勾股定理-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題23勾股定理勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

【知識(shí)要點(diǎn)】用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

知識(shí)點(diǎn)一直角三角形與勾股定理①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，

直角三角形三邊的性質(zhì)：面積不會(huì)改變

1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等

式，推導(dǎo)出勾股定理

2、直角三角形斜邊的中線，等于斜邊的一半。

3、直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半。方法一：4sA+S正方腕FC”-S正方稱BQ,，

4x-ab+(b-a)2=c2,化簡可證.

勾股定理概念：直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩宜角邊分別為a,b,

斜邊為C,那么

變式：

1)a2=c2-b2

2)b2=c2-a2

適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間方法二:

所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而

在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角

三角形。四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大

正方形的面積.

勾股定理的證明:

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為3)nr-n2,2mn,m2+n1(m>n,m,〃為正整數(shù))

S=4x-ab+c2=2ab+c2

2

注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。

大正方形面積為S=(a+b)2=6f2+7lab+b2【考查題型】

所以。2+從=c?

方法三：S梯形=g(a+h).(a+〃)，考查題型一勾股定理理解三角形

s梯形=2SMO￡+SMBE=2,gab+gc2，化簡得證典例1.在。0中，直徑AB=15,弦DE_LAB于

點(diǎn)C.若OC：OB=3：5,則DE的長為()

a2+h2=c2

A.6B.9

C.12

D.15

【答案】C

【提示】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用垂徑定理和

勾股定理解答即可.

知識(shí)點(diǎn)二勾股數(shù)

【詳解】解：如圖所示：：直徑48=15,

勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)7.5,

正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即/+尸=C，2中，a,b,c為

VOC-.OB=3：5,：.CO=4.5,

正整數(shù)時(shí)，稱a,方，c為一組勾股數(shù)

'：DE±AB,：.DC=

常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25

yllXf-OC2=J7.52-45=6，???DE=2DC=

等

12.故選：C.

擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

1)n2-l,2n,n2+l("22,”為正整數(shù))；

2)2九+1,2九2+2九,2。'+27+1(〃為正整數(shù))

變式1-1.如圖，在RtAZCB中，D.22

ZC=90°,sinB=Q.5,若AC=6,則8c的長

【答案】A

為（）

【提示】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求

出BC邊的長度，四邊形ABCA，的面積為平行四

邊形ABB7V和直角三角形A'C'B，面積之和，分別

求出平行四邊形ABB，A，和直角三角形的面

積，即可得出答案.

A.8B.12

【詳解】解：在RtZXACB中，ZACB=90°,

c.673D.1273AB=5,AC=3,

由勾股定理可得：

【答案】C【提示】利用正弦的定義得出AB的

2222

長，再用勾股定理求出BC.BC=VAB-AC=y/5-3=4，

AC

【詳解】解：VsinB=——=0.5,，AB=2AC,RtZ\是由RtAACB平移得來，

AB

A'C'=AC=3,B'C'=BC=4,

VAC=6,.-.AB=12,.,.BC=X/A6-AC=6A/3.

S,.=--A'C'B'C'=-x3x4=6,

故選C.AAC0B22

變式1-2.如圖，口△/8C中，ZACB=90°,AB

又?.?BB，=3,A，C=3,

=5,AC=3,把用△RBC沿直線8c向右平移3個(gè)

單位長度得到，則四邊形Z8?！ǖ拿娣e是S四邊形ABBA，=BB'XA'C'=3X3=9,

（）

?t,S四邊形ABCK=S四邊形ABBA，+AACB,=9+6=15,

故選：A.

變式1-3.某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:c〃?）

如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是（）

C.20

邊長均為1,點(diǎn)/,B,C都在格點(diǎn)上，若BD是A

/8C的高，則8。的長為()

65乃2,

A.——cm'B.60^cW

2

A.3AB.上岳

1313

B.C.65乃cm2D.13O^cm2

C.—V13

13

【答案】C

D.—J13

13

【提示】首先根據(jù)三視圖判斷出該幾何體為圓錐，

【答案】D【提示】根據(jù)勾股定理計(jì)算4c的長，

圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,可用勾

利用面積和差關(guān)系可求口43(7的面積，由三角形

股定理求出圓錐母線的長度，口一圓錐側(cè)面積的計(jì)算

的面積法求高即可.

公式為S圓錐側(cè)=%?/??/,其中R為圓錐底部圓的半

22

徑，/為母線的長度，將其值代入公式，即可求出【詳解】解：由勾股定理得：JC=72+3=

答案.岳,

【詳解】解：由三視圖可判斷出該幾何體為圓錐，

SA.4BC=3X3-—x1x2x1x3x2x3=

圓錐的高為12cm,底部圓的半徑為5cm,.?.圓錐222

7_

22cm

母線長為：Z=A/5+12=13'2

17

：.-ACBD=-,

又：S圓錐側(cè)=4-RI,將R=5cm,1=13cm代入，22

VHBD=7，

81Hl錐例=%?R?/=65乃(cW)，

.7而

?■JJU----------------,

故選：C.13

考查題型二勾股定理與網(wǎng)格問題

故選：D.

