數(shù)字信號(hào)上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)：時(shí)域采樣與頻域采樣一．實(shí)驗(yàn)?zāi)康臅r(shí)域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號(hào)處理中的重要理論。要求掌握模擬信號(hào)采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號(hào)不丟失信息；要求掌握頻率域采樣前后會(huì)引起的時(shí)域周期化的概念，以及頻域采樣定理及其對(duì)頻域采樣點(diǎn)數(shù)的選擇的指導(dǎo)作用。二．實(shí)驗(yàn)原理與方法時(shí)域采樣定理的要點(diǎn)是：對(duì)模擬信號(hào)以T進(jìn)行時(shí)域等間隔理想采樣，形成采樣信號(hào)的頻譜會(huì)以采樣角頻率（=2/T）為周期進(jìn)行周期延拓。公式為采樣頻率必須大于等于模擬信號(hào)最高頻率的兩倍以上，才能使采樣頻率信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生頻譜混疊。利用計(jì)算機(jī)上式并不方便，下面我們導(dǎo)出另外一個(gè)公式，以便在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。理想采樣信號(hào)和模擬信號(hào)）之間的關(guān)系為=）對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換，得到：=對(duì)上式的積分號(hào)內(nèi)只有當(dāng)t=nT時(shí)，才有非零值,因此上式中，在數(shù)值上＝，再將代入，得到：上式的右邊就是序列的傅立葉變換，即上式說明理想采樣信號(hào)的傅立葉變換可用相應(yīng)的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量ω用代替即可。頻域采樣定理的要點(diǎn)是：對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)在[0，2π]上等間隔采樣N點(diǎn)，得到則N點(diǎn)IDFT[]得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為：由上式可知，頻域采樣點(diǎn)數(shù)N必須大于等于時(shí)域離散信號(hào)的長度M(即N≥M)，才能使時(shí)域不產(chǎn)生混疊，則N點(diǎn)IDFT[]得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果N>M，比原序列尾部多N-M個(gè)零點(diǎn)；如果N<M，z則=IDFT[]發(fā)生了時(shí)域混疊失真，而且的長度N也比x(n)的長度M短，因此。與x(n)不相同。在數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用中，只要涉及時(shí)域或者頻域采樣，都必須服從這兩個(gè)采樣理論的要點(diǎn)。對(duì)比上面敘述的時(shí)域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個(gè)有用的結(jié)論，這兩個(gè)采樣理論具有對(duì)偶性：“時(shí)域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時(shí)域信號(hào)周期延拓”。因此放在一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。三．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟（1）時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證。給定模擬信號(hào)，式中A=444.128，=50π，=50πrad/s，它的幅頻特性曲線如圖現(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號(hào)的幅頻特性，以驗(yàn)證時(shí)域采樣理論。安照的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即=1kHz，300Hz，200Hz。觀測(cè)時(shí)間選。為使用DFT，首先用下面公式產(chǎn)生時(shí)域離散信號(hào)，對(duì)三種采樣頻率，采樣序列按順序用，，表示。因?yàn)椴蓸宇l率不同，得到的，，的長度不同，長度（點(diǎn)數(shù)）用公式計(jì)算。選FFT的變換點(diǎn)數(shù)為M=64，序列長度不夠64的尾部加零。X(k)=FFT[x(n)]，k=0,1,2,3,-----,M-1式中k代表的頻率為。要求：編寫實(shí)驗(yàn)程序，計(jì)算、和的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分析頻譜混疊失真。（2）頻域采樣理論的驗(yàn)證。給定信號(hào)如下：編寫程序分別對(duì)頻譜函數(shù)在區(qū)間上等間隔采樣32和16點(diǎn)，得到：再分別對(duì)進(jìn)行32點(diǎn)和16點(diǎn)IFFT，得到：分別畫出、的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、的波形，進(jìn)行對(duì)比和分析，驗(yàn)證總結(jié)頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序?qū)崿F(xiàn)。①直接調(diào)用MATLAB函數(shù)fft計(jì)算就得到在的32點(diǎn)頻率域采樣②抽取的偶數(shù)點(diǎn)即可得到在的16點(diǎn)頻率域采樣，即。eq\o\ac(○,3)當(dāng)然也可以按照頻域采樣理論，先將信號(hào)x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓，取其主值區(qū)（16點(diǎn)），再對(duì)其進(jìn)行16點(diǎn)DFT(FFT),得到的就是在的16點(diǎn)頻率域采樣。四．實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：1時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證程序運(yùn)行結(jié)果exp2a.m如圖所示。由圖可見，采樣序列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對(duì)模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。當(dāng)采樣頻率為1000Hz時(shí)頻譜混疊很小；當(dāng)采樣頻率為300Hz時(shí)，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很嚴(yán)重；當(dāng)采樣頻率為200Hz時(shí)，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很嚴(yán)重。2時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證程序exp2b.m運(yùn)行結(jié)果如圖所示。該圖驗(yàn)證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ejω)在[0，2π]上等間隔采樣N=16時(shí)，N點(diǎn)IDFT[]得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列：由于N<M，所以發(fā)生了時(shí)域混疊失真，因此。與x(n)不相同，如圖圖10.3.3(c)和(d)所示。