專題04圓的方程九個(gè)重難點(diǎn)歸類（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁(yè)專題04圓的方程九個(gè)重難點(diǎn)歸類一、圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑注：當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程沒有意義，不表示任何圖形．二、直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法判斷方法幾何法由圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的大小關(guān)系來判斷代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于（或）的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)來判斷相離相切相交三、圓與圓位置關(guān)系的兩種判斷方法（1）幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑長(zhǎng)的關(guān)系來判斷（如下圖，其中）．圖示d與的關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含（2）代數(shù)法：設(shè)圓①，圓②，聯(lián)立①②，如果該方程組沒有實(shí)數(shù)解，那么兩圓相離；如果該方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相切；如果該方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相交．四、兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓①，圓②，若兩圓相交，則有一條公共弦，由，得③．方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程．【重難點(diǎn)一求圓的方程】例1．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過求圓的圓心和半徑求得正確答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.設(shè)圓的圓心為，則，解得，圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A例2．（多選）若，，，四點(diǎn)共圓，則m的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】AD【分析】依題意設(shè)出圓的一般方程，代入坐標(biāo)可得圓方程為，由點(diǎn)在圓上即可解得或.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)圓方程為，將點(diǎn)，，代入可得，解得；即圓方程為，又點(diǎn)在圓上，所以，整理得，解得或.故選：AD確定圓的方程的方法確定圓的方程的方法（1）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）待定系數(shù)法：假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或者一般方程，由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組以得到圓的方程中三個(gè)參數(shù)即可【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．圓心在射線上，半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（

）.A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心在射線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到原點(diǎn)距離等于半徑求得圓心坐標(biāo)，即可求出圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在射線上，故設(shè)圓心為，又半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，即.故選：C練習(xí)2．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為直徑得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑，所以圓的方程為.故選：B練習(xí)3．中，．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求的外接圓的方程．【答案】(1)(2)．【分析】(1)求出邊的斜率，即可得到高線的斜率，用點(diǎn)斜式即可求得方程.(2)設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出方程.【詳解】（1）直線的斜率所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為，則解得所以的外接圓的方程為．練習(xí)4．分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)過點(diǎn)，，且圓心在直線上；(2)過、、三點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由，解出，可求得圓心和半徑，得到圓的方程；（2）設(shè)直線的一般式方程，代入、、三點(diǎn)，求出系數(shù)即可.【詳解】（1）圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓過點(diǎn)，，則有即，解得，可得圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，則有，解得，故所求圓的方程為.【重難點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】例3．已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合點(diǎn)在圓外條件，及表示圓的方程可得答案.【詳解】因在圓外，則，得.又表示圓，則，得.綜上：.故選：D例4．若無論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二元二次方程表示圓的條件及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即得.【詳解】由圓，可知圓，∴，又∵直線，即，恒過定點(diǎn)，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，∴，即，綜上，.故選：A.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法：（1）計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑做比較即可；（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號(hào)，并做出判斷．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．若圓：過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結(jié)合過原點(diǎn)列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過原點(diǎn)，∴，∴或（舍去）；.故選:C.練習(xí)2．已知點(diǎn)在圓的外部，則k的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件以及點(diǎn)在圓外，列出不等式求解，即得答案.【詳解】由題意圓滿足，點(diǎn)在圓的外部，得，即的取值范圍是故答案為：練習(xí)3．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由關(guān)于的二次方程表示圓可得或，又由點(diǎn)在圓內(nèi)可得，取交集即可.【詳解】解：由題可知，解得或，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.練習(xí)4．過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由題意可知，方程表示圓，點(diǎn)在圓外，列出不等式組，求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則點(diǎn)在圓外，所以，解得：.故答案為：.【重難點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系】例5．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切C．相交 D．不確定【答案】B【分析】利用點(diǎn)線距離公式求圓心與直線的距離，結(jié)合半徑長(zhǎng)即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由圓的圓心為，半徑為2，所以到直線的距離，又在圓上，則，故，所以直線與圓相切.故選：B例6．已知圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】若圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，代入點(diǎn)到直線的距離公式，可得答案.【詳解】由圓的方程，可得圓心為原點(diǎn)，半徑為2，若圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，又直線的一般方程為，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法：判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系判斷．（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C練習(xí)2．已知，則圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】B【分析】由題意，可判斷直線恒過定點(diǎn)，而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】，直線轉(zhuǎn)化為，所以直線恒過定點(diǎn)，由，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.故選：B.練習(xí)3．直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，畫出圖像，由圖像，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，其圖象如下：由圖像可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)直線與半圓切于半圓的右側(cè)時(shí)，只需圓心到直線的距離等于半徑，即，且，解得，因此，由圖像可得，為使直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為.故選：D.練習(xí)4．若直線與兩個(gè)圓都相離，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相離則圓心到直線的距離大于半徑可求解.【詳解】點(diǎn)到直線的距離，解得．點(diǎn)到直線的距離，解得．故的取值范圍是．故答案為：【重難點(diǎn)四圓的切線問題】例7．已知圓在點(diǎn)處的切線上一點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圓的切線方程及基本不等即可求解．【詳解】易知圓在點(diǎn)處的切線的方程為，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為.故選：C.例8．已知直線，圓，若過l上一點(diǎn)A向圓C引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，得到直線l上的點(diǎn)A到圓心C的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)最小，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的切線長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線l上的點(diǎn)A到圓心C的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)最小，因?yàn)閳A，可得圓心，半徑為，則圓心到直線的距離為，即，所以切線長(zhǎng)的最小值為.故選：D.求切線方程的常用方法求切線方程的常用方法（1）求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率，再由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程．若或不存在，則切線的斜率不存在或?yàn)?，從而可直接得切線方程為或.（2）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的方法設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出．注意：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)求得的值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知圓心為的圓經(jīng)過.兩點(diǎn)，且圓心在直線上(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作的切線，求切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)，可得，解得的值，可得圓心的坐標(biāo)和半徑CA，從而得到圓C的方程．（2）分斜率是否存在進(jìn)行討論，斜率存在時(shí)由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，圓心到切線的距離等于半徑，得到方程，注意斜率不存在的情況．【詳解】（1）∵圓心C在直線上，設(shè)圓心，∵圓C經(jīng)過點(diǎn)，

