專題4.1 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)【九大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題4.1函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1常量與變量的確定】 1【題型2函數(shù)的概念】 2【題型3用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖像】 3【題型4自變量取值范圍的確定】 6【題型5函數(shù)的解析式的確定】 6【題型7函數(shù)圖像的識(shí)別】 8【題型8從函數(shù)的圖像獲取信息】 10【題型9動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象】 12【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念】一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。注意：要判斷一個(gè)關(guān)系式是不是函數(shù)，首先看這個(gè)變化過(guò)程中是否只有兩個(gè)變量，其次看每一個(gè)x的值是否對(duì)應(yīng)唯一確定的y值．【知識(shí)點(diǎn)2求函數(shù)的值】(1)當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；函數(shù)值是唯一的，而對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè)．(2)函數(shù)表達(dá)式中只有兩個(gè)變量，給定一個(gè)變量的值，將其代入函數(shù)表達(dá)式即可求另一個(gè)變量的值，即給自變量的值可求函數(shù)值，給函數(shù)值可求自變量的值．【題型1常量與變量的確定】【例1】（2022春?婁星區(qū)期末）下列說(shuō)法不正確的是（）A．正方形面積公式S＝a2中有兩個(gè)變量：S，a B．圓的面積公式S＝πr2中的π是常量 C．在一個(gè)關(guān)系式中，用字母表示的量可能不是變量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【變式1-1】（2022春?鄠邑區(qū)期末）大家知道，冰層越厚，所承受的壓力越大，這其中自變量是，因變量是．【變式1-2】（2022春?硯山縣校級(jí)期中）某水果店賣(mài)出的香蕉數(shù)量（千克）與售價(jià)（元）之間的關(guān)系如表：數(shù)量（千克）0.511.522.533.5…售價(jià)（元）1.534.567.5910.5…上表反映了個(gè)變量之間的關(guān)系，其中，自變量是；因變量是．【變式1-3】（2022?莘縣校級(jí)月考）某電信公司提供了一種移動(dòng)通訊服務(wù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，如下表：項(xiàng)目月基本服務(wù)費(fèi)月免費(fèi)通話時(shí)間超出后每分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)40元150分0.6元?jiǎng)t每月話費(fèi)y（元）與每月通話時(shí)間x（分）之間有關(guān)系式y(tǒng)=40(0≤x≤150)14．變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示：X﹣3﹣2﹣10123y105212510請(qǐng)你判斷y是x的函數(shù)嗎？x是y的函數(shù)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．【題型2函數(shù)的概念】【例2】（2022春?莆田期末）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2022春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）下面每個(gè)選項(xiàng)中給出了某個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量x和y，其中y不是x的函數(shù)的選項(xiàng)是（）A．y：正方形的面積，x：這個(gè)正方形的周長(zhǎng) B．y：某班學(xué)生的身高，x：這個(gè)班學(xué)生的學(xué)號(hào) C．y：圓的面積，x：這個(gè)圓的直徑 D．y：一個(gè)正數(shù)的平方根，x：這個(gè)正數(shù)【變式2-2】（2022?長(zhǎng)安區(qū)期末）老師讓同學(xué)們舉一個(gè)y是x的函數(shù)的例子，同學(xué)們分別用表格、圖象、函數(shù)表達(dá)式列舉了如下4個(gè)x、y之間的關(guān)系：（其中k，b為常量）①氣溫x1201日期y1234②③y＝kx+b④y＝|x|其中y一定是x的函數(shù)的是．（填寫(xiě)所有正確的序號(hào)）【變式2-3】（2022春?漢陰縣期末）變量x，y有如下關(guān)系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象】把一個(gè)函數(shù)的自變量x的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像，用圖像表示的函數(shù)關(guān)系，更為直觀和形象．【題型3用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖像】【例3】（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)函數(shù)y=1（1）函數(shù)y=1x-1+x+12的自變量x的取值范圍是（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣3﹣2﹣1012y…-5-5-1-1-5x322345…y1345252m134…則表格中的m＝；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表格中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象，試寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)．【變式3-1】（2022春?