第14章整式的乘法與因式分解-2020-2021學(xué)年八年級上學(xué)期期末沖刺綜合能力提升訓(xùn)練（人教版）【學(xué)科名師堂】（解析版）

第14章整式的乘法與因式分解

一、單選題

1.如圖是正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類.現(xiàn)有A類卡片4張，B類卡片1張，C類卡片4張,

則這9張卡片能拼成的正方形的邊長為()

口口

陵C類

A.a+2bB.2a+bC.2a+26D.a+b

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到所求的正方形的面積等于4張正方形A類卡片、1張正方形8類卡片和4張長方形

C類卡片的和，則所求正方形的面積=4層+〃+4加，運用完全平方公式得到所求正方形的面積=(2a+b)2,

則所求正方形的邊長為2a+b.

【詳解】???所求的正方形的面積等于4張正方形A類卡片、1張正方形B類卡片和4張長方形C類卡片的

和，

，所求正方形的面積=4。2+〃+4必=(2。+匕)2,

所求正方形的邊長為2a+b.

故選:B.

【點評】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)題意求出大正方形的面積是本題的關(guān)鍵.

2.2y(x—y)2—(y-x>等于()

A.(x+y)(x—y)2B.(3y—x)(x—y)2

C.(x—3y)(y—x)2D.(y—x)3

【答案】A

【解析】【分析】首先找出公因式(x—yF，進(jìn)而分解因式得出答案.

【詳解】原式=2y(x—y)2+(x—y)3

=(x-y)2[2y+(x-y)]

=(x-y)2[2y+x-j]

=(x+y)(x-y)2.

故選A.

【點評】本題考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵.

3.如果33出?=3a2"那么口內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是()

A.abB.3abC.aD.3a

【答案】C

【解析】分析：已知積和其中一個因式，求另外一個因式，可用積除以已知因式，得所求因式.

解答：解：Yax3ab=3a2b,

.,.口=a.

故選C.

4.下列運算正確的是()

A.x3*x2=x5B.x3+x2=x5C.(x3)3=x6D.A6-^X2=X3

【答案】A

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項法則，基的乘方運算法則以及同底數(shù)累的除法法則逐

一判斷即可.

【詳解】A.爐?/=好，故本選項符合題意；

8.R與不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；

C.O3)3=%9,故本選項不合題意;

D.故本選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查合并同類項、同底數(shù)易的乘法、同底數(shù)幕除法的運算，同底數(shù)辱相乘，底數(shù)不變，指數(shù)

相加；同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

5.為了書寫簡便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉引進(jìn)了求和符號“Z”，例如：x％=1+2+3+…-1)+〃.

k=T

￡(x+Q=(x+5)+(x+6)+O+7)…+(x+〃)已知：^[(x+k)(x-k+1)]=4x2+4x+m貝ljm的值為()

A=5k=3

A.40B.-68C.-40D.-104

【答案】B

【分析】根據(jù)題目中的式子，可以將t【(x+/)(x-^+l)]=4x2+4x+m展開，從而可以得到n和m的值，

火=3

本題得以解決.

【詳解】解：???￡[(x+頌xd+l)]=4d+4x+/n

*=3

，n=6,

(x+3)(x—2)+(x+4)(x—3)+(x+5)(x—4)+(x+6)(x—5)=4x2+4x+/n，

/.m=3x(-2)+4x(-3)+5x(-4)+6x(-5)=-68,

故選：B.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律，求出m的值.

6.下列各式中，計算正確的是()

A.2a+3b=5abB.a~b-a/?2=0C.a2+a3-aD.3ab-ab=2ab

【答案】D

【分析】如果兩個單項式，他們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項

式為同類項。

【詳解】A.2a+3b=2a+3b

B.a1b-ab2=ab(a-b)

c.a2+a^a2(l+a)

D.正確。

【點評】本題考察同類項知識的相關(guān)應(yīng)用。

7.下列運算中，正確的是()

A.a6a5=a30B.?18-?3=?6C.(24=4/D.a3+a3=a6

【答案】C

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)幕的乘法、積的乘方和哥的乘方運算法則逐項判斷即得答案.

【詳解】A、故本選項運算錯誤，不符合題意；

B、"8:“3="8-3="5,故本選項運算錯誤，不符合題意；

C、(24)2=4/,故本選項運算正確，符合題意；

D、〃+/=2&3,故本選項運算錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了合并同類項的法則和累的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握累的運算性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

8.已知x+y=16,y+z=12,x+z=10,則x+y+z等于()

A.19B.38C.14D.22

【答案】A

【分析】將已知的三個式子相加可以得到2(x+y+z)=38,從而答案可求.

