5.4.1 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象3題型分類

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象3題型分類一、正弦函數(shù)的圖象1．正弦曲線正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線.2．正弦函數(shù)圖象的畫法(1)幾何法①利用單位圓畫出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．(2)“五點法”①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關(guān)鍵點(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；②將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．二、余弦函數(shù)的圖象(1)余弦曲線余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.(2)余弦函數(shù)圖象的畫法①要得到y(tǒng)＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度即可，這是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五點法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．（一）用“五點法”作三角函數(shù)的圖象用“五點法”畫函數(shù)y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡圖的步驟(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，這里的y是通過函數(shù)式計算得到的．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來，不要用線段進行連接．題型1：用“五點法”作三角函數(shù)的圖象11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用“五點法”作y＝2sinx的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系進行判斷即可．【詳解】與對應(yīng)五點的橫坐標相同，則五點法對應(yīng)五點的橫坐標，故選：A．12．（2023上·高一課時練習(xí)）用“五點法”作，的圖象.【答案】圖象見解析【分析】按列表、描點、連線的順序完成作圖.【詳解】（1）取值列表：0－1010－1（2）描點連線，如圖所示.

13．（2023·全國·高一課堂例題）（1）作出函數(shù)的簡圖；（2）作出函數(shù)的簡圖．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】根據(jù)列表描點連線作圖即可.【詳解】（1）列表：001000200描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：

（2）列表：0010101210描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：

14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用“五點法”作的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)五點作圖法結(jié)合余弦函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】由“五點法”作圖知：令，，，，，解得，即為五個關(guān)鍵點的橫坐標.故選：B.15．（2023·全國·高一課堂例題）用“五點法”畫出下列函數(shù)的簡圖：(1)，；(2)，．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）先列表，再描點，然后連線即可【詳解】（1）按五個關(guān)鍵點列表：0010012101描點，并將這些點依次連成一條光滑曲線，即得所求圖象，如圖，

（2）按五個關(guān)鍵點列表：010012002描點，并將這些點依次連成一條光滑曲線，即得所求圖象，如圖．

16．（2023·高一課時練習(xí)）用“五點法”畫出下列函數(shù)的簡圖：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）（2）（3）在坐標系中描出相應(yīng)的五點，在用平滑的曲線連起來.【詳解】（1）按五個關(guān)鍵點列表描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（2）按五個關(guān)鍵點列表描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（3）按五個關(guān)鍵點列表描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

17．（2023上·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)請用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，后畫圖）(2)設(shè)，當時，試討論函數(shù)零點情況.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)五點作圖法列表畫圖；（2）將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為與交點個數(shù)，然后結(jié)合圖象分析即可.【詳解】（1）列表如下：000202（2）令，則，由，則，結(jié)合的圖象研究與公共點個數(shù).（i），即，有4個公共點；（ii），即，有5個公共點；（iii），即，有4個公共點；（iv），有2個公共點；（v），無公共點.綜上，①或，有4個零點；②，有5個零點；③，有2個零點；④，無零點.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）【答案】答案見解析【分析】先寫出分段函數(shù)，列出表格，從而畫出函數(shù)圖象.【詳解】，按五個關(guān)鍵點列表：0010003010描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：18．（2023·高一課時練習(xí)）用五點法作下列函數(shù)的大致圖象．(1),;(2),．【答案】(1)圖象見解析(2)圖象見解析【分析】(1)根據(jù)五點作圖,先列表格,再坐標系中標記點,再用平滑的曲線連接即可;(2)根據(jù)五點作圖,先列表格,再坐標系中標記點,再用平滑的曲線連接即可.【詳解】（1）解:由題知,,列表如下:21232根據(jù)表格畫出圖象如下:（2）解:由題知,,列表如下:10101根據(jù)表格畫出圖象如下:19．（2023·高一課時練習(xí)）作出函數(shù)，的大致圖像．【答案】見解析【分析】先根據(jù)的范圍，求出的范圍，再根據(jù)找到端點，最大最小值和對稱中心，對應(yīng)的的值,列表作圖.【詳解】根據(jù)五點法作圖列表得：畫圖像得：110．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像.【答案】圖象見解析【分析】根據(jù)五點法作圖的方法畫出圖象即可.【詳解】當時，列表如下：0112001作圖如下：111．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．在用“五點法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：x完成上述表格，并在坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；

