專題3.11 勾股定理的簡單應用（分層練習）（提升篇）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題3.11勾股定理的簡單應用（分層練習）（提升篇）一、單選題1．一架長的梯子斜靠在墻上，梯子底端到墻的距離為．若梯子頂端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑動了（

）A． B．小于 C．大于 D．無法確定2．小剛想測量教學樓的高度，他用一根繩子從樓頂垂下，發(fā)現(xiàn)繩子垂到地面后還多了，當他把繩子的下端拉開后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，則教學樓的高度是（）A． B． C． D．3．兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm4．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠，則折斷處離地面的高度為（

）A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺5．將一根長25cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的取值范圍是（

）A．0≤h≤13 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．13≤h≤256．一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處，若M、N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°7．為了求出湖兩岸的A、B兩點之間的距離，一個觀測者在點C設樁，使三角形ABC恰好為直角三角形．如圖，通過測量，得到AC長160m，BC長128m，則從點A穿過湖到點B的距離是(

)A．48m B．90m C．96m D．69m8．如圖所示：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m9．如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，∠QON＝30°．公路PQ上A處距O點240米．如果火車行駛時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間為（）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．10．圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（

）A．10 B．28 C．20 D．24二、填空題11．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的是樣子離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動，將梯子斜塞在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全道的寬BE為__________m．12．如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛___米．13．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高__米．14．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為_______．15．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的最小值__，h的最大值__．16．如圖，有三條兩兩相交的公路，從地測得公路的走向是北偏東48°，從地測得公路的走向是北偏西42°，若、、的長分別為12千米，5千米、13千米．如果點是公路上任意一點，則線段的最小值為________________.17．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，則該河流的寬度為_______m.18．如圖，矩形中，，，點、分別、邊上的點，且，點為的中點，點為上一動點，則的最小值為______．三、解答題19．“三農(nóng)”問題是關系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設美麗中國的關鍵舉措．如圖，公路上兩點相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)品市場，使得兩村莊到市場的距離相等，則市場應建在距多少千米處?并判斷此時的形狀，請說明理由．20．如圖，在傾斜角為（即）的山坡上有一棵樹，由于大風，該樹從點E處折斷，其樹頂B恰好落在另一棵樹的根部C處，已知，．(1)求這兩棵樹的水平距離；(2)求樹的高度．21．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，則A城遭受這次臺風影響有多長時間？22．某城市規(guī)定小汽車在街道上的行駛速度不得超過70千米/時，一輛小汽車在一條城市街道上直行，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方30米C處，過了2秒后，測得小汽車位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．23．如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．24．太原的五一廣場視野開闊，是一處設計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度．(2)過點D作，垂足為H，求的長度．參考答案1．A【分析】根據(jù)題意作圖，利用勾股定理即可求解．解：根據(jù)題意作圖如下，由題意知，，，，，，，梯子底端在水平方向上滑動的距離是．故選A．【點撥】本題主要考查勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)題意作圖分析求解．2．D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理列式計算即可．解：如圖，為教學樓的高度，為繩子的長度，則，，∵，∴根據(jù)勾股定理得，∴，解得：，即教學樓的高度為8米．故選：D．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意，畫出簡圖是解題關鍵．3．D【分析】畫出圖形，利用勾股定理即可求解．解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【點撥】本題考查了勾股定理的應用，理解題意，畫出圖形是解題的關鍵．4．B【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10?x）尺，利用勾股定理解題即可．解：設竹子折斷處離地面的高度為尺，則斜邊長為尺．根據(jù)勾股定理，得，解得，∴折斷處離地面的高度為4.2尺．故選B．【點撥】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．5．B【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子長度的取值范圍得出杯子外面筷子長度的取值范圍，即可得出答案．解：∵將一根長為25cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于以杯子高和底面直徑為直角邊的直角三角形的斜邊長度，∴當杯子中筷子最短是等于杯子的高時長度為12cm，最長時等于以杯子高和底面直徑為直角邊的直角三角形的斜邊長度是：，∴h的取值范圍是：25?13?h?25?12，即12?h?13，故選：B．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關鍵．6．C解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故選C．