等比數(shù)列經典例題

一、等比數(shù)列選擇題1．已知等比數(shù)列的前5項積為32，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前項和為且，則的值為（）A． B．2 C． D．43．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為（）A．12 B．18 C．24 D．324．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9＝（）A．4 B．5 C．8 D．155．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或66．已知正項等比數(shù)列滿足，，又為數(shù)列的前項和，則（）A．或 B．C． D．7．設{an}是等比數(shù)列，若a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，則a6+a7+a8=（）A．6 B．16 C．32 D．648．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為9．已知正項等比數(shù)列的公比不為1，為其前項積，若，則（）A． B． C． D．10．在數(shù)列中，，，則（）A．32 B．16 C．8 D．411．已知等比數(shù)列中，，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知等比數(shù)列的前項和的乘積記為，若，則的最大值為（）A． B． C． D．13．正項等比數(shù)列滿足，則（）A．1 B．2 C．4 D．814．已知q為等比數(shù)列的公比，且，，則（）A． B．4C． D．15．已知數(shù)列的首項，前項的和為，且滿足，則滿足的的最大值為（）.A．7 B．8 C．9 D．1016．等比數(shù)列中，，，則等于（）A．16 B．32 C．64 D．12817．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4 B．5 C．6 D．718．正項等比數(shù)列的公比是，且，則其前3項的和（）A．14 B．13 C．12 D．1119．已知為等比數(shù)列.下面結論中正確的是（）A． B．若，則C． D．若，則20．等比數(shù)列的前項和為，，，則公比為（）A． B．或1 C．1 D．2二、多選題21．題目文件丟失！22．在數(shù)列中，如果對任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說法正確的是（）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比23．已知等差數(shù)列，其前n項的和為，則下列結論正確的是（）A．數(shù)列|為等差數(shù)列 B．數(shù)列為等比數(shù)列C．若，則 D．若，則24．已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，若數(shù)列有連續(xù)4項在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，則公比q的值可以是（）A． B． C． D．25．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結論中正確的是（）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．若則C．若則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列的前n和則r=-126．關于遞增等比數(shù)列，下列說法不正確的是（）A． B． C． D．當時，27．關于遞增等比數(shù)列，下列說法不正確的是（）A．當 B． C． D．28．記單調遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，，則（）A． B．C． D．29．已知數(shù)列的前項和為且滿足，下列命題中正確的是（）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列30．已知等比數(shù)列中，滿足，，是的前項和，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．數(shù)列中，，，仍成等比數(shù)列31．已知數(shù)列{an}，，，在平面四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，且，當n≥2時，恒有，則（）A．數(shù)列{an}為等差數(shù)列 B．C．數(shù)列{an}為等比數(shù)列 D．32．設數(shù)列，若存在常數(shù)，對任意正數(shù)，總存在正整數(shù)，當，有，則數(shù)列為收斂數(shù)列.下列關于收斂數(shù)列正確的有（）A．等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列B．若等比數(shù)列是收斂數(shù)列，則公比C．若數(shù)列滿足，則是收斂數(shù)列D．設公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列一定是收斂數(shù)列33．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且，，是一個等比數(shù)列中的相鄰三項，記，則的前項和可以是（）A． B．C． D．34．已知等比數(shù)列{an}的公比，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，則以下結論正確的有（）A．a9?a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b1035．將n2個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，記這n2個數(shù)的和為S.下列結論正確的有（）A．m＝3 B．C． D．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、等比數(shù)列選擇題1．C【分析】由等比數(shù)列性質求得，把表示為的函數(shù)，由函數(shù)單調性得取值范圍．【詳解】因為等比數(shù)列的前5項積為32，所以，解得，則，，易知函數(shù)在上單調遞增，所以，故選：C．【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列的性質，解題關鍵是選定一個參數(shù)作為變量，把待求值的表示為變量的函數(shù)，然后由函數(shù)的性質求解．本題蠅利用等比數(shù)列性質求得，選為參數(shù)．2．D【分析】設等比數(shù)列的公比為，由題得，進而得，故.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，即，由于，所以，故，所以.故選：D.3．C【分析】將已知條件整理為，可得，進而可得，分子分母同時除以，利用二次函數(shù)的性質即可求出最值.