專題2.4 勾股定理的應用（壓軸題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題2.4勾股定理的應用【典例1】吳老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路徑長．（1）如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿正方體表面爬到點C1處；（2）如圖2，長方體底面是邊長為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長方體底面上的點A沿長方體表而爬到點C1處；（3）如圖3，是一個底面周長為10cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻欲從圓柱體底面上的點A沿圓柱體側面爬到點C處．【思路點撥】（1）根據(jù)正方體的側面展開圖，利用勾股定理求出AC1的長即可得答案；（2）分橫向展開和豎向展開兩種情況，分別利用勾股定理求出AC1的長，比較即可得答案；（3）畫出圓柱側面展開圖，利用勾股定理求出AC的長即可得答案．【解題過程】（1）正方體的側面展開圖如圖所示：AC1為螞蟻需要爬行的最短路徑長，∵正方體的棱長為5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1=AC2+C∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為55cm（2）分兩種情況：①如圖，當橫向展開時：AC=10，CC1=6，∴AC1=AC2+C②如圖，當豎向展開時：AD=11，DC1=5，∴AC1=AD2+D∵234＜146∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為234cm（3）圓柱側面展開圖如圖所示：∵圓柱底面周長為10cm，高為5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC=AB2+BC∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為52cm1．（2023春·八年級課時練習）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【思路點撥】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．【解題過程】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴AC∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC=AB2-BC∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴CE∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC=DE2-CD∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故選：A．2．（2023春·八年級課時練習）如圖，高速公路上有A,B兩點相距10?km，C,D為兩村莊，已知DA=4?km，CB=6?km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C,D兩村莊到E站的距離相等，則EB的長是(A．4?km B．5?km C．6?km D．20?km【思路點撥】根據(jù)題意設出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解題過程】解：設BE=xkm，則AE=(10-x)km，在RtDE在RtCE由題意可知：DE=CE，∴62解得：x=4．所以，EB=4km．故選：A3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上且離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（

）A．25 B．529 C．105+5 D．【思路點撥】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解題過程】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=B只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=B只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=A∵25＜529＜5∴螞蟻爬行的最短距離是25，故選：A．4．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．動點P滿足S△PAB＝13S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為（A．29 B．34 C．41 D．52【思路點撥】首先由SΔPAB=13S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則【解題過程】解：設ΔABP中AB邊上的高是h∵S∴12∴h=2∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在RtΔABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=A即PA+PB的最小值為41．故選：C．5．（2023春·八年級課時練習）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是___米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是____秒．【思路點撥】作AD⊥ON于D，求出AD的長即可解決問題，如圖以A為圓心50m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點，求出BC的長，利用時間=路程【解題過程】解：作AD⊥ON于D，∵∠MON=30°，AO=160m，∴AD=12即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離80m．如圖以A為圓心100m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，BD=A∴BC=120m，∵重型運輸卡車的速度為36千米/時=10米/秒，∴重型運輸卡車經(jīng)過BC的時間=120÷10=12（秒)，故卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒．故答案為：80，12．6．（2023春·八年級課時練習）如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向上，AD⊥BC于點D，則AD的長為______海里．【思路點撥】如圖，Rt△ACD和Rt△ABD有公共邊AD，在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用AD表示出CD與BD，根據(jù)BD=BC+CD即可列方程，從而求得AD的長．【解題過程】解：由題意可得∠ABD=30°，∠ACD=60°∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=100海里．在Rt△ACD中，設CD=x海里，則AC=2x海里，AD=A在Rt△ABD中，AB=2AD=23x，又∵BD=BC+CD,∴3x=100+x，解得：x=50，∴AD=3故答案為：507．（2023秋·河南南陽·八年級校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=4cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以1厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t【思路點撥】求出當△ADB是等腰三角形時BD的長，用其除以點D運動的速度即可，注意分情況討論．【解題過程】解：分三種情況如下圖1所示，當AD=DB時．∵BC=8，∴CD=8-BD又AC=4在RT△ACD中，由勾股定理得4解得BD=5除以點D運動的速度得所用時間t為5秒；如下圖2所示，當AB=DB時．由勾股定理得DB=AB=AC除以點D運動的速度得t為45如下圖3所示，當AD=AB時．∵AC⊥BC∴CD=BC=8∴BD=16除以點D運動的速度得t為16秒．綜上所述，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，D所用時間t為5秒、45秒或16故答案為：5、45或168．