典例2.如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的變式2-1.如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小

正方形的邊長都是1,△4BC的頂點(diǎn)都在這些小正故選：D.

方形的頂點(diǎn)上，那么sinNACB的值為（）.

變式2-2.如圖所示，AA8C的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格

的格點(diǎn)上，則tanA的值為（）

、3石Vn

R1R五

A.-D.---------

5522

、34C.2

八一D.一

55

D.2A/2

【答案】D

【答案】A

【提示】過點(diǎn)4作AOLBC于點(diǎn)O,在

【提示】如圖，取格點(diǎn)E,連接BE,構(gòu)造直角三

為△ACO中，利用勾股定理求得線段NC的長,

角形，利用三角函數(shù)解決問題即可;

再按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】如圖，取格點(diǎn)E,連接BE,

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)/作AOLBC于點(diǎn)。，

則NADC=90°,

BE=6，

心也2卷:2也，

工

?*-AC=JAD2+C￡>2=5,AE2版2

4

二sinZACB=—故答案選A.

AC5

考查題型三利用勾股定理解決折疊問題

典例3.如圖，把某矩形紙片A6CO沿EP,GHZATE=ZD'HP,

折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F,G在邊

.,.△ATP^-ADTH,

上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A

.?.AD：DZH2=8：2,

點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A'、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為以，若

?FPG90?,4隨P為8,△￡＞妒”的面積為2,AA'P：D'H=2：1,

則矩形A8CO的長為（）

：A'P=x,

2

11un

SADTII--DPD'H=—APD'H,即

22

11,

一,x,-x—2,

22

A-675+10B.6710+572

，x=2夜（負(fù)根舍棄），

B.C.3石+10D.3710+572

.\AB=CD=272>DH=DH=&,D'P=AT=CD=2

【答案】

D&，A，E=2DP=4近，

【提示】設(shè)AB=CD=x,由翻折可知：PA-AB=x,

PD，=CD=X,因?yàn)锳AEP的面積為4,△DTH的面

積為1,推出DH=wx,由SADTH=gDPDH=

22

ATD-H,可解得x=272，分別求出PE和AD=4及+2而+M+&=5&+，

PH,從而得出AD的長.

故選D.

【詳解】解：：四邊形ABC是矩形，

變式3-1.如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與

，AB=CD,AD=BC,

BC重合，得到折痕EF；把紙片展平后再次折疊，

設(shè)

AB=CD=x,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A處，得到折痕BM,BM

由翻折可知：

PA'=AB=x,PD'=CD=x,與FF相交于點(diǎn)N.若直線BA'交直線CD于點(diǎn)

△，的面積為△的面積為

???AEP8,DPH2,O,BC=5,EN=1,則OD的長為（）

又,：？FPG90?,ZA'PF=ZD'PG=90o,

二ZAPD'=90°,則ZA,PE+ZD,PH=90°,

...NA'NM=NA'MB,

.?.AN=2,

.?.A'E=3,AT=2

A.—\/3B

2-州過M點(diǎn)作MG_LEF于G,

C.—>/3D.；.NG=EN=1,

4

【答案】B.?.Ag,

【提示】根據(jù)中位線定理可得AM=2,根據(jù)折疊的由勾股定理得MG=也2_]2=后,

性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A，M=AN=2,過M

點(diǎn)作MGLEF于G,可求A，G,根據(jù)勾股定理可求.?.BE=DF=MG=6，

MG,進(jìn)一步得到BE,再根據(jù)平行線分線段成比例

/.OF：BE=2：3,

可求OF,從而得到OD.

解得0F=2?,

【詳解】

3

.".OD=V3-^^=—?

33

故選：B.

變式如圖，三角形紙片點(diǎn)力是邊

解：VEN=1,3-2.Z8C,8c

上一點(diǎn)，連接把△A8O沿著4。翻折，得到

二由中位線定理得AM=2,

△AED,DE與AC交于點(diǎn)G,連接8E交4）于點(diǎn)

由折疊的性質(zhì)可得A，M=2,F.若DG=GE,AF=3,BF=2,△40G的面

積為2,則點(diǎn)尸到8c的距離為（）

：AD〃EF,

NAMB=NA'NM,

VZAMB=ZArMB,

則工.8/)3=上尸0尸，

22

,,2石

..H------,

5

故選:B.