∴∴，解得,∴圓心C(?3,?2)，半徑，∴圓C的方程為（2）若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求的切線方程的斜率為，則切線方程為，即，又圓心到切線的距離又由，即，解得∴所求的切線方程為或若直線的斜率不存在時(shí)，即不滿足要求.∴綜上所述，所求的切線方程為或練習(xí)2．已知圓：．(1)過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求切線方程和切線長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)是，求的面積最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)切線方程為或，切線長(zhǎng)為1(2)的面積最小值為2，此時(shí)【分析】（1）由題意，利用分類討論的解題思想，結(jié)合切線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)勾股定理，可得答案；（2）由題意，利用數(shù)形結(jié)合的解題思想，求得點(diǎn)，可得答案.【詳解】（1）由題意，可作圖如下：

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即，圓心到切線的距離是，，解得，切線方程為，即．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，又與圓也相切，故所求切線方程為和．由圓的性質(zhì)可知，切線長(zhǎng)為．（2）由題意，可作圖如下：（3）（4）

當(dāng)時(shí)，的面積最小值．又因?yàn)?，所以直線的方程為．由，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．此時(shí)的面積最小值為．練習(xí)3．已知圓求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】或【分析】根據(jù)圓切線的斜率是否存在分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知該圓的的圓心為，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的直線不存在斜率時(shí)，方程為，因?yàn)?，所以直線與圓相切，符合題意；當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，方程為，所以有，即，綜上所述：圓相切的直線方程為或故答案為：或練習(xí)4．（忽視割線斜率不存在）已知圓，過點(diǎn)的切線方程是；過點(diǎn)的切線方程是.【答案】或【分析】求出圓的圓心和半徑，判斷點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，再借助直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程；判斷點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，分斜率存在與否求出切線方程作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)在圓上，直線斜率為，因此過點(diǎn)的圓的切線斜率為，方程為，即；顯然點(diǎn)在圓外，圓心到直線的距離為5，即直線是圓的切線，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，于是，解得，切線方程為，即，所以過點(diǎn)的切線方程是或.故答案為：；或【重難點(diǎn)五圓的弦長(zhǎng)問題】例9．已知圓，若過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，圓的圓心為，分析圓的圓心以及半徑，求出到直線的距離，由直線與圓的位置關(guān)系可得當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，而的最大值為，據(jù)此計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，則，