【詳解】丁x+y=16,y+z=12,x+z=l。

(x+y)+(y+z)+(x+z)=38,

即2(x+y+z)=38,

/.x+y+z=19

故選：A.

【點評】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵.

9.已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,則而等于()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)完全平方公式將原式展開，然后二者相減得到4ab即可求解.

【詳解】???(々+〃)2=々2+2"+〃2=11,(a-b)2=a2-2ab+b2=7

/.(a+〃)2—(dJ-Z?)2=4ah=11-7,即4ab=4,

解得，ab=l.

故選：C.

【點評】本題考查了完全平方公式，熟練記憶完全平方公式并可以根據(jù)條件變形是本題的關(guān)鍵.

10.計算“>"11—222…22其結(jié)果用嘉的形式可表示為()

100個50個

2

A333…332B.333…33?仁333…33?D333---33

50個60個70個80個

【答案】A

【分析】對原式進(jìn)行變形，然后利用有理數(shù)的乘方法則和積的乘方法則進(jìn)行計算.

111…11-222…22

【詳解】解:

100個50個

=lll-llxio5o+lll--ll-lll-llx2

50個50個50個

=llb-41xl050-llb-41

50個50個

50

=lll."llx(10-l)；

50個

=Hl-llx999--99

50個50個

=111…11x111…11x32

50個50個

=llb--ll2x32

50個

=333…33?

50個

故選：A.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方法則和積的乘方法則的逆用，對學(xué)生靈活運用知識的要求較高，有一定

難度.

11.下列運算中，結(jié)果正確的是()

A.a3-a4=a'2B.(?2)3=a5C.ah-^cr=?4D.+a2=a5

【答案】C

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)嘉相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；塞的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)累相除，底

數(shù)不變指數(shù)相減，合并同類項，只把系數(shù)相加減，字母與字母的次數(shù)不變，對各選項計算后利用排除法求

解.

【詳解】A、應(yīng)為故本選項錯誤；

B、應(yīng)為(")3=。6,故本選項錯誤；

C、a6-r-a2=a4,故本選項正確；

D、/+/=/中兩項無法合并同類項，故本選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題考查同底數(shù)辱的乘法，幕的乘方，同底數(shù)幕的除法，合并同類項的法則，熟練掌握運算性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

12.(2011?泰安)下列等式不成立的是()

A.m2-16=(m-4)(m+4)B.m2+4m=m(m+4)

C.m2-8m+16=(m-4)2D.m2+3m+9=(m+3)2

【答案】D

【解析】A、m2-16=(m-4)(m+4),故本選項正確；B、m2+4m=m(m+4),故本選項正確；C、m2-

8m+16=(m-4)2,故本選項正確；D、m2+3m+9#(m+3)2,故本選項錯誤.

故選D.

13.觀察下列各式及其展開式

(?+/?)"—a2+2ab+b'

(a+”=<73+3a2b+3ab2+6，

(a+b)4=a4+4a%+6a2b2+4ab'+b4

(a+Op=+5a%+1o/從+1Oa^+5ab4+/

請你猜想(a+bf的展開式第三項的系數(shù)是()

A.35B.45C.55D.66

【答案】B

【分析】利用所給展開式探求各項系數(shù)的關(guān)系，特別是上面的展開式與下面的展開式中的各項系數(shù)的關(guān)系,

可推出(a+b)1。的展開式第三項的系數(shù).

【詳解】解：(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+1Oa2b3+5ab4+b5；

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；

第7個式子系數(shù)分別為：1,8,28,56,70,56,28,8,1；

第8個式子系數(shù)分別為：1,9,36,84,126,126,84,36,9,1；

第9個式子系數(shù)分別為:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,

則(a+b)|。的展開式第三項的系數(shù)為45.

故選：B.

【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

14.計算(xy3)2的結(jié)果是()

A.xy6B.x2y3C.x2y6D.x2y5

【答案】C

【解析】試題分析：原式=(Xy3)2=x2y3*2=x2y6,故選C.

考點：幕的乘方；積的乘方.

15.下列從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.(/〃+〃)(/"-〃)=療一"2B.6?2/73=2a2-3b3

C.(a—1)~—D.f-4%+4=(%一2)-

【答案】D

【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案.

【詳解】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；

B、左邊不是多項式，不符合因式分解定義，故本選項不符合題意;

c、是恒等變形，不是因式分解，故本選項不符合題意；

D、是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，屬于因式分解，故本選項符合題意；

故選D.