【點撥】本題考查直角三角形的判定，掌握方位角的定義及勾股定理逆定理是本題的解題關鍵．7．C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴AB2=AC2-BC2，=1602-1282=9216，∴AB=96（m），故選C．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．8．C解：樓梯豎面高度之和等于BC的長，橫面寬度之和等于AB的長．由于，所以至少需要地毯長4＋3＝7（m）．故選C9．B【分析】過點A作AC⊥ON，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長與200m相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過點A作AD=AB=200m，求出BD的長即可得出居民樓受噪音影響的時間．解：如圖：過點A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，當火車到B點時對A處產(chǎn)生噪音影響，此時AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小時=20米/秒，∴影響時間應是：320÷20=16秒．故選B．【點撥】本題考查勾股定理、點與圓的位置關系，根據(jù)火車行駛的方向，速度，以及它在以A為圓心，200米為半徑的圓內(nèi)行駛的BD的弦長，求出對A處產(chǎn)生噪音的時間，解題關鍵是根據(jù)勾股定理求BD的長.．10．C解：分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．詳解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=(cm)．故選：C．點睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識．將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出A關于EF的對稱點A′是解題的關鍵．11．2.7【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出AB的長，進而可得出結(jié)論．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案為2.7．【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．12．13【分析】如圖，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．解：如圖所示，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，，則小鳥至少要飛13米．故答案為：13．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是從實際問題中構(gòu)建出數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識，然后利用直角三角形的性質(zhì)解題．13．15解：試題解析：如圖，設樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．故這棵樹高15m．【點撥】根據(jù)兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，將兩只猴子所走的路程表示出來，根據(jù)勾股定理列出方程求解．14．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．解：如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，則尺，尺，在中，，即．故答案為：．【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖，領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．15．11cm12cm【分析】根據(jù)筷子的擺放方式得到：當筷子與杯底垂直時h最大，當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，利用勾股定理計算即可．解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，此時，在杯子內(nèi)的長度==13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范圍是11≤h≤12cm．故答案為：11cm；12cm．【點撥】此題考查勾股定理的實際應用，正確理解題意、掌握勾股定理的計算公式是解題的關鍵．16．【分析】過B作BD⊥AC于D，依據(jù)∠ABC=90°，可得Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，進而得出BD=，代入數(shù)值求解即可．解：如圖，過B作BD⊥AC于D，由題可得，AE∥BF，∠BAE=48°，∠CBF=42°，∴∠ABC=180°-48°-42°=90°，∴Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，∴BD==，即線段BP的最小值為，故答案為．【點撥】此題是一道方向角問題，結(jié)合生活中的實際問題，將解三角形的相關知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想．17．480解：分析：本題考查的是利用勾股定理求出直角邊的長.解析：根據(jù)題意，故答案為480.18．4【分析】因為，點為的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出，所以是以為圓心，以為半徑的圓弧上的點，作關于的對稱點，連接，交于，交以為圓心，以為半徑的圓于，此時的值最小，最小值為的長；根據(jù)勾股定理求得，即可求得，從而得出的最小值；解：，點為的中點，，是以為圓心，以為半徑的圓弧上的點，作關于的對稱點，連接，交于，交以為圓心，以為半徑的圓于，此時的值最小，最小值為的長；，，，，，；的最小值為；故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱最短路線問題，判斷出點的位置是解題的關鍵．19．市場應建在距的20千米處；是等腰直角三角形，理由見分析．【分析】可以設，則，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，根據(jù)可以求得x的值，即可求得的值．解：設，則，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市場應建在距的20千米處；，，在和中，可得，∴，又，∴，∴又，是等腰直角三角形．【點撥】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用，本題中根據(jù)和求x的值是解題的關鍵．20．(1)3m；(2)6m【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，證得，根據(jù)勾股定理即可求得．（2）在中，根據(jù)勾股定理即可解得．解：（1）由題可知，

∴，∴

在中，，∴，∴（m）．即這兩棵樹的水平距離為3m．（2）在中，

∴，∴（m）．即樹的高度為6m．【點撥】此題考查了勾股定理，解題的關鍵是熟悉勾股定理的實際應用．21．(1)要，理由見分析；(2)【分析】（1）由A點向作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得的長，與200比較即可得結(jié)論；（2）上分別取D、G，則是等腰三角形，由，則C是的中點，在中，解出的長，則可求長，在長的范圍內(nèi)都是受臺風影響，再根據(jù)速度與距離的關系則可求時間．（1）解：由A點向作垂線，垂足為C，在中，，，則，因為，所以A城要受臺風影響；（2）設