【詳解】因為是等比數(shù)列，，所以，，即，所以，，令，則，所以，即時最大為1，此時最小為，所以的最小值為，故選：C【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應該注意的事項：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點；(2)轉化以函數(shù)為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關問題時，應準確構造相應的函數(shù)，注意數(shù)列中相關限制條件的轉化.4．C【分析】由等比中項，根據(jù)a3a11＝4a7求得a7，進而求得b7，再利用等差中項求解.【詳解】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故選：C5．C【分析】由等比數(shù)列的性質及等差數(shù)列的通項公式可得公差，再由等差數(shù)列的前n項和公式即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，即，則，，所以當或時，取得最大值.故選：C.6．B【分析】由等比中項的性質可求出，即可求出公比，代入等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】正項等比數(shù)列中，，，解得或（舍去）又，，解得，，故選：B7．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，所以.故選：C．8．B【分析】根據(jù)，，分，，討論確定q的范圍，然后再逐項判斷.【詳解】若，因為，所以，則與矛盾，若，因為，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因為，則，所以，故A錯誤；因為，，所以單調遞增，故C錯誤；因為時，，時，，所以的最大值為，故D錯誤；故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是通過窮舉法確定.9．A【分析】由得，由等比數(shù)列性質得，這樣可把和用表示出來后，可求得．【詳解】是正項等比數(shù)列，，，，所以由，得，所以，設公比為，，，，即，，所以．故選：A．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質，解題關鍵是利用等比數(shù)列性質化簡已知條件，然后用公比表示出相應的項后可得結論．10．C【分析】根據(jù)，得到數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列求解.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．因為，所以．故選：C11．B【分析】本題首先可設公比為，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)求出，最后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得出結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)等比數(shù)列前項和求參數(shù)，能否根據(jù)等比數(shù)列項與項之間的關系求出公比是解決本題的關鍵，考查計算能力，是中檔題.12．A【分析】根據(jù)得到，再由，求得即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由得：，故，即.又，所以，故，所以,所以的最大值為.故選：A.13．C【分析】利用等比數(shù)列的性質運算求解即可.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，即，又由數(shù)列為正項等比數(shù)列，故．故選：C．14．C【分析】利用等比通項公式直接代入計算，即可得答案；【詳解】，故選：C.15．C【分析】根據(jù)可求出的通項公式，然后利用求和公式求出，結合不等式可求的最大值.【詳解】相減得，，；則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，，則的最大值為9.故選：C16．A【分析】由，求得，再由求解.【詳解】，.∴，∴.故選：A17．C【分析】依次求出第次去掉的區(qū)間長度之和，這個和構成一個等比數(shù)列，再求其前項和，列出不等式解之可得．【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長度為；第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為；第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為；…第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意，，即，即，解得：，又為整數(shù)，所以的最小值為.故選：C.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查等比數(shù)列通項、前項和等知識及估算能力，屬于中檔題.18．B【分析】根據(jù)等比中項的性質求出，從而求出，最后根據(jù)公式求出；【詳解】解：因為正項等比數(shù)列滿足，由于，所以.所以，，因為，所以.因此.故選：B19．C【分析】取特殊值可排除A，根據(jù)等比數(shù)列性質與基本不等式即可得C正確，B，D錯誤.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，對于A選項，設，不滿足，故錯誤；對于B選項，若，則，則，所以或，故錯誤；對于C選項，由均值不等式可得，故正確；對于D選項，若，則，所以，其正負由的符號確定，故D不確定.故選：C.20．A【分析】由，列出關于首項與公比的方程組，進而可得答案.【詳解】因為，所以，所以，解得，故選：A.二、多選題21．無22．BCD【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，利用反證法判定B正確，代入等差比數(shù)列公式判定CD正確.【詳解】對于數(shù)列，考慮，無意義，所以A選項錯誤；若等差比數(shù)列的公差比為0，，則與題目矛盾，所以B選項說法正確；若，，數(shù)列是等差比數(shù)列，所以C選項正確；若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則，，所以D選項正確.故選：BCD【點睛】易錯點睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列相關的新定義問題.解決此類問題應該注意：（1）常數(shù)列作為特殊的等差數(shù)列公差為0；（2）非零常數(shù)列作為特殊等比數(shù)列公比為1.23．ABC【分析】設等差數(shù)列的首項為，公差為,，其前n項和為，結合等差數(shù)列的定義和前n項的和公式以及等比數(shù)列的定義對選項進行逐一判斷可得答案.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為,其前n項和為選項A.，則（常數(shù)）所以數(shù)列|為等差數(shù)列，故A正確.選項B.,則（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確.選項C.由，得，解得所以，故C正確.選項D.由，則，將以上兩式相減可得：，又所以，即，所以D不正確.