專題5.1 平行線的判定【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題5.1平行線的判定【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 1【題型2平行、垂直】 2【題型3平行公理及其推論】 4【題型4同位角相等，兩直線平行】 5【題型5內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 6【題型6同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 7【題型7平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 8【題型8角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 9【題型9平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 11【題型1對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期中）下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A． B．C． D．【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽(yáng)夏華僑中學(xué)七年級(jí)期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB(1)圖中的對(duì)頂角有對(duì)，它們是．(2)圖中互補(bǔ)的角有對(duì)，它們是．(3)求∠EOD的度數(shù)．【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？【題型2平行、垂直】【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4C．點(diǎn)C到AB的距離等于4D．點(diǎn)B到AC的距離等于3【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,bB．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥cD．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．垂直同一條直線的兩條直線平行D．垂線段最短【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____．【知識(shí)點(diǎn)平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型3平行公理及其推論】【例3】（2022·江西上饒·七年級(jí)期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（

）A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d D【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（

）A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab，bc，則ac；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF與AB平行嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．解：因?yàn)樗訽___________∥___________．（

）又因?yàn)锳B∥所以AB∥EF．（【題型4同位角相等，兩直線平行】【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號(hào)中填上理由．因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2()，所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2()，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請(qǐng)說(shuō)明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？【變式4-3】（2022·北京東城·七年級(jí)期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1-∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型5內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級(jí)期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說(shuō)明AD∥BC【題型6同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【例6】（2022·河北衡水·七年級(jí)階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．下面是小穎同學(xué)的思考過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程并在括號(hào)內(nèi)填上證明依據(jù)．證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴③（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．【題型7平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】【例7】（2022·廣西賀州·七年級(jí)期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥lA． B． C． D．【變式7-3】（2022·山東日照·七年級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【題型8角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】【例8】（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴AB∥CD（【變式8-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12______（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12______（∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1=12因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2=12得∠1=∠2(等量代換)，所以______(______)．【題型9平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為()A．65° B．85° C．95° D．115°【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（）A．如圖1，展開后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測(cè)得∠1+∠2=180°【變式9-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與