【點評】本題考查了因式分解.解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個

整式積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別.

16.若4a2-2ka+9是一個完全平方式，則k=()

A.12B.±12C.±6D.6

【答案】C

【解析】【分析】先根據(jù)兩平方項確定這兩個數(shù)，再求完全平方公式的乘積二倍項，即可確定k的值.

【詳解】；4a2+2ka+9是一個完全平方式，

2ka=2x2ax3,或2ka=-2x2ax3,

/.k=6或k—6.

故答案為：±6

【點評】本題主要考查了完全平方式，解題時注意：完全平方式分兩種，一種是和的完全平方公式，就是

兩個整式的和的平方；另一種是差的完全平方公式，就是兩個整式的差的平方.

17.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角''這個三角形給出了

3+。)"(〃=1,2,3,4,)的展開式的系規(guī)律(按a的次數(shù)由大到小的順序)：

11（a+，）】=a+b

121（a+方）2=a2+2ai>+b2

1331（a+力）3=a3+3W5+3a"+&3

14641（a+，），=爐+403匕+6W板+4a^+廣

請根據(jù)上述規(guī)律，寫出6+1)2必的展開式中含f“9項的系數(shù)是()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】C

【分析】首先確定工勸9是展開式中第幾項，再根據(jù)楊輝三角中的規(guī)律即可解決問題.

【詳解】解：由圖中規(guī)律可知：

含X2019的項是（X+1）2020的展開式中的第二項，

+展開式中的第二項系數(shù)為1,

（。+加2展開式中的第二項系數(shù)為2,

伍+6）3展開式中的第二項系數(shù)為3,

（。+勿4展開式中的第二項系數(shù)為%

，（a+b）"展開式中的第二項系數(shù)為n,

...（x+1）2°2°的展開式中的第二項系數(shù)為2020,

故選：C.

【點評】本題考查了數(shù)字的變化類、數(shù)學(xué)常識、多項式、完全平方式，解決本題的關(guān)鍵是理解“楊輝三角

18.若x-2y+l=0,貝Ij2x+4yx8等于（）

A.1B.4C.8D.-16

【答案】B

【解析】【分析】先把原式化為2*+22丫'23的形式，再根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法及除法法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】原式=2x3x23,

=2x-2y+3,

=22,

=4.

故選：B.

【點評】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法及除法運算，根據(jù)題意把原式化為2仁22yx23的形式是解答此題的關(guān)

鍵.

19.9(小一〃)2—25(〃?+枕)2因式分解的結(jié)果是()

A.(8/n+2?)(—2m—8n)B.—4(4/H+n)(m+4n)

C.—4(4/77+n)(m—4n)D.4(4〃?+〃)(/%+4〃)

【答案】B

【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式進(jìn)而求出答案.

(詳解】原式=(3機(jī)—3n)2—(5m+5n)2

=[(3m—3n)-(5加+5〃)][(3/n—3H)+(5n?+5n)]

=(—2〃?一8〃)(8次+2〃)

=—4(m+4n)(4/H+H).

故選B.

【點評】本題考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題的關(guān)鍵.

20.計算(2+1)02+1)04+1)(2如8+1)的結(jié)果是()

A.24036+1B.24036-1c.22018-1D.24036

【答案】B

【分析】先乘以2-1,再依次根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】(2+1)(22+1乂24+1)(22018+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)...(220|8+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)...(2238+1)

=(24-1)(24+1)...(220,8+1)

=(220e1)(22018+1)

=24036—1，

故選：B.

【點評】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用公式進(jìn)行計算的能力，注意：(a+b)(a-b)

=a2-b2,難度適中.

二、填空題

21.(x+3)(x+〃)=f+3+12,則。的取值

【答案】7

【分析】將原式左側(cè)進(jìn)行展開后，先根據(jù)3n求出n的值，然后利用a=n+3即可求解.

【詳解】將原式左端進(jìn)行展開，x2+(3+/?)x+3n=x24-OX+12

A3n=12

/.n=4

/.a=3+4=7

故答案為7.

【點評】本題考查了因式分解，本題的關(guān)鍵是將等式的左端展開，然后進(jìn)行比對.

22.計算：(一a)~(—a)s=__；-5a2(3ab2—6a3)=；a(a—3)+(2—a)(2+a)=

【答案】-/-15aV+30?54-3。

【分析】(1)根據(jù)乘方運算法則，同底數(shù)基的乘法運算法則運算即可；

(2)整式運算法則進(jìn)行運算合并即可;

(3)利用平方差公式化簡，然后合并同類項即可.