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，垂足為D，已知BD=1,?AD=CD=2,?BC上方有一動點P，且點P到A,D兩點的距離相等，則【思路點撥】取AD的中點H，作HF//BC，作B關于HF的對稱點E，連接CE與直線FH交于P，點P即為所求，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【解題過程】解：∵P到AD兩點的距離相同，∴P在線段AD的垂直平分線上，取AD的中點H，作HF//BC，作B關于HF的對稱點E，連接CE與直線FH交于P，點P即為所求∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP∵要使△BCP的周長最小，∴BP+CP最小，即為CE長，又∵EF//BC，∠ADC=90°∴∠FHD=∠HDB=90°∴四邊形BDHF是矩形，∴BF=DH=EF=12AD=1，∠FBD∴BE=2∵CE=BC∴CE=13△BCP的周長最小值=BC+BP+CP=3+故答案為：3+139．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF、CF，則DF+CF的最小值等于______．【思路點撥】連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，通過證明△AED≌△GFE，確定點F在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定點C'在AB的延長線上，當D，F(xiàn)，C'三點共線時，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=1，AC'=2【解題過程】解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，如圖，∵將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，∴EF⊥DE，EF=DE，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，∠A=∠FGE∠EDA=∠FEG∴△AED≌△GFE(AAS)，∴FG=AE，∴點F在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點C'∵EG=DA，F(xiàn)G=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC'的角平分線，即點F在∴點C'在AB當D，F(xiàn)，C'三點共線時，DF+CF=DC在Rt△ADC'中，AD=1，AC'∴DC故答案為：5．10．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學校?？既＃┠痴n題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為___________；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值___________；（3）代數(shù)應用：求代數(shù)式x2+1+【思路點撥】（1）作點B關于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P，連接AB'，根據(jù)軸對稱的性質可得AB=AB'=AC2+BC2=22，PB=PB（2）作點B關于AC的對稱點B'，過點B'作B'N⊥AB于點N，交AC于點M，連接BB'交AC于點O，根據(jù)BM=B'M可知BM+MN=B'M+MN=（3）根據(jù)題意，構造兩個直角三角形，斜邊分別等于x2+1和【解題過程】（1）解：如圖，作點B關于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點∵點B和點B'關于AC∴AB=AB'=AC2+BC2=22，PB∴在△ABB'中，∠BA∵點E為AB中點，∴AE=12∴EB∵PB=PB∴PB+PE=PB'+PE=故答案為：10．（2）作點B關于AC的對稱點B'，過點B'作B'N⊥AB于點N，交AC于點M，連接BB根據(jù)軸對稱的性質可知，BB'⊥∵AB=2，∠BAC=30°，∠AOB=90°，∴BO=12AB=1，∠NB∴BB'=2BO在Rt△NBB'中，∠NB∴∠B'=30°∴NB=12∴B'∵BM=B'∴BM+MN=B'M+MN=故答案為：3．（3）如圖，構造圖形，點P是AB邊上一點，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作點C關于AB的對稱點C'，連接C'D交AB于點P，延長DB，過點C'作C'根據(jù)軸對稱的性質可知，AC=AC'=1，CP=∵AB=4，AC'∴C'O=4，BO=A∴DO=3，在Rt△C'OD中，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴C'P=A∵CP+DP=C'P+DP=C∴x2+1+故答案為：5．11．（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【思路點撥】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結果．【解題過程】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝12AB?CH＝12AC?BC∴CH＝AC?BCAB=160×120∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為a千米，a2=13，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，（1）在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）（2）經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．【思路點撥】（1）作點A關于直線CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于M（2）連接A'A交CD于H點，過點B作PB⊥AH，根據(jù)勾股定理求出BP，【解題過程】（1）解：如圖，作點A關于直線CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于M點，即（2）解：如圖，連接A'A交CD于H點，過點B作PB⊥AH由題意可知：AH=A'H=1km，∴PA=PH-AH=2km，∴在Rt△APB中，BP=∴在Rt△A'由對稱性質可知：AM=A水管長AM+BM=A完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為30+5×3+5=50（萬元）13．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）若BA為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？【思路點撥】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的長度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，則∠CAD=90°，即可得到答案；（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關于DE的對稱點F，連接DF，由軸對稱的性質，得到DF=DA=100，則只要求出AF的長度，即可得到答案.【解題過程】解：（1）∵AB=BC=AD=100，∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=1002+∵CD=1003在△ACD中，有AD∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°；（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關于DE的對稱點F，連接DF，如圖：由軸對稱的性質，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有AE解得：AE=502∴AF=1002∴被監(jiān)控到的道路長度為1002米14．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級?？