當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，在圓內(nèi)部，故的最大值為，則的最小值為.故選：B．例10．已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.(1)求圓的方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出圓心,再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;（2）根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng),再結(jié)合面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得，所以直線的方程為或由于半徑由于半徑r、弦長(zhǎng)距d、弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用求解【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知圓的圓心為原點(diǎn)，斜率為1且過點(diǎn)的直線與圓相切(1)求圓的方程；(2)過的直線交圓于、，若面積為，求直線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）過點(diǎn)且斜率為1的直線方程，再求出圓心到直線的距離即圓的半徑，從而得到圓的方程；（2）設(shè)到直線的距離為，由面積求出，再分斜率存在與斜率不存在兩種情況討論.【詳解】（1）過點(diǎn)且斜率為1的直線為，則圓心到直線的距離，所以半徑，則圓的方程為；（2）設(shè)到直線的距離為，則，解得，若直線斜率不存在，方程為，滿足題意；若直線斜率存在，設(shè)為，直線的方程為，因?yàn)?，所以，解得，直線的方程為，即；綜上，直線方程為或.

練習(xí)2．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為.【答案】【分析】求出直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，從而求出最短弦長(zhǎng).【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，?dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，最短弦長(zhǎng)為.

故答案為：練習(xí)3．已知圓，圓的弦被點(diǎn)平分，則弦所在的直線方程是．【答案】【分析】求出圓心和半徑，根據(jù)垂徑定理得到⊥，從而求出，得到弦所在直線方程.【詳解】圓變形為，圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A的弦被點(diǎn)平分，所以⊥，其中，故，所以弦所在的直線方程是，即.故答案為：練習(xí)4．已知點(diǎn)，是圓C上的兩點(diǎn)，寫出滿足“被直線截得的弦長(zhǎng)為”的一個(gè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（答案不唯一）【分析】計(jì)算，確定垂直平分線方程，計(jì)算平行直線的距離得到圓半徑，確定圓心得到圓方程.【詳解】，則的垂直平分線斜率為，且過中點(diǎn)，故垂直平分線方程為，即，和平行，平行直線的距離為，故圓半徑，取圓心為滿足條件，故.故答案為：.【重難點(diǎn)六圓與圓的位置關(guān)系】例11．圓與圓的位置關(guān)系不可能是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用圓的圓心在圓的內(nèi)部，進(jìn)行判斷即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以圓的圓心在圓的內(nèi)部，所以兩圓的位置關(guān)系不可能是外切．故選：C例12．已知圓：與圓：外離，則的取值范圍（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓的方程得到兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系為外離得到圓心距大于半徑之和，進(jìn)而列出不等式可得.【詳解】圓：，圓心坐標(biāo)為，半徑為圓：即，則，圓心坐標(biāo)為，半徑為，因圓與圓外離，所以圓心距大于半徑之和，即，得，故選：D判斷圓判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；②分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；③求兩圓的圓心距；④比較與的大?。虎莞鶕?jù)大小關(guān)系確定圓與圓的位置關(guān)系．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知圓，圓，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù).【答案】或0【分析】根據(jù)題意，分兩圓內(nèi)切與外切，即可得到結(jié)果.【詳解】∵兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，可得，當(dāng)兩圓外切時(shí)，可得，∴或0.故答案為：或0練習(xí)2．已知直線與圓始終有公共點(diǎn)，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】B【分析】求出圓與圓的圓心和半徑，由直線與圓始終有公共點(diǎn)，求出的范圍即可判斷得解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，直線與圓始終有公共點(diǎn)，得，解得，因此，而，顯然，所以圓與圓相離.故選：B練習(xí)3．（多選）已知，圓O：與圓：，則圓O與圓M的位置關(guān)系可能是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】CD【分析】分別求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出兩圓的圓心距，根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，圓O與圓M的半徑之和為，因?yàn)?，所以，即，所以圓O與圓M的位置關(guān)系是外切或外離，故選：CD．練習(xí)4．若是圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【分析】首先判斷圓與圓之間的位置關(guān)系，然后根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離求解；【詳解】圓的圓心，半徑,圓的圓心半徑，所以兩圓的位置外離，又在圓上，在圓上，則的最小值為，故答案為：5.【重難點(diǎn)七兩圓的公共弦和公切線問題】例13．“”是“圓與圓不存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用兩圓內(nèi)含的定義以及充分必要條件關(guān)系判斷即可.【詳解】當(dāng)兩圓無公切線時(shí)，即兩圓內(nèi)含，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以兩圓的圓心距，則，解得，所以是圓與圓不存在公切線的既不充分也不必要條件.故選：D.例14．（多選）已知與相交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．直線AB的方程為B．過A，B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為C．與的公切線的長(zhǎng)度為D．以線段AB為直徑的圓的方程為【答案】AD【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，直線方程，圓的方程對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由解得或，即，，對(duì)于A，直線AB的方程為，故A正確，對(duì)于B，設(shè)過A，B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程，得，解得，圓的方程為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為2，兩圓半徑相等，則與的公切線的長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，中點(diǎn)為，，則以線段AB為直徑的圓的方程為，故選：AD【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）已知圓和圓相交于A，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為D．到直線的距離與到直線的距離之比為【答案】ABC【分析】利用圓的性質(zhì)可判定A項(xiàng)，利用兩圓的公共弦方程公式計(jì)算可判定B項(xiàng)，利用弦長(zhǎng)公式可判定C項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可判定D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閳A和圓相交于A，兩點(diǎn)，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閳A化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．練習(xí)2．（多選）已知圓，圓（