【詳解】(1)(―4(—4=-a2a5=-a1

(2)-5a2(3ah2-6/)=-\5a3b2+30a5

(3)a(a-3)+(2-a)(2+a)=tz2—3a+4—cr=4—3。.

【點評】本題考查了同底數(shù)累的乘法，平方差公式，合并同類項，熟練記憶運算公式是本題的關(guān)鍵.

23.2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四

個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖)，如果大正方形的面積是25,小正方

形的面積是1,直角三角形較短的直角邊為較長的直角邊為兒那么(。+6)2的值為.

【答案】49

【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得c2,利用勾股定理可以得到a2+b2=c2,然后求得直角三角形的面積

即可求得ab的值，根據(jù)(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab

【詳解】???大正方形的面積是25,

Ac2=25,

.'.a2+b2=c2=25,

95-I

?.?直角三角形的面積是——=6,

4

又；直角三角形的面積是工浦=6,

2

：.ab=12,

(a+b)2=a2+h2-^-2ah=c2+2ab=25+2x12=49.

故答案是：49.

【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

24.已知代數(shù)式無2+3%+5的值是7,則代數(shù)式3/+9X_2的值是.

【答案】4

【分析】由已知可得+3x的值，進(jìn)而可得4f+6x的值，然后整體代入所求式子計算即可.

【詳解】；X2+3X+5=7

：.X2+3X=2

3x?+9x=3+3x）=6

???3X2+9X-2=6-2=4

故答案為：4.

【點評】本題考查了代數(shù)式求值，屬于基本題型，熟練掌握整體的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵.

25.如圖，有A,3兩個正方形，現(xiàn)將3放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，5并列放置后構(gòu)造新的正方形得

圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為5和16,則正方形A，8的面積之和為.

【答案】21

【分析】設(shè)出正方形的邊長，根據(jù)正方形的面積公式和已知陰影部分的面積構(gòu)建一個方程組，可整體求出

正方形A、B的面積之和為21.

【詳解】設(shè)A正方形的邊長為a,B正方形的邊長為b,

22

由圖甲可知，片一廿一人（。一力）x2=5,gpa-2ab+b=5

a2+h2=5+2ab

由圖乙可知，(a+/?)2—4一〃=16,即ab=8,

?*-a2+b2=5+2?Z?=21

故答案為21.

【點評】本題綜合考查了完全平方公式的應(yīng)用，正方形的面積公式，重點掌握完全平方公式的應(yīng)用，難點

是巧用變形求解兩個正方形的面積和.

26.已知：3，"=2,9"=5,則33"廠2"=.

Q

【答案】-

【分析】先利用同底數(shù)累的除法運算法則以及基的乘方運算法則的逆運算將33-2n進(jìn)行變形，再將已知式

子的值代入即可得出結(jié)果.

【詳解】；3加=2,9"=32"=5,

.\33m'2n=(3m)3-?32n

=23+5

=8

-5,

Q

故答案為：

【點評】本題考查了同底數(shù)塞的除法運算法則以及累的乘方運算法則的逆運算，掌握基本運算法則是解題

的關(guān)鍵.

27.若10"=3，10〃=2，貝打。2"-"=.

9

［答案］一

2

【分析1根據(jù)同底數(shù)塞的除法和塞的乘方得出(10"『+10",代入求出即可.

【詳解】V10a=3,10b=2,

，[02j=[02a+]()b

=(10『10"

=32+2

=9

-2'

9

故答案為一.

2

【點評】本題考查同底數(shù)幕的除法和累的乘方的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于1(?和l()b的式子，用了整體代入

思想.

28.己知“」互為相反數(shù),以d互為倒數(shù)，且同=2,則4+〃+31而的值是.

【答案】-1

【分析】先得出a+b=O,cd=l,加2=4，再求解.

【詳解】a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)

a+b=O,cd=l

ImI=2

nr=4

原式=()2+3*l-4=-l

【點評】先根據(jù)題意尋找關(guān)系，列出等式，再求解.

29.已知a+b=2,則。2一82+48=.

【答案】4

【分析】分析：把4―/+4人=變形為(。一匕)(4+與+4。，代入。+。=2后，再變形為2(。+》)即可

求得最后結(jié)果.

【詳解】--a+b=2,

a1—b2+4b=(^a—b^a+b^+4b,

-2(a—b)+4b,

=2a—2b+4b,

=2(a+b),

=2x2>

=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式及其靈活變形.