當(dāng)N=32時(shí)，如圖圖10.3.3(c)和(d)所示，由于N>M，頻域采樣定理，所以不存在時(shí)域混疊失真，因此。與x(n)相同。五．思考題：如果序列x(n)的長度為M，希望得到其頻譜在上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)N<M時(shí)，如何用一次最少點(diǎn)數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？答：先對(duì)原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后取主值區(qū)序列，再計(jì)算N點(diǎn)DFT則得到N點(diǎn)頻域采樣：六．源程序清單：1時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證程序Tp=64/1000; %觀察時(shí)間Tp=64微秒%產(chǎn)生M長采樣序列x(n)%Fs=1000;T=1/Fs; Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M);%M點(diǎn)FFT[xnt)]yn='xa(nT)';subplot(3,2,1);tstem(xnt,yn); %調(diào)用自編繪圖函數(shù)tstem繪制序列圖boxon;title('(a)Fs=1000Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));title('(a)T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%=================================================%Fs=300Hz和Fs=200Hz的程序與上面Fs=1000Hz完全相同。2頻域采樣理論的驗(yàn)證程序清單M=27;N=32;n=0:M;%產(chǎn)生M長三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %1024點(diǎn)FFT[x(n)],用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32) ;%32點(diǎn)FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16點(diǎn)IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');boxontitle('(b)三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024; %subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');boxontitle('(c)16點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');boxontitle('(d)16點(diǎn)IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');boxontitle('(e)32點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');boxontitle('(f)32點(diǎn)IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])實(shí)驗(yàn)三：用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析一．實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)用FFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行譜分析的方法，了解可能出現(xiàn)的分析誤差及其原因，以便正確應(yīng)用FFT。二.實(shí)驗(yàn)原理用FFT對(duì)信號(hào)作頻譜分析是學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容。經(jīng)常需要進(jìn)行譜分析的信號(hào)是模擬信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析的重要問題是頻譜分辨率D和分析誤差。頻譜分辨率直接和FFT的變換區(qū)間N有關(guān)，因?yàn)镕FT能夠?qū)崿F(xiàn)的頻率分辨率是，因此要求。可以根據(jù)此式選擇FFT的變換區(qū)間N。誤差主要來自于用FFT作頻譜分析時(shí)，得到的是離散譜，而信號(hào)（周期信號(hào)除外）是連續(xù)譜，只有當(dāng)N較大時(shí)離散譜的包絡(luò)才能逼近于連續(xù)譜，因此N要適當(dāng)選擇大一些。周期信號(hào)的頻譜是離散譜，只有用整數(shù)倍周期的長度作FFT，得到的離散譜才能代表周期信號(hào)的頻譜。如果不知道信號(hào)周期，可以盡量選擇信號(hào)的觀察時(shí)間長一些。對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，首先要按照采樣定理將其變成時(shí)域離散信號(hào)。如果是模擬周期信號(hào)，也應(yīng)該選取整數(shù)倍周期的長度，經(jīng)過采樣后形成周期序列，按照周期序列的譜分析進(jìn)行。三．實(shí)驗(yàn)步驟及內(nèi)容（1）對(duì)以下序列進(jìn)行譜分析。選擇FFT的變換區(qū)間N為8和16兩種情況進(jìn)行頻譜分析。分別打印其幅頻特性曲線。并進(jìn)行對(duì)比、分析和討論。（2）對(duì)以下周期序列進(jìn)行譜分析。選擇FFT的變換區(qū)間N為8和16兩種情況分別對(duì)以上序列進(jìn)行頻譜分析。分別打印其幅頻特性曲線。并進(jìn)行對(duì)比、分析和討論。（3）對(duì)模擬周期信號(hào)進(jìn)行譜分析選擇采樣頻率，變換區(qū)間N=16,32,64三種情況進(jìn)行譜分析。分別打印其幅頻特性，并進(jìn)行分析和討論。四．實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：1、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）圖（1a）和（1b）說明的8點(diǎn)DFT和16點(diǎn)DFT分別是的頻譜函數(shù)的8點(diǎn)和16點(diǎn)采樣；因?yàn)?，所以，與的8點(diǎn)DFT的模相等，如圖（2a）和（3a）。但是，當(dāng)N=16時(shí)，與不滿足循環(huán)移位關(guān)系，所以圖（2b）和（3b）的模不同。2、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（2），對(duì)周期序列譜分析的周期為8，所以N=8和N=16均是其周期的整數(shù)倍，得到正確的單一頻率正弦波的頻譜，僅在0.25π處有1根單一譜線。如圖（4b）和（4b）所示。的周期為16，所以N=8不是其周期的整數(shù)倍，得到的頻譜不正確，如圖（5a）所示。N=16是其一個(gè)周期，得到正確的頻譜，僅在0.25π和0.125π處有2根單一譜線,如圖（5b）所示。3、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（3），對(duì)模擬周期信號(hào)譜分析有3個(gè)頻率成分，。所以的周期為0.5s。采樣頻率。變換區(qū)間N=16時(shí)，觀察時(shí)間Tp=16T=0.25s，不是的整數(shù)倍周期，所以所得頻譜不正確，如圖（6a）所示。變換區(qū)間N=32,64時(shí)，觀察時(shí)間Tp=0.5s，1s，是的整數(shù)周期，所以所得頻譜正確，如圖（6b）和（6c）所示。圖中3根譜線正好位于處。