高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第八章 平面解析幾何 第一課時 橢圓及簡單幾何性質(zhì)

第5節(jié)橢圓考試要求1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).1.橢圓的定義知

識

梳

理在平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做______.這兩定點叫做橢圓的_____，兩焦點間的距離叫做橢圓的_____.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若______，則集合P為橢圓；(2)若______，則集合P為線段；(3)若______，則集合P為空集.橢圓焦點焦距a＞ca＝ca＜c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為____；短軸B1B2的長為____焦距|F1F2|＝____離心率e＝

∈__________a，b，c的關(guān)系c2＝_________2a2b2c(0，1)a2－b2診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√解析

(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于|F1F2|時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時，不存在這樣的圖形.2.(老教材選修2－1P49T1改編)若F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則P點的軌跡方程是___________________________________________.解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故選B.答案B答案A根據(jù)橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.解析設(shè)PF的中點為M，橢圓的右焦點為F′，連接OM，MF′，則F(－2，0)，F(xiàn)′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.又因為|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，第一課時橢圓及簡單幾何性質(zhì)考點一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是(

) A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線

D.圓解析(1)連接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因為點A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓.(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.又知b>0，∴b＝3，又知△PF1F2的周長為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②規(guī)律方法1.橢圓定義的應(yīng)用主要有：判斷平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.2.與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系.答案C考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)已知A(－1，0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為(

)(2)(一題多解)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A(3，0)，并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.規(guī)律方法根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法有：(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.(2)∵橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，角度1橢圓的長軸、短軸、焦距考點三橢圓的幾何性質(zhì)多維探究答案A規(guī)律方法1.橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c.2.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用.角度2橢圓的離心率規(guī)律方法求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.答案(1)D

(2)A角度1與橢圓定義有關(guān)的最值問題考點四與橢圓定義、性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問題多維探究解析易知B為橢圓的一個焦點，設(shè)橢圓的另一焦點為B′，則B′(0，1)，如圖，連接PB′，AB′，根據(jù)橢圓的定義得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)點P在AB′的延長線上時，等號成立，所以|PA|＋|PB|的最大值為5，故選D.答案D規(guī)律方法解決與橢圓定義有關(guān)的最值問題，注意應(yīng)用|PF1|＋|PF2|＝2a，同時對稱和轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵.角度2與橢圓有界性有關(guān)的最值(范圍)問題規(guī)律方法橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系，同時注意應(yīng)用函數(shù)思想處理最值問題.角度3與離心率有關(guān)的最值(范圍)問題答案D規(guī)律方法解決橢圓離心率的最值或范圍問題，注意應(yīng)用橢圓的性質(zhì)建立不等關(guān)系，同時注意橢圓的離心率e∈(0，1).∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.解析(1)由橢圓的方程可知F2(3，0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點共線且P在線段MF2上時取得等號，(2)①當(dāng)焦點在x