30.若N—14X+?J2是完全平方式，則機(jī)=.

【答案】±7

【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點解答即可.

【詳解】解：..”2—14x+〃是完全平方式

,,.x2-14x+m2=x2-2-x-(±7)+(±7)2,

m=±7.

故答案為：±7.

【點評】本題主要考查了完全平方式的結(jié)構(gòu)特點，掌握在完全平方公式中確定平方項和乘積二倍項是解答

本題的關(guān)鍵.

三、解答題

31.把下列各式因式分解：

CDX2-9;

⑵a—2a1+tz3.

【答案】⑴(x+3)(x-3)；(2)a(j)2或a(a-l)2

【分析】(1)根據(jù)平方差公式分解因式，可得答案；

(2)先提公因式，然后套用完全平方公式分解因式，可得答案.

【詳解】(1)V-9=(x+3)(x-3)：

(2)a—2礦+/—ci{\—2a+a-)=a(l-°)一或a(a-1)~；

故答案為(x+3)(x-3)：a(l—a)?或〃(a—l)2.

【點評】本題考查了因式分解，一提，二套，三檢查，分解要徹底，考查了平方差公式和完全平方公式,

熟記不同乘法公式是解題的關(guān)鍵.

32.我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：可用圖1來解釋(“+〃)2=

a1+2ah+b1.

圖1

(1)請你寫出圖2所表示的代數(shù)恒等式；

(2)試在圖3的方框中畫出一個幾何圖形，使它的面積等于〃+4必+3按.

【答案】(1)(a+2b)(2a+b)=2理+5帥+2"：(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)大矩形面積等于各小圖形的面積和求解即可；

(2)將原式進(jìn)行因式分解，然后得到一邊長(。+6),另一邊長(a+3b),據(jù)此作出圖形即可.

【詳解】(1)圖2所表示的代數(shù)恒等式為(a+2b)(2a+h)=2a2+5ah+2h2；

(2)由題意得:a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b),所以得到下圖

ab

a2ababab

abb2

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何證明，因式分解的幾何應(yīng)用，根據(jù)面積相等寫出恒等式是本題的

關(guān)鍵.

33.因式分解：x2-4xy-3y2.

【答案】1+

【分析】將原式進(jìn)行變形，然后根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】x2-4xy-3y2

=x2-4xy+(2y)2-7y2

=(x-2y)2-7y2

=1-2y+77丁)1-2y-

【點評】本題考查了因式分解，題目的關(guān)鍵是掌握本部分的乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，并

且要熟記其常用變形方法.

34.先化簡，再求值：5a(3a2b+akr)-4a(-ab2+4a2b)-Qab)2,其中：a=—2,b=3.

【答案】原式=一。3萬，24

【分析】運用單項式乘以單項式及積的乘方法則進(jìn)行化簡后，代入數(shù)值即可..

【詳解】原式=15a3b+5a2b2+4a2b276a3b_9/〃

=—cc'b

當(dāng)a=—2,b=3時，原式二—(—2)3x3=24

【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的各運算法則是關(guān)鍵.

35.先化簡，再求值：［（x+y）2+（x+y）（x-y）］+2x,其中x=l,y=-l.

【答案】％+丁，原式=0.

【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式對括號內(nèi)的式子進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行整式的除法計算即可化

簡，然后代入求值.

【詳解】解原式=（x2+2u+/+x2-y2）+2x

=（2x2+2xy］-i-2x

-x+y

當(dāng)x=l,y=-l時，原式=0.

故答案為：原式=x+y,值為0.

【點評】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的利用，要先對原式進(jìn)行化簡，不要直接帶入求解，

熟記公式并能靈活運用是解題的關(guān)鍵.

36.觀察下列式子

1-l）+（x-l）=x+l；

（%，-1）+（X-1）—%2+X+1；

（%，-1）+（X—1）=X，+X2+X+1；

（X'-1）+（%—1）=%,+J++X+1；

（1）猜想：；（36-1）^（3-1）=；

（2）根據(jù)（1）所猜想的結(jié)論計算：1+2+22+23+24+25.

【答案】（1））V廿4在3卷2在+［；364；（2）63

【分析】(I)根據(jù)已知的式子即可求解；

(2)已知的式子的逆運算即可求解.

【詳解】(1)(》6—1)+(%—1)=X，+X，+1；

(36-1)-(3-1)=35+34+33+32+3+1=364；

(2)1+2+22+23+24+25=(26-1)4-(2-1)=26-1=63,

【點評】此題主要考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律.