故選：ABC【點睛】關鍵點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義的應用以及等差數(shù)列的前n項和公式的應用，解答本題的關鍵是利用通項公式得出，從中解出，從而判斷選項C，由前n項和公式得到，，然后得出，在代入中可判斷D，屬于中檔題.24．BD【分析】先分析得到數(shù)列有連續(xù)四項在集合，，18，36，中，再求等比數(shù)列的公比.【詳解】數(shù)列有連續(xù)四項在集合｛-50，-20，22，40，85｝中數(shù)列有連續(xù)四項在集合，，18，36，中又數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，在集合，，18，36，中，數(shù)列的連續(xù)四項只能是：，36，，81或81，，36，.或.故選：BD25．AC【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義判斷A;根據(jù)等比數(shù)列通項公式判斷B,C;根據(jù)等比數(shù)列求和公式求項判斷D.【詳解】設等比數(shù)列公比為則，即數(shù)列是等比數(shù)列；即A正確；因為等比數(shù)列中同號，而所以，即B錯誤；若則或，即數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；若數(shù)列的前n和則所以，即D錯誤故選：AC【點睛】等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若為非零常數(shù))，則是等比數(shù)列；(2)等比中項法：在數(shù)列中，且，則數(shù)列是等比數(shù)列；(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成均是不為0的常數(shù))，則是等比數(shù)列；(4)前項和公式法：若數(shù)列的前項和為非零常數(shù))，則是等比數(shù)列.26．ABC【分析】由題意，設數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列單調遞增，則，分兩種情況討論首項和公比，即可判斷選項.【詳解】由題意，設數(shù)列的公比為，因為，可得，當時，，此時，當時，，故不正確的是ABC.故選：ABC.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的單調性.屬于較易題.27．BCD【分析】利用等比數(shù)列單調性的定義，通過對首項，公比不同情況的討論即可求得答案．【詳解】，當時，從第二項起，數(shù)列的每一項都大于前一項，所以數(shù)列遞增，正確；，當，時，為擺動數(shù)列，故錯誤；，當，時，數(shù)列為遞減數(shù)列，故錯誤；，若，且取負數(shù)時，則為擺動數(shù)列，故錯誤，故選：BCD．【點睛】本題考查等比數(shù)列的單調性的判斷，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬基礎題．28．BC【分析】根據(jù)數(shù)列的增減性由所給等式求出，寫出數(shù)列的通項公式及前n項和公式，即可進行判斷.【詳解】數(shù)列{an}為單調遞增的等比數(shù)列，且，，，解得，，即，解得或，又數(shù)列{an}為單調遞增的等比數(shù)列，取，，，，.故選：BC【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的求解、等比數(shù)列的增減性、等比數(shù)列求和公式，屬于基礎題.29．ABD【分析】由代入已知式，可得的遞推式，變形后可證是等差數(shù)列，從而可求得，利用求出，并確定的表達式，判斷D．【詳解】因為，，所以，所以是等差數(shù)列，A正確；公差為3，又，所以，．B正確；時，由求得，但不適合此表達式，因此C錯；由得，∴是等比數(shù)列，D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明與通項公式，考查等比數(shù)列的判斷，解題關鍵由，化已知等式為的遞推關系，變形后根據(jù)定義證明等差數(shù)列．30．AC【分析】由已知得可得以，可判斷A；又，可判斷B；由，可判斷C；求得，，，可判斷D.【詳解】等比數(shù)列中，滿足，，所以，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；又，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故B不正確；因為，所以是等差數(shù)列，故C正確；數(shù)列中，，，，，，不成等比數(shù)列，故D不正確；故選：AC.【點睛】本題綜合考查等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，以及數(shù)列的單調性的判定，屬于中檔題.31．BD【分析】證明，所以選項B正確；設（），易得，顯然不是同一常數(shù)，所以選項A錯誤；數(shù)列{}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以選項D正確，易得，選項C不正確.【詳解】因為，所以，所以,所以，所以選項B正確；設（），則當n≥2時，由，所以，所以，，所以，易得，顯然不是同一常數(shù)，所以選項A錯誤；因為-=4，，所以數(shù)列{}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以選項D正確，易得，顯然選項C不正確.故選：BD【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，考查等比數(shù)列等差數(shù)列的判定，考查等比數(shù)列通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.32．BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和公式以及收斂數(shù)列的定義可判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及收斂的定義可判斷B；根據(jù)收斂的定義可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列前和公式以及收斂數(shù)列的定義可判斷D.【詳解】當時，取，為使得，所以只需要.對于A，令，則存在，使，故A錯；對于B，，若，則對任意正數(shù)，當時，，所以不存在正整數(shù)使得定義式成立，若，顯然符合；若為擺動數(shù)列，只有兩個值，不會收斂于一個值，所以舍去；若，取，，當時，，故B正確；對于C，，符合；對于D，，，當時，單調遞增并且可以取到比更大的正數(shù)，當時，，同理，所以D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是理解收斂數(shù)列的定義，借助等差數(shù)列前和公式以及等比數(shù)列的通項公式求解，屬于中檔題.33．BD【分析】設等差數(shù)列的公差為,根據(jù),,是一個等比數(shù)列中的相鄰三項求得或1,再分情況求解的前項和即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,又,且,,是一個等比數(shù)列中的相鄰三項,即,化簡得：,所以或1,故或,所以或,設的前項和為,①當時,；②當時,