茧A段練習）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），然后在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處，AB=22+12=5，BC=10，（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：______．（2）思維拓展：若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17aa>0，請利用圖②（3）探索創(chuàng)新：若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2（4）直接寫出當x為何值時，函數(shù)y=x【思路點撥】（1）S△ABC（2）根據(jù)AB=5a=(2a)2+（3）設小矩形的長為m，寬為n，根據(jù)題意，AB=m2+16n2（4）求函數(shù)y=x2+9+12-x2+4有最小值，即y=函數(shù)y=x2+9【解題過程】（1）根據(jù)題意得：S=72故答案為：72（2）根據(jù)題意得：AB=5a=(2a)2+根據(jù)題意：S=8=3a（3）設小矩形的長為m，寬為n，根據(jù)題意，AB=m2+16n2畫圖如下：根據(jù)題意：S=5mn．（4）函數(shù)y=x2+9+12-x2+4有最小值，即y=x-02+0-32+當x為7.2時，函數(shù)y=x2+915．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，一條河流的BD段長為12km，在B點的正北方4km處有一村莊A，在D點的正南方2km處有一村莊E，計劃在BD上建一座橋C，使得橋C到A村和E村的距離和最?。埜鶕?jù)以上信息，回答下列問題：（1）將橋C建在何處時，可以使得橋C到A村和E村的距離和最小？請在圖中畫出此時C點的位置；（2）小明發(fā)現(xiàn)：設BC=x，則CD=12-x，則AC+CE=x2+（3）結合（1）（2）問，請直接寫出下列代數(shù)式的最小值：①x2+9+②2x-22【思路點撥】（1）直接根據(jù)兩點之間線段最短，連接AE，交BD于點C即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出BC的長度，根據(jù)勾股定理求出AE即為最小值；（3）①根據(jù)題意可知x2+9+②將2x-22【解題過程】（1）解：如圖，點C即為所作：；（2）過點A作AJ⊥ED，交ED與點則JE=DJ+∴AC設BC'為x，則則12即12解得x=8∴AC+CE=x2故答案為：8；65（3）①x2+9+故答案為：25；②2=(2x-4)故答案為：31316．（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考期末）在我市某海域內(nèi)有三個港口P、Q、M．港口M在港口P北偏東60°方向上，港口Q在港口P北偏西60°方向上．一艘船以每小時20海里的速度沿北偏東30°的方向駛離P港口5小時后到達H點位置處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每小時36噸的速度滲入船內(nèi)．當船艙滲入的海水總量超過100噸時，船將沉入海中．同時在H處測得港口M在H處的南偏東75°（1）此船在H處距離哪個港口最近？為什么？（2）此船在H處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？?，才能保證船在抵達港口前不會沉沒？并指出此時船的航行方向．【思路點撥】（1）連接HQ、HM，過點H作HA⊥PM于點A，分別求得（2）設由H駛向港口M，該船的速度為每小時x海里，根據(jù)題意列出不等式，求解即可獲得答案．【解題過程】（1）解：連接HQ、HM，過點H作HA⊥PM于點根據(jù)題意，可得∠QPB=60°,∠HPB=30°,∠MPB=60°，∴∠HPQ=∠QPB+∠HPB=90°，∠HPM=∠MPB-∠HPB=30°，∵PB∥∴∠PHC=∠HPB=30°，∵該船以每小時20海里的速度沿北偏東30°的方向駛離P港口5小時后到達H點位置處，∴PH=20×5=100（海里），∵HA⊥PM，∴AH=1∵在H處測得港口M在H處的南偏東75°方向上，即∠MHC=75°，∴∠M=180°-∠HPM-(∠PHC+∠MHC)=45°，∴∠MHA=90°-∠M=45°，∴∠M=∠MHA，∴AH=AM=50（海里），∴在Rt△AHM中，HM=∴HM<PH，∵△PQH為直角三角形，∠HPQ=90°，∴HQ>PH，綜上所述，港口M離H點位置最近，為502（2）設由H駛向港口M，該船的速度為每小時x海里，則根據(jù)題意，可有502解該不等式，可得x≥102答：該船應以速度至少為102海里/時，才能保證船在抵達港口前不會沉沒．船的航行方向為南偏東75°17．（2023春·全國·八年級專題練習）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．【知識運用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為米．（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，現(xiàn)要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖中作出P點的位置并求出AP的距離．（3）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式x2+25+(9-x)2【思路點撥】（1）連接CD，作CE⊥AD于點E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到AD∥BC，AB∥CE，由平行線間的距離處處相等可得BC=AE=16千米，CE=AB=40千米，求出（2）連接CD，作CD的垂直平分線交AB于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得PC=PD，點P即為所求；設AP=x千米，則BP=40-x千米，分別在Rt△ADP和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出PD2（3）如圖3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=7，AB=9，BC=5，設BP=x，則PC+PD=x【解題過程】（1）解：如圖1，連接CD，作CE⊥AD于點E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴BC=AE=16千米，CE=AB=40千米，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD=D即兩個村莊的距離為41千米，故答案為：41；（2）解：如圖2，連接CD，作CD的垂直平分線交AB于P，點P即為所求，設AP=x千米，則BP=40-x在Rt△ADP中，P在Rt△BPC中，P∵PC=PD，∴x2解得x=16，即AP的距離為16千米；（3）解：如圖3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=7，AB=9，BC=5，設BP=x，則PC+PD=x作點C關于AB的對稱點F，連接DF，過點F作FE⊥DA于E，則DF是PC+PD的最小值，即代數(shù)式x2∵AE=BF=5，EF=AB=9，DE=DA+AE=7+5=12，∴代數(shù)式x2+25+故答案為：15．18．（2022秋·江蘇·八年級期末）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長為2cm，A是正方體的頂點，P為棱BC的中點．螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑的長為cm（結果保留根號）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．圖③所示的四棱錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑，并求出它的長（結果保留根號）．（3）圖④中的幾何體是由底面相同的正方體和四棱錐組成．正方體的棱長為acm，M是正方體的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，O是四棱錐的頂點，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．正方體的側面展開圖如圖⑤所示，在圖中畫出螞蟻從點M爬行到點P的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的思路．【思路點撥】（1）畫出正方體的側面展開圖，連結AP，由兩點之間線段最短可知線段AP的長為螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