37.先化簡，再求值：當(dāng)|2x_4|+Jx_y+l=0,求[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]+4x的

值

【答案】x-2y,-4

【分析】原式中括號中利用平方差公式，以及多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式除以單項式法則

計算得到最簡結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入計算即可求出值.

【詳解】原式=叵?-4/-(5x2+109-2“-4y2)]+4x

—(9x2-4y2-5x2—lOxy+2xy+4y24-4x

=(4x?—

由||2r_4|+“_y+I=0,得到2x-4=0,x-y+l=0,

解得：x=2,y=3,

則原式=2-6=-4.

【點評】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和整式的混合運算，掌握絕對值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及整式的混合

運算法則為解題關(guān)鍵.

38.先化簡，再求值:

[(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5/]+(2x),其中x=-2,y=g.

【答案】2y,I

【分析】先計算中括號內(nèi)的完全平方和與多項式乘多項式，然后合并同類項，再計算多項式除以單項式，

化為最簡后再代入字母的值進(jìn)行計算即可.

【詳解】[(X+2y)2-(x+y)(x-y)-5)2卜(2x)

=(x2+4xy+4y2-x2+y2-5y2)4-2A：

=4xy+2x

=2y,

當(dāng)y=L時，原式=2x』=i,

22

故原式=2y,求值結(jié)果為1.

【點評】本題考查了整式的混合運算一化簡求值，根據(jù)運算法則和運算順序?qū)⒄交癁樽詈喪墙鉀Q此題的

關(guān)鍵.

39.我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式.例如：由圖1可得到

(a+b)2=a2+2ab+b2.

(1)寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：,

(2)寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式：.

(3)已知實數(shù)“，b,c1滿足q+〃+c=l,a2+b2+c2=1.

①求ab+be+ca的值.

②求a3+b3+c3-3abc的值.

【答案1(1)(a+b+c)--ci~+b~+f-+2ab+2cle+2hc；(2)

(?-￡>-c)2=a2+b2+c2+2bc-2ab-lac；(3)①0；②1.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)表示出正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小

部分的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式；

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)表示出陰影正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式寫出等式的左邊，再用大正方形的面

積減去其他八小部分的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式；

(3)①根據(jù)(1)的結(jié)論變形為8c=(/+l+c)代數(shù)求值即可得解；

2

②在①的基礎(chǔ)上即可求得+03-3cibc=(a+Z?++Z?~+c?-ab-ac-b，的值.

【詳解】解：（1）?.?大正方形的邊長為a+h+c

大正方形的面積可表示為(a+人+工

.?,觀察圖形可知九小部分的面積和為a2+〃24-c2+ab-\-ab+ac+ac+bc+bc

—ci~+b~++2cib+2ac+2/？c

???由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：(q+)+="+/++2"+2〃c+勸c；

(2)???陰影正方形的邊長為。-力-c

???陰影正方形的面積為(Q—b—C)2

???陰影正方形的面積還以表示為大正方形的面積減去其他八小部分的面積：

a2——a?！?/7c-2Z?(a—h—c)—2c(a—h—c)=a~++c2+2Z?c—2ab—2cic

???由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式：(。一b一c)2=儲+/+。2+22ab-2ac；

(3)①：由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：(a+Z?+c)2=a2+h2+c2+2ab+lac+2bc

2ab+2ac+2bc=(<2+Z?+c)2-(^a2+b2+c2j

2

.(Q+O+C)2-(a+/+(72)

■■a/7+ac+be=-----------------------

2

,:a+b+c=1,片+護(hù)+。2=i

ab+ac+bc=+-)=llzl=o，即而+be+ca=0；

22

②a+Z?+C=1,Q2+人2+/=1

3

/.a++d—3。6c=(〃+/?+C)(Q2+Z?2+C2-ab-ac-bc^=Ix(l-O)=1.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景、項式乘多項式、因式分解的應(yīng)用，利用面積法列出等式是

解題的關(guān)鍵.

40.(1)若4a+36=3,求92tl?27b.

(2)已知3x9，"x27，"=32i,求m的值

【答案】(1)27；(2)4

【分析】(1)根據(jù)幕的乘方以及同底數(shù)幕的乘法法則解答即可；

(2)根據(jù)嘉的乘方以及同底數(shù)基的乘法法則解答即可.

【詳解】解：⑴?；4a+3b=3,

二92a?27〃=34。?33〃=33=27；

(2)V3x9mx27m=3x32mx33m=3l+2m+3m=321,

\+2m+3m=2\,

解得m—4.