B,在考查題型四利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

-55

「475D.拽典例4.如圖，在AABC中，AD,BE分別是

53BC,AC邊上的中線，且ADJ_BE,垂足為點(diǎn)F,

設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立

【答案】B

的是()

【提示】首先求出△48。的面積.根據(jù)三角形的面

積公式求出。尸，設(shè)點(diǎn)尸到8。的距離為力，根據(jù)

；?BD?h=g?BF?DF,求出8。即可解決問題.

【詳解】解：??,0G=GE,

S4DG—S^AEG=2,

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2

??S&ADE=4,

C.a2+b2=3c2

由翻折可知，UADB^ADE,BEL4D,

D.a2+b2=2c2

:?SAABD=S〉A(chǔ)DE=4,/BFD=90°,

【答案】A

???—?QAF+DFABF=4,

2【詳解】設(shè)EF=x,DF=y,根據(jù)三角形重心的性

質(zhì)得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到

1

???—?(3+DF)*2=4,

2

4x2+4y2—c2,4x2+y2=—b2,x2+4y2=—a2,然后利

44

：.DF=\,用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關(guān)系.

???DB=y]BF2+DF2=Vl2+22=，【解答】解：設(shè)EF=x,DF=y,

設(shè)點(diǎn)尸到8。的距離為兒VAD,BE分別是BC,AC邊上的中線，

???點(diǎn)F為△ABC的重心,AF=yAC=^-b,BD=

1

~2d，

???AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD1BE,AZAFB=ZAFE=ZBFD=90°,【答案】20

在RtZ\AFB中，4x2+4y2=c2,①【提示】由垂美四邊形的定義可得ACLBD,再利

用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2,從而求解.

在Rtz^AEF中，4x2+y2=—b2,②

4

【詳解】1?四邊形ABCD是垂美四邊形，

在RtZSBFD中，x2+4y2=—a2,③AACIBD,

4

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

②+③得5x?+5y2=工(a2+b2),

45由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

(a2+b2),(4)AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

.,.AD2+BC2=AB2+CD2,

①-④得c2-5(a2+b2)=0,即a2+b占5c2.

5

VAD=2,BC=4,

故選：A.

AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的

距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.也考故答案為：20.

查了勾股定理.

變式4-2.如圖，在△ABC中，

變式對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”

4-1.ZACB=90°,AC^BC,點(diǎn)P在斜邊A8上，以

四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形

PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,

ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0.若

ZPCQ=90°,則PA2,PB\PC2三者之間的數(shù)量

AD=2,BC=4,則鉆2+。。2=

關(guān)系是

典例5.如圖，一個(gè)梯子AB長2.5米，頂端A靠

在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5

米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測得BD長為

0.5米，則梯子頂端A下落了()米.

【答案】PA2+PB2=2PC2

【提示】把AP2和PB?都用PC和CD表示出來，

結(jié)合RtZkPCD中，可找到PC和PD和CD的關(guān)

系，從而可找到PA?,PB2,PC2三者之間的數(shù)量關(guān)

系；

A.0.5B.1

【詳解】解：過點(diǎn)C作CDLAB,交AB于點(diǎn)D

C.1.5D.2

?.?△ACB為等腰直角三角形，CD±AB,

【答案】A

，CD=AD=DB,

【解析】提示：在直角三角形4BC中，根據(jù)勾股

(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-

定理，得：/C=2米，由于梯子的長度不變，在直

2CD?PD+PD2,

角三角形COE中，根據(jù)勾股定理，得CE=1.5米，

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-

所以4E=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米.

2CD?PD+PD2,

詳解：在RtZUBC中，AB=2.5米，8c=1.5

/.PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

米，

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

二PA2+PB2=2PC2,

故/C=y/AB2-BC2=A/ZK-IS=2米?

故答案為PA2+PB2=2PC2.

在RtAECD中，NB=OE=2.5米，CD=

(1.5+0.5)米，

故EC=y/DE2-CD2=A/2.52-22=1$米，

考查題型五利用勾股定理解決實(shí)際問題(選題類型不故AE=AC-CE=2-1.5=0.5米.

限于中考真題及模擬)

故選A.

1.求梯子滑落高度

變式5-1.如圖所示，一架梯子AB長2.5米，頂梯子長2.5米，頂端/靠在墻ZC上，這時(shí)梯

端A靠在墻AC上，此時(shí)梯子下端B與墻角C的子下端8與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在

距離為1.5米，當(dāng)梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，的位置上，測得8。長為0.9米，則梯子頂端力

測得BD長為0.9米.則梯子頂端A沿墻下移了下落了米.

______米.

【答案】1.3

【提示】要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個(gè)

【答案】L3【提示】分別在兩個(gè)直角三角形中，

直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長即

運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長即得.