）A．若，則圓與圓相交且交線長(zhǎng)為B．若，則圓與圓有兩條公切線且它們的交點(diǎn)為C．若圓與圓恰有4條公切線，則D．若圓恰好平分圓的周長(zhǎng)，則【答案】AD【分析】A、B將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定圓心和半徑，判斷圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，再求相交弦長(zhǎng)判斷；C由題意知兩圓相離，根據(jù)圓心距大于兩圓半徑之和及圓的方程有意義求參數(shù)范圍；D由題意相交弦所在直線必過，并代入相交弦方程求參數(shù)即可.【詳解】A：時(shí)圓，則，半徑，而圓中，半徑，所以，故，即兩圓相交，此時(shí)相交弦方程為，所以到的距離為，故相交弦長(zhǎng)為，對(duì)；B：時(shí)圓，則，半徑，同A分析知：，故兩圓相交，錯(cuò)；C：若圓與圓恰有4條公切線，則兩圓相離，則，而圓，即，所以，錯(cuò)；D：若圓恰好平分圓的周長(zhǎng)，則相交弦所在直線必過，兩圓方程相減得相交弦方程為，將點(diǎn)代入可得，對(duì).故選：AD練習(xí)3．兩相交圓與的公共弦所在的直線方程為，以公共弦為直徑的圓的方程為.【答案】【分析】將兩圓的方程相減即可得公共弦所在的直線方程；設(shè)所求圓的方程為：，得圓心，代入直線，求解即可.【詳解】解：將與的方程相減，得，即兩圓的公共弦所在直線方程為：；因?yàn)椴辉谥本€上，所以設(shè)所求圓的方程為：，即：，其圓心，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，故所求方程為，即.故答案為：；練習(xí)4．已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點(diǎn)的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何求法即可求得答案.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過圓與圓交點(diǎn)的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.【重難點(diǎn)八與圓有關(guān)的軌跡問題】例15．已知點(diǎn)，點(diǎn)在的圓周上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圍成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求得點(diǎn)軌跡方程，由方程確定軌跡后可得面積．【詳解】設(shè)，，由得是線段中點(diǎn)，∴，又在圓上，，即，∴點(diǎn)軌跡是半徑為1的圓，面積為，故選：A．例16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點(diǎn)，且圓心C在上．(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)D為所求圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求直線DE的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)出方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；（2）首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到點(diǎn)D坐標(biāo)，代入圓的方程整理化簡(jiǎn)得到的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心，又由已知得，從而有，解得：．于是圓C的圓心，半徑．所以，圓C的方程為,（2）設(shè)，則由M為線段ED的中點(diǎn)得：，解得，又點(diǎn)D在圓C：上，所以有，化簡(jiǎn)得：．故所求的軌跡方程為．求軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用有關(guān)公式(如兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)．（2）代入法：如果動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)，而又按某個(gè)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則可先用表示，再把代入它滿足的條件便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知定點(diǎn)，點(diǎn)B為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求AB的中點(diǎn)C的軌跡方程：(2)若過定點(diǎn)的直線與C的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，即可得到的軌跡方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，驗(yàn)證是否滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用圓心距，半徑，半弦長(zhǎng)的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，故的軌跡方程為．（2）由圓可得，圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是，所以，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋蕡A心到直線的距離，由圓心到直線的距離公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或．