【點評】考查事的乘方，以及同底數(shù)塞的乘法，掌握運用即可，本題屬于典型題，也易錯.

41.先化簡，再求值：

2ab2-[3a2b-2(3a2b—-1)]其中〃力滿足(a+1『+一2|=0.

【答案】4

【分析】先化簡，再求值。

【詳解】由(。+1『+b一2|=0.得a=-l,b=2

原式=2ab2-(-3a2b+2ab~+2)

=3a2b-2

把a,b代入得原式=4

【點評】(a+lp+Q—2|=0.得a=-l,b=2是本題的關(guān)鍵。

12c41c2

42.先化筒，再求值—x—2(x—y~)+(———y),其中x=--,y=2.

35353

【答案】-3x+)2-y,原式=4.

【分析】多項式中含有二次多項式，一次多項式，要化為最簡式，先去括號，再把同類多項式合并，得到

最簡式.

1441

【詳解】原式=-2x+yy2-yx+—y2-y=-3%+y2-y,

2

當(dāng)x=-§,y=2時，原式=2+4-2=4.

【點評】考察合并同類項的多項式.

43.做大小兩個長方體紙盒，尺寸如下(單位：cm)

長寬

小紙盒ahC

大紙盒4a2.5b2c

(1)做這兩個紙盒共用料多少平方厘來？

(2)做大紙盒比做小紙盒多用料多少平方厘米？

(3)若。=6,b=5,c=3,則大紙盒的體積是多少。*3?

【答案】(1)做這兩個紙盒共用料為22浦+12兒+18ac；(2)做大紙盒比做小紙盒多用料(單位：cm2)為

1Sab+8bc+14ac；(3)V=1800cm3.

【分析】(1)此題考察和長方體的表面積公式s=2岫+2bc+2ac,

(2)題目已知長方體的長寬高，按照公式計算表面積即可,

(3)長方體的體積公式v=a*b*c.

【詳解】(1)做這兩個紙盒共用料(單位：cm2)(2ab+2bc+2ac)+(20ab+16ac+lObc),

=2ab+2bc+2ac-^20cib+16〃c+1Obc,

=22ab+12bc+\Sac；

(2)做大紙盒比做小紙盒多用料(單位：c/),

(20ab+16ac+1Obc)-{2ab+2bc+2ac)

=20ab+1Obc+16ac-lab-2bc-2ac

=18ab+8bc+14〃c；

(3)大紙盒的體積V=4ax2.5bx2c=20abcf

當(dāng)。=6,b=5,c=3時V=20x6x5x3=1800。63.

【點評】長方體表面積公式：S=2ab+2bc+2ac

長方體體積公式：V=ab-c

44.小文想用一張長方形白鐵皮做一個長方體無蓋盒子，她采取了如下圖所示的一個方案(陰影部分是被

剪掉的材料，形狀為四個相同的正方形).

(1)這塊白鐵皮的總面積是多少？

(2)這個長方體盒子的表面積是多少？

(3)這個長方體盒子的體積是多少？

【答案】(1)6a2b2；(2)5a2b2；(3)a3b3.

【解析】【分析】(1)結(jié)合圖形確定長方形的長和寬，再根據(jù)矩形的面積公式列出算式，計算可得；

(2)長方形盒子的表面積=大長方形的面積-四個小正方形的面積，據(jù)此列出算式，再根據(jù)整式的混合運

算順序和運算法則計算可得；

(3)結(jié)合圖形確定盒子的長、寬、高，根據(jù)題意公式列出算式，再進(jìn)一步計算可得.

【詳解】解：(1)這張白鐵皮的面積為3ab(ab+2x—ab)=3abx2ab=6a2b2；

2

(2)這個長方體盒子的表面積是6a2b2-4x(—ab)2=6a2b2-a2b2=5a2b2；

2

(3)這個長方體盒子的體積是(3ab-2x,ab)?ab?Lab

22

1

=2ab?ab,—ab

2

=a3b3.

【點評】本題主要考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形列出面積、體積的代數(shù)式，并熟練掌握整

式的混合運算順序和運算法則.

45.甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+mx+n,甲看錯了n,分解的結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了m,分解結(jié)

果為(x+l)(x+9),試分析一下m,n的值，并寫出正確的分解結(jié)果.

【答案】m=6,n=9,正確結(jié)果是(x+3>.