變換區(qū)間N=64時(shí)頻譜幅度是變換區(qū)間N=32時(shí)2倍，這種結(jié)果正好驗(yàn)證了用DFT對(duì)中期序列譜分析的理論。五．思考題（1）對(duì)于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT進(jìn)行譜分析？（2）如何選擇FFT的變換區(qū)間？（包括非周期信號(hào)和周期信號(hào)）（3）當(dāng)N=8時(shí)，和的幅頻特性會(huì)相同嗎？為什么？N=16呢？答：1.周期信號(hào)的周期預(yù)先不知道時(shí),可先截取N點(diǎn)進(jìn)行FFT,再將截取長度擴(kuò)大1倍截取,比較結(jié)果,如果二者的差別滿足分析誤差要求,則可以近似表示該信號(hào)的頻譜,如果不滿足誤差要求就繼續(xù)將截取長度加倍,重復(fù)比較,直到結(jié)果滿足要求2.周期：長度越長，變換出來的結(jié)果越精細(xì)，所以在運(yùn)算量可以滿足的條件下取的點(diǎn)數(shù)越多越好。如果本身信號(hào)的長度有限，比如只有32個(gè)點(diǎn)，你又想要更精細(xì)的結(jié)果，可以在原信號(hào)后面補(bǔ)2^n個(gè)0。非周期：只要其選擇的點(diǎn)數(shù)滿足頻率采樣定理，同時(shí)又能保證頻率的分辨率。3．在實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析中已有表述。六．源程序清單：實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1)x1n=[ones(1,4)];%產(chǎn)生序列向量x1(n)=R4(n)M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;x2n=[xa,xb];%產(chǎn)生長度為8的三角波序列x2(n)x3n=[xb,xa];X1k8=fft(x1n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX1k16=fft(x1n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFTX2k8=fft(x2n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX2k16=fft(x2n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFTX3k8=fft(x3n,8);%計(jì)算x1n的8點(diǎn)DFTX3k16=fft(x3n,16);%計(jì)算x1n的16點(diǎn)DFT%以下繪制幅頻特性曲線subplot(2,2,1);mstem(X1k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(1a)8點(diǎn)DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])subplot(2,2,3);mstem(X1k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(1b)16點(diǎn)DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])figure(2)subplot(2,2,1);mstem(X2k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(2a)8點(diǎn)DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])subplot(2,2,2);mstem(X2k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(2b)16點(diǎn)DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])subplot(2,2,3);mstem(X3k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(3a)8點(diǎn)DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])subplot(2,2,4);mstem(X3k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(3b)16點(diǎn)DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(2)周期序列譜分析N=8;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=8x4n=cos(pi*n/4);x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);X4k8=fft(x4n);%計(jì)算x4n的8點(diǎn)DFTX5k8=fft(x5n);%計(jì)算x5n的8點(diǎn)DFTN=16;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16x4n=cos(pi*n/4);x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);X4k16=fft(x4n);%計(jì)算x4n的16點(diǎn)DFTX5k16=fft(x5n);%計(jì)算x5n的16點(diǎn)DFTfigure(3)subplot(2,2,1);mstem(X4k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(4a)8點(diǎn)DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])subplot(2,2,3);mstem(X4k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(4b)16點(diǎn)DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])subplot(2,2,2);mstem(X5k8);%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(5a)8點(diǎn)DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])subplot(2,2,4);mstem(X5k16);%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(5b)16點(diǎn)DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(3)模擬周期信號(hào)譜分析figure(4)Fs=64;T=1/Fs;N=16;n=0:N-1;%FFT的變換區(qū)間N=16x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);%對(duì)x6(t)16點(diǎn)采樣X6k16=fft(x6nT);%計(jì)算x6nT的16點(diǎn)DFTX6k16=fftshift(X6k16);%將零頻率移到頻譜中心Tp=N*T;F=1/Tp;%頻率分辨率Fk=-N/2:N/2-1;fk=k*F;%產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率（以零頻率為中心）subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');boxon%繪制8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(6a)16點(diǎn)|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([-N*F/2-1,N*