練習(xí)2．已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，若（且），則點(diǎn)P的軌跡是圓．后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，直線：，直線：，若P為，的交點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】先通過直線和過的定點(diǎn)以及垂直關(guān)系求出點(diǎn)軌跡，然后根據(jù)阿波羅尼斯圓的特點(diǎn)找到使恒成立的點(diǎn)，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可.【詳解】直線：即，過定點(diǎn)直線：即，過定點(diǎn)又，故，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，即點(diǎn)的軌跡為，即，假設(shè)存在點(diǎn)，使恒成立，設(shè)則，整理得，與的軌跡對(duì)照得，解得，即存在點(diǎn)，使，即，所以，即的最小值為.故答案為：.練習(xí)3．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式先求得P軌跡方程，結(jié)合圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，可知，整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，即與存在交點(diǎn)，易知，圓心距為，因此，解得．故答案為：.練習(xí)4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若直線l過點(diǎn)M，且點(diǎn)N到直線l的距離為1，求直線l的方程，并判斷直線l與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程所表示的曲線C的位置關(guān)系．【答案】(1)(2)；相交【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，直接代入，整理可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.（2）設(shè)出直線l的方程，由點(diǎn)N到直線l的距離為1，可計(jì)算得直線l的方程，再根據(jù)（1）問所得曲線C為圓，由圓心到直線的距離可判斷兩者位置關(guān)系.【詳解】（1）設(shè)，由題意得.又，N（1，0），所以，整理得.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.（2）顯然圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意.設(shè)直線l的方程為，即因?yàn)辄c(diǎn)N到直線l的距離為1，所以，解得，所以直線l的方程為，即，所以圓心C到直線l的距離為，因?yàn)?，所以直線l與曲線C相交.【重難點(diǎn)九圓的最值問題】例17．已知是實(shí)數(shù)，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切時(shí)直線的斜率取到最值，即可求解.【詳解】實(shí)數(shù)，滿足方程，即，表示以為圓心，半徑等于的圓．過原點(diǎn)作圓的切線，由，求得，由于可看作時(shí)圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，故其最大值為，的最小值為，故選：A

例18．（多選）已知圓，直線，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別切圓C于點(diǎn)A，B．則下列說法正確的是（

）A．四邊形PACB的面積最小值為 B．M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為C．的最小值為 D．最短時(shí)，PC長(zhǎng)度最短【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)ACD：根據(jù)切線性質(zhì)可知，，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)ACD：由切線長(zhǎng)定理可得，且，則，所以四邊形的面積，因?yàn)?，可知取到最小值等價(jià)于取到最小值，等價(jià)于取