【解析】【分析】根據(jù)題意可得出如〃的值，代入再進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】?/(x+2)(x+4)=N+6X+8,甲看錯了〃,：.m=6.

(x+1)(x+9)=A2+10X+9,乙看錯了m,/.n=9；

x2+mx+n=x2+6x+9=(x+3)2.

【點評】本題考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、運用公式法、因式分解法(十字相乘)

是解題的關(guān)鍵.

46.先化簡后求值：(x-3)2-x(x-4)+(x+3)(x-3),其中無=一］

【答案】3

【分析】根據(jù)完全平方公式、單項式乘多項式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x=-1代入

化簡后的式子即可解答本題.

【詳解】解：原式=N—6x+9—/+4]+/—9=N—2%

將廣一1代入

原式=(-1)2-2X(-1)=3

【點評】掌握完全平方公式、單項式乘多項式、平方差公式、合并同類項是解答本題的關(guān)鍵.

47.定義：對于一個數(shù)x,我們把㈤稱作x的相伴數(shù)；若於0,則[x]=x-l；若x<0,則[x]=x+l.例：[0.5]=-0.5.

(1)求(]、[T]的值：

(2)當(dāng)a>0,b<0,有同=|7>]+1,試求代數(shù)式僅一。)3一3〃+3/7的值；

(3)解方程：區(qū)+[x+2]=-l.

【答案】(1)—,0；(2)-36；(3)X=~'—或*=一.

222

【分析】(1)根據(jù)題目給出的相伴數(shù)的定義即可求解；

(2)由相伴數(shù)的定義化簡原式，可得6-a=-3,然后代入代數(shù)式運算即可；

(3)分三種情況討論列出方程、化簡方程并解方程即可.

331

【詳解】解：(1)[—]=--1=5，[-1]=-1+1=0；

222

(2)根據(jù)題意得，a-l=Z>+2,則2-a=-3,

代數(shù)式(b-a)3-3a+3b=(b-a)3+3(b-a)=-27-9=-36；

3

(3)當(dāng)xVO,x+2V0時，即尤<一2時，方程為x+l+x+2+l=l,解得x=-一(不符合題意，舍去);

2

當(dāng)x<0,x+220時，即一2Wx<0時，則方程為尤+1+%+2—1=1,解得尤=-,；

2

當(dāng)工之0,不存在x+2<0；

當(dāng)尤20,x+220時，即了之0時，則方程為x-l+x+2T=l,解得尸,：

2

綜上所述，尸-,或尤=」.

22

【點評】本題考查了相伴數(shù)的定義、代數(shù)式求值以及解一元一次方程，理解相伴數(shù)概念化以及化簡代數(shù)式

是解答本題的關(guān)鍵.注意未知數(shù)的分類討論.

48.“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁為簡，巧妙解題.請閱讀并

解決下列問題：

問題一：(x+y-zXx-y+z)=(A+B)(A-B),

(1)則A=,B=；

(2)計算：(2〃—A+3乂2〃—3+。)；

問題二：已知f+y2=(x+y)2-P=(x-y)2+Q,

(1)貝！1尸=>Q―；

(2)已知長和寬分別為。，〃的長方形，它的周長為14,面積為10,如圖所示，求Y+/+ab的值.

b

a

【答案】問題一：⑴x,V-z；⑵4/+63.9；問題二：(1)2xy,2xy,(2)c^+^+ab

的值為39.

【分析】問題一：(1)根據(jù)平方差公式即可得；

(2)先利用(1)的方法，構(gòu)造平方差公式的形式計算，再利用完全平方公式計算即可得;

問題二：(1)根據(jù)完全平方公式即可得；

(2)先根據(jù)長方形的周長和面積得出關(guān)于a、b的兩個等式，再利用(1)的方法化簡所求式子，然后代

入求解即可得.

【詳解】問題一:(1)(x+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B)

可變形為：[x+(y-z)][尤一(y-z)]=(A+8)(A-B)

則4=%,B—y—z

故答案為：x,y—；

(2)(2a-/>+3)(2a-3+A)

=[2a-0-3)][2a+0-3)]

=4/-(匕-3)2

=4a2-(b2-6b+9)

=4/一/+68一9；

問題二：(1)(x+y)2=x2+2xy+y2

:.x2+y2=(x+y)~-2xy

則P-2xy

(x-y)2=x2-2xy+y2

x2+/=(x+y)-+2xy

則Q=2xy

故答案為：2xy,2xy；

2(。+。)=14

(2)由題意得:

ab=10

a+b-7

整理得:

ab-\0

則a