專題2.8 勾股定理的應(yīng)用（重點題專項講練）（浙教版）（原卷版）

專題2.8勾股定理的應(yīng)用【典例1】我市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，且AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)的速度為40km/h，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【思路點撥】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；（2）利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【解題過程】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AB于D．∵S△ABC=12AC?BC=12∴CD=AC?BCAB=300×400∵250＞240，∴海港C受到臺風(fēng)影響；（3）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口．在Rt△CED中，由勾股定理得ED=EC2-CD2=2502-2402=∴EF＝140km，∵臺風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷40＝3.5（h）．∴臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為3.5h．1．（2021秋?阜寧縣期中）中國古代《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折者高幾何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？2．（2021秋?鋼城區(qū)期末）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校C與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點A，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠BC之間的距離是多少？3．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．4．（2021秋?金臺區(qū)期末）《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方50m處，過了4s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為130m．這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．5．（2021秋?渭城區(qū)期末）如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機(jī)器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機(jī)器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？6．（2021秋?河口區(qū)期末）東營市某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗田”，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗田”實際操練，對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認(rèn)識．如圖，四邊形ABCD是規(guī)劃好的“試驗田”，經(jīng)過測量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四邊形ABCD的面積．7．（2021秋?高郵市期末）圖1是超市購物車，圖2為超市購物車側(cè)面示意圖，測得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）兩輪中心AB之間的距離為dm；（2）若OF的長度為50dm，支點F到底部DO的距離為5dm，試求∠FOD的度數(shù)．8．（2021秋?青島期末）如圖1，青島創(chuàng)建文明城市期間，路邊設(shè)立了一塊宣傳牌，圖2為從此場景中抽象出的數(shù)學(xué)模型，宣傳牌（AB）頂端有一根繩子（AC），自然垂下后，繩子底端離地面還有0.7m（即BC＝0.7），工作人員將繩子底端拉到離宣傳牌3m處（即點E到AB的距離為3m），繩子正好拉直，已知工作人員身高（DE）為1.7m，求宣傳牌（AB）的高度．9．（2021秋?玄武區(qū)校級期末）滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖，某款滑撐桿由滑道OC，撐桿AB、BC組成，滑道OC固定在窗臺上．懸窗關(guān)閉或打開過程中，撐桿AB、BC的長度始終保持不變．當(dāng)懸窗關(guān)閉時，如圖①，此時點A與點O重合，撐桿AB、BC恰與滑道OC完全重合；當(dāng)懸窗完全打開時，如圖②，此時撐桿AB與撐桿BC恰成直角，即∠B＝90°，測量得OA＝12cm，撐桿AB＝15cm，求滑道OC的長度．10．（2021秋?麥積區(qū)期末）一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時BC為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑動了多少米？11．（2021秋?任城區(qū)期中）如圖，高速公路上有A，B兩點相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．12．（2021秋?榆林期末）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點為點A，小王的賽車從點C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時小林的賽車從點B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．（1）出發(fā)3秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？（2）當(dāng)兩賽車距A點的距離之和為35米時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？13．（2021秋?高州市月考）已知一個三角形工件尺寸（單位：mm）如圖，計算高l的長．14．（2021秋?滕州市期中）如圖，地面上放著一個小凳子（AB與地面平行），點A到墻面（墻面與地面垂直）的距離為40cm．在圖①中，一木桿的一端與墻角O重合，另一端靠在點A處，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在圖②中另一木桿的一端與點B重合，另一端靠在墻上的點C處．若OC＝90cm，木桿BC比凳寬AB長60cm，求小凳子寬AB和木桿BC的長度．15．（2021秋?萬州區(qū)期末）為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路．如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路DH與公路AB在H處連接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的長度；（2）若修公路DH每千米的費用是2000萬元，請求出修建公路DH的總費用．16．（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，且繩長始終保持不變．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移動的距離．（結(jié)果保留根號）17．（2021秋?重慶期末）如圖是俱樂部新打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形ADCG和長方形DEFC均為木質(zhì)平臺的橫截面，點G在AB上，點C在GF上，點D在AE上，經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱AB段的正確長度；（2）為加強(qiáng)游戲安全性，俱樂部打算再焊接一段鋼索BF，經(jīng)測量DE＝3米，請你求出要焊接的鋼索BF的長．（結(jié)果不必化簡成最簡二次根式）18．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村莊為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H（A、B、H在同一直線上），并新建一條路CH，測得CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2（1）CH是不是從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；（2）求新路CH比原路CA短多少千米？19．（2021春?南崗區(qū)校級月考）如圖，已知射線MN表示一艘輪船東西方向的航行路線，在M的北偏東60°方向上有一燈塔A，燈塔A到M處的距離為100海里．（1）求燈塔A到航線MN的距離；（2）在航線MN上有一點B，且∠MAB＝15°，若輪船的航速為50海里/時，求輪船從M到B處所用的時間為多少小