可

【詳解】解：由題意得：AB=2.5米，BC=1.5

［詳解］在RUACB中,AC2=AB2-BC2=2.52-1.5

米

2=4,

，在RrA/ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4,

：.AC=2,

，AC=2米，

BD=0.9,

?；BD=0.9米，

.\CD=2.4.

，CD=2.4米.

在RtAECD中,EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49

ED=AB

A.EC=0.7

二在Rt\ECD中,EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

.\AE=AC-EC

,EC=0.7米，

=2-0.7

/.AE=AC-EC=2-0.7=1.3米.

=1.3

故答案為：1.3.

故答案為1.3

變式5-2.如圖，墻面AC與地面BC垂直，一個(gè)

2.求旗桿高度

典例6.從電線桿離地面8米處拉一根長為10m的【提示】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)繩子的長度為

纜繩，這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有xm,可得AC=AD=xm,AB=(x-2)in,BC=

()m.8m,在Rt/XABC中利用勾股定理可求出x.

A.2B.4C.6【詳解】設(shè)繩子長度為xm,則AC^AD=xm,

D.8AB=(x-2)m,BC-8m,

【答案】C【提示】首先根據(jù)題意畫出圖形，得到

在改口ABC中，AB2+BC2^AC2^即

一個(gè)直角三角形.根據(jù)勾股定理，即可解答.

(X-2)2+S1=X2,

【詳解】解：由題意得，在Rt△力8c中，/C=8,

48=10,解得：x=17,

所以8C=系不=6.繩子的長度為17根.

故答案為：17.

故選：C.

CB

變式6-1.如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿

底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端

拉到距離旗桿8m處，此時(shí)繩子末端距離地面3.求螞蟻爬行距離

2m,則繩子的長度為m.

典例7.如圖，圓柱的高為8cm,底面半徑為9

71

cm,一只螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱外壁爬到點(diǎn)B處吃

食，要爬行的最短路程是()

【答案】17

A.6cmB.8cmA.13米B.12米C.5

米D.而米

C.10cmD.12cm

【答案】c【答案】A【提示】根據(jù)題意，畫出圖形，構(gòu)造直

角三角形，用勾股定理求解即可.

【提示】這種求最短的一般都是空間想象，把圓柱

體展開成平面的矩形.這個(gè)矩形長為底面周長，寬為【詳解】如圖所示，過D點(diǎn)作DELAB,垂足為

圓柱體的高.兩點(diǎn)之間直線最短.所以展開后畫圖連E,

接AB,然后根據(jù)勾股定理，即可得解.

【詳解】

/VAB=13,CD=8,

又,；BE=CD,DE=BC,

底面圓周長為2萬12cm,底面半圓弧長為AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

71

6cm,

...在RSADE中，DE=BC=12,

展開圖如圖所示，連接AB,

AD2=AE2+DE2=52+122=169,

'/BC=8cm,AC=6cm,

.?,AD=13（負(fù)值舍去），

二JAC?+BC”=用+8?=10

故小鳥飛行的最短路程為13m,

故選C.

故選A.

變式7-1.如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂

4.求大樹折斷前的高度

上，它飛行的最短路程是（）

典例8.“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中，

即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者

高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將

竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4

1?m

尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面

=10尺）（）上，竹尖與竹根的距離為三尺.問折斷處高地面的

距離為（）

A.5.45尺B.4.55尺

C.5.8尺

D.4.2尺

A.3B.5【答案】B

C.4.2D.4【提示】設(shè)折斷后的竹子的高為x尺，根據(jù)勾股定

理列出方程求解即可.

【答案】C【提示】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折

斷處離地面的長度即可.【詳解】解：設(shè)折斷后的竹子高AC為x尺，則

AB長為（10-x）尺，根據(jù)勾股定理得：

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，

根據(jù)題意可得；AC2+BC2=AB2,

即:x2+32=（10-x）2,

解得：x=4.55,

故選：B.

x2+42=（10-x）2,

解得:x=4.2,

答：折斷處離地面的高度OA是4.2尺.變式8-2.如圖，一根豎直的木桿在離地面3.1小

處折斷，木桿頂端落在地面上，且與地面成38°

故選C.

角，則木桿折斷之前高度約為.（參考

變式《九章算術(shù)》是我國古代一部著名的數(shù)學(xué)

8-1.數(shù)據(jù)：

專著，其中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹

sin38°?0.62,cos38°?0.79,tan38°a0.78）

高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？其

意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子（1丈

水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，

它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆

葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度是X尺.根據(jù)

題意，可列方程為（）

【答案】8.1m

【提示】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直

角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵

樹折斷之前的高度.

【詳解】解：如圖：

A.X2+102=(X+1)2B.(X-1)2+52=X2

C.X2+52=(X+1)2D.(X-1)2+102=X2

【答案】B

【提示】找到題中的直角三角形，設(shè)