（〃2+%）2=36,a2+a5=6；

8.D；解析：Vj<0,|6^|/.tz3>0,6f9<0,且%+。9=0，，&=0，生,。，%<0；

,,,S5=$6；

9.C；解析：設(shè)該等比數(shù)列的公比為必項(xiàng)數(shù)為2〃，則有S偶二夕,5奇，??.4=1翁70=2；

又S2.=S例+S奇=皿二q=85+170，...22"-1=255，...2〃=8,故這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為8；

i—q

10.A；解析：an=log?+l(n+2)，，由?！竿?，4為整數(shù)得

log23-log34log-,（左+2）=log2（左+2）為整數(shù)，設(shè)為加,則2+2=2加，

%=2"'-2；因?yàn)?"=2048,

???區(qū)間［1,2010］內(nèi)所有希望數(shù)為22-2,23-2,24-2,…,2］。-2,

其和知=22-2+23-2+24-2+—+21°-2=2026；

11.C；解析：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得

an-a}+n-l,hn=h］+n-l;

ci^=q+hn—］=q+（4+n—1）—1

=+優(yōu)+n—2=5+〃-2=〃+3;

數(shù)列｛abn｝也是等差數(shù)列，且前10項(xiàng)和為出尸=85；

2

12.C；解析：因?yàn)椋?。“｝是等差?shù)列，所以+。,“+1=2《“，由冊(cè)_|+%+1一片=0，得：2am-am

=0,所以％,=2,乂邑”1=38,即Q-T)(；+。2“1)=38,

即(2m-l)義2=38,解得m=10.

二、填空題

13.a“=2(〃+l)；解析：該數(shù)列的前4項(xiàng)分別可寫(xiě)成：

2x(1+1),2x(2+1),2x(3+1),2x(4+1),所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2(〃+1)；

14.|；解析：..T,G,42,4成等差數(shù)列，.??4+/=1+4=5；???1,仇，岳，優(yōu)，4成等比數(shù)列，

b.,2=1x4=4,又4=1x/>0,:.b、=2；"■+”=—；

2

b22

15.2"T；解析:由k)g2(S“+l)=〃得S“+l=2”,.心力2"-1,

q=百=2—1=1,a“=S?-S,1=(2"—1)—(2"--1)=2"-2'-'=2'-'；

16.2"+1；解析：按規(guī)律，q=4—1=3,g=2x3—1=5,a3=2x5—1=9,...,an+]—2an—1；

-1=24-1),即｛a,—1｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2,公比為2,故為一1=2",二%=2"+1.

23

(本題也可由q=3=2+1,a2=5=2+1,=9=2+1......猜想出a〃=2"+l.)

三、解答題

17.解：(1)設(shè)｛4｝的公差為d,由己知條件，<4+”一11,解出“=-3,d=2.

q+4d=5

所以=q+(〃—l)d=2〃-5........6分

(2)S“=W1+g=?d=〃2_4〃=(〃—2)2—4.所以〃=2時(shí)，S“取到最小值-4.

.......12分

18.解：(1)由已知得為=〃.從而"+|=d+2",即2+|-么=2".(.......2分)

%=(bn-%)+(%-bn_2)++(■-4)+4

=2'-'+2"-2++2+1=二^=2"—1.(.......6分)

1-2

(2)因?yàn)槌?bn+2-b,J=(2"—1)?(2-2-1)一(2田一If

（22n+2-2n+2-2"+l）-（22n+2-2"+2+1）=-2"<0,

??b”,b0+2<bn+].（........12分）

3333

19.解：（1）由已知得S“=-a—,???當(dāng)”22時(shí)，S1=-ci?—；

"2222

3333

，s“-S._]一5《1,即4=/凡-5%_|,...當(dāng)"N2時(shí)，a“=3a“一1；

數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且公比q=3；（.............4分）

3333

又當(dāng)”=1時(shí)，,I=]4—/'即q=]q—],，q=3；

an=3”.（........6分）

1111

（2）Vlogan=log3"=/?,

33n

log,a?-log3a?+1〃（〃+l）n+1

（........9分）

；?｛b｝的前〃項(xiàng)和（=”—；）+（；—+（；—；）+、〃

n5-1-------1--）=1?-----1--=------

n〃+1〃+1〃+1

（........12分）

1.已知等比數(shù)列伍“｝的公比為正數(shù)，且a3?a9=2%2，生口，則見(jiàn)=

A.—B.---C.5/2D.2

22

【解析】設(shè)公比為q,由已知得042.448=2（4/y,即g2=2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的公比為正數(shù)，

所以4=0,故q=?=卡=三，選B

3.公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.若&是4與％的等比中項(xiàng)，$8=32,則Sl0等于

A.18B.24C.60D.90

【解析】由小華得⑷+3村用+2〃）回+6。）得24+3。=。，再g/+竽=32得

2%+7d=8則d=2,q=-3,所以S］。=IO4+—d=60,.故選C

4.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，已知%=3,4=11，則跖等于()

A.13B.35C.49I).63

【解析】'二駕=—=49.故選C

a=%+d=3

或由<2a-j—1+6x2=13.

a6-ax+5d=11

所以加駕必駕1=49.故選c.

5.等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S〃，且S3=6,。尸4,則公差d等于

5

A.1B-C?-2D3

3

3

［解析］:S3=6=5(4+4)且。3=4+2d6=4，d=2.故選C

6.已知｛%｝為等差數(shù)列，且%—2〃4=-1,%=°，則公差d=

11

A.-2B.--C.-D.2

22

【解析】a7—2ai=a3+4d—2(aa+d)=2d=-1=>d=——

2

7.(等差數(shù)列｛〃〃｝的公差不為零，首項(xiàng)4=1,%是％和牝的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是

A.90B.100C.145D.190

【解析】設(shè)公差為d,則(l+d)?=L(l+4d).???d/0,解得d=2,.?.S|o=lOO

然而只就/(x)=lg￡2解析式而言，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，且/(-x)=-/(x),所以

x-3

是奇函數(shù)。就本題而言/(〃)就是外函數(shù)其定義域決定于內(nèi)函數(shù)“=--3,的值域，

而不是外函數(shù)/(“)其解析式本身決定的定義域了。

2.求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，

例6.①已知f\x)=r+1,求y(x-1)；

②已知/(x-l)=(x+l)2+l,求/(x).

例7.①已知/(x-l)=x+1，求/(x)；

X

②已知/1*二)=，+4，求/(X+1).

XX

耍點(diǎn)3：

已知/(X)求復(fù)合函數(shù)/［g(x)］的解析式，直接把/(X)中的X換成g(x)即可。

已知/［g(%)］求/(%)的常用方法有：配湊法和換元法。

配湊法就是在/［g(%)］中把關(guān)于變量X的表達(dá)式先湊成g(x)整體的表達(dá)式，再直接

把g(%)換成%而得/(%)。

換元法就是先設(shè)g(x)=