廣饒縣期末）某造紙廠每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)……各造紙多少噸？（1）把下表填寫(xiě)完整，在①②③處填寫(xiě)相應(yīng)數(shù)值．造紙時(shí)間/時(shí)1234……造紙噸數(shù)/噸1.5①②③……（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們連起來(lái)．（3）根據(jù)圖象判斷，5小時(shí)造紙多少噸？【變式3-2】（2022春?梁平區(qū)期末）小奧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=x（1）函數(shù)y=x2+2x的自變量（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，則m的值為，n的值為；x…﹣5m﹣3﹣2﹣1-11212345…y…-29-5-13﹣2-5-17174522n522910…（3）描點(diǎn)、連線在下面的格點(diǎn)圖中，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)（其中x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)），并根據(jù)描出的點(diǎn)畫(huà)出該函數(shù)的圖象．【變式3-3】（2022?襄州區(qū)模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)：?jiǎn)栴}情境：有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y=1x+1的圖象與性質(zhì)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y問(wèn)題解決：下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y=1x+1的自變量x（2）表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…3423120﹣132324354…求m的值；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象．（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．【題型4自變量取值范圍的確定】【例4】（2022春?扶溝縣期末）函數(shù)y=1x+3中自變量A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3【變式4-1】（2022春?昌平區(qū)期末）函數(shù)y=2xx-1中，自變量A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0【變式4-2】（2022?渠縣一模）函數(shù)y=xx自變量的取值范圍是x＞0【變式4-3】（2022?杭州模擬）已知p（x，y）在函數(shù)y=-1x2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型5函數(shù)的解析式的確定】【例5】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）一根長(zhǎng)度為30cm的彈簧，一端固定．如果另一端掛上物體，在正常的彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度增加2cm，完成下列問(wèn)題：①當(dāng)掛物體重3kg時(shí)，彈簧總長(zhǎng)度為cm；②在正常的彈性限度內(nèi)，如果用x表示所掛物體質(zhì)量（單位kg），那么彈簧的總長(zhǎng)度是多少厘米？③在正常的彈性限度內(nèi)，若彈簧的總長(zhǎng)度為40cm，那么它掛的物體質(zhì)量是多少千克？【變式5-1】（2022春?文山州期末）某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如折線圖所示．根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量和因變量分別是什么？（2）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中水量為多少升？（3）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘18升，求排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系式．【變式5-2】（2022?莘縣校級(jí)月考）為了加強(qiáng)公民節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市自來(lái)水公司對(duì)每戶用水量進(jìn)行了分段計(jì)費(fèi)，每戶每月用水量在規(guī)定立方米及以下的部分和超出部分標(biāo)準(zhǔn)不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量與應(yīng)交水費(fèi)情況：月份1234用水量（m3）681012費(fèi)用（元）9121824小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超過(guò)規(guī)定用水量），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是．【變式5-3】（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，在矩形中截取兩個(gè)相同的圓作為圓柱的上下底面，剩余的矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱．設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為y和x，則因變量y與自變量x的函數(shù)關(guān)系式為y＝．【題型6求自變量的值或函數(shù)值】【例6】（2022春?南岸區(qū)期末）地表以下巖層的溫度y（℃）隨著所處深度x（km）的變化而變化，在某個(gè)地點(diǎn)y與x之間的關(guān)系可以近似地用關(guān)系式y(tǒng)＝35x+20來(lái)表示，也可用表格表示，其中表格的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則其中的m，n分別是（）x/℃124m910y/km55n160230335370A．m＝7，n＝70 B．m＝6，n＝70 C．m＝7，n＝90 D．m＝6，n＝90【變式6-1】（2022春?雙陽(yáng)區(qū)月考）已知函數(shù)y=2x-1x+2中，當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值為1，試求a的值為【變式6-2】（2022春?微山縣期末）已知函數(shù)y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)值y為【變式6-3】（2022?江漢區(qū)校級(jí)月考）設(shè)f（x）表示關(guān)于x的函數(shù)，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f（6）＝3，那么f（5）＝【題型7函數(shù)圖像的識(shí)別】【例7】（2022春?芝罘區(qū)期末）如圖，將一個(gè)圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無(wú)水魚(yú)缸內(nèi)，看作一個(gè)容器．然后對(duì)準(zhǔn)玻璃杯口勻速注水，在注水過(guò)程中，杯底始終緊貼魚(yú)缸底部，則下面可以近似地刻畫(huà)出容器最高水位h與注水時(shí)間t之間的變化情況的是（）A． B． C． D．【變式7-1】（2022?雅安）一輛公共汽車從車站開(kāi)出，加速行駛一段后開(kāi)始勻速行駛．過(guò)了一段時(shí)間，汽車到達(dá)下一個(gè)車站．乘客上、下車后汽車開(kāi)始加速，一段時(shí)間后又開(kāi)始勻速行駛．下面的哪一幅圖可以近似地刻畫(huà)出汽車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況（）A． B． C． D．【變式7-2】（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，物理課上，老師將掛在彈簧測(cè)力計(jì)下端的鐵塊完全浸沒(méi)在水中，然后緩慢勻速向上提起（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【變式7-3】（2022春?章丘區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為正方形中心，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B），則ABP的面積S隨著時(shí)間t變化的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【題型8從函數(shù)的圖像獲取信息】【例8】（2022春?呼和浩特期末）已知張強(qiáng)家、體育場(chǎng)、文具店在同一直線上．如圖的圖象反映的過(guò)程是：張強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買(mǎi)筆，然后散步走回家．圖中x表示時(shí)間，y表示張強(qiáng)離家的距離．則下列說(shuō)法正確的是（）A．張強(qiáng)從家到體育場(chǎng)的速度是503km/?B．體育場(chǎng)離文具店4千米 C．張強(qiáng)在文具店逗留了15分 D．張強(qiáng)從文具店回家的平均速度是370千米/【變式8-1】（2022?開(kāi)州區(qū)模擬）如圖是自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的圖象，它反映了某市的春季某天氣溫T如何隨時(shí)間t的變化而變化．下列從圖象中得到的信息錯(cuò)誤的是（）A．4點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最低 B．14點(diǎn)到24點(diǎn)之間氣溫持續(xù)下降 C．0點(diǎn)到14點(diǎn)之間氣溫持續(xù)上升 D．14點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最高是8℃【變式8-2】（2022?石家莊二模）如圖（1）是兩圓柱形聯(lián)通容器（聯(lián)通外體積忽略不計(jì)）．向甲容器勻速注水，甲容器的水面高度h（cm）隨時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，根據(jù)提供的圖象信息，若甲的底面半徑為1cm，則乙容器底面半徑為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【變式8-3】（2022?綦江區(qū)期末）小強(qiáng)和爺爺去爬山，爺爺先出發(fā)一段時(shí)間后小強(qiáng)再出發(fā)，途中小強(qiáng)追上了爺爺并最終先爬到山頂，兩人所爬的高度h（米）與小強(qiáng)出發(fā)后的時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．爺爺比小強(qiáng)先出發(fā)20分鐘 B．小強(qiáng)爬山的速度是爺爺?shù)?倍 C．l1表示的是爺爺爬山的情況，l2表示的是小強(qiáng)爬山的情況 D．山的高度是480米【題型9動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象】【例9】（2022春?洪江市期末）如圖1，矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，速度為2cm/s，沿C→D→A→B方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B處停止．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xs，△BCE的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積為（）A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2【變式9-1】（2022?武威模擬）如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止．設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，圖中陰影部分△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形PQMN的面積為（）A．16 B．