【答案】填表見解析；作圖見解析【分析】由五點作圖法的步驟：列表（此題找特殊點），描點，連線（用一條光滑的曲線連接）.【詳解】由題意列出以下表格：0x0020函數(shù)圖象如圖所示：

（二）用圖象變換法作函數(shù)圖象用圖象變換法作函數(shù)圖象對于某些函數(shù)的圖象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通過圖象變換，如平移變換、對稱變換等作圖．(1)把y＝sinx的圖象在x軸上方的保留，在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，就可得y＝|sinx|的圖象．(2)把y＝sinx的圖象在y軸右側(cè)的保留，去掉y軸左側(cè)的圖象，再把y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè)，就可得y＝sin|x|的圖象．題型2：用圖象變換法作函數(shù)圖象29．（2023下·高一課時練習(xí)）當時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案見解析【分析】（1）作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出；（2）作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出；（3）作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出．【詳解】（1）該圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，故將的圖象作關(guān)于軸對稱的圖象即可得到的圖象.（2）將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.（3）將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）作出函數(shù)的圖象【答案】見解析【分析】去絕對值后，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可畫出函數(shù)的圖象.【詳解】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖

31．（2023上·高一課前預(yù)習(xí)）作函數(shù)的圖象.【答案】圖象見解析.【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡可得函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)，可畫出函數(shù)圖象.【詳解】故的圖象實際就是的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方后得到的圖象，如圖32．（2023下·湖南長沙·高一階段練習(xí)）關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列命題：①與的圖象關(guān)于軸對稱；②與的圖象相同；③與的圖象關(guān)于軸對稱；④與的圖象關(guān)于軸對稱；其中正確命題的序號是【答案】②④【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換以及函數(shù)奇偶性的知識對四個命題逐一分析，即得．【詳解】對于①，為偶函數(shù)，它的圖象是由圖象保留的部分，然后關(guān)于軸對稱得到部分所得，所以與的圖象不關(guān)于軸對稱，故①錯誤；對于②，，，故它們圖象相同，故②正確；對于③，函數(shù)值都是非負數(shù)，函數(shù)值有正有負，所以它們圖象不關(guān)于軸對稱，故③錯誤；對于④，，故它們圖象關(guān)于軸對稱，同時也重合，故④正確.綜上所述，正確命題的序號是②④.故答案為：②④.（三）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用1、三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導(dǎo)公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導(dǎo)公式進行化簡．2、三角函數(shù)式的化簡注意:(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應(yīng)用.題型3：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用31．（2023上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，或，當時，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.32．（2023上·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象與的圖象在上的交點個數(shù)為.【答案】【分析】作出兩個函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)與在上的圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象在上有個交點.故答案為：33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】五點法作圖，根據(jù)圖象分析即可.【詳解】用五點法畫出函數(shù)的部分圖象如圖所示，由圖易知與y軸最近的最高點的坐標為.

故選：B34．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【分析】畫出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】

畫出的圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故答案為：35．（2023上·高一單元測試）在同一坐標系中，作函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像判斷出方程的解的個數(shù)為．【答案】3【分析】利用五點作圖法和描點法畫出兩函數(shù)的圖像，根據(jù)交點個數(shù)可確定方程解的個數(shù).【詳解】建立平面直角坐標系，先用五點，描點畫出函數(shù)的圖像.描出點，，并用光滑曲線連接得到的圖像，如下圖所示：

由圖像可知：與有個不同交點，方程的解有個.故答案為:3.36．（2023下·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程有個根.【答案】【分析】在同一直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖像，然后可得答案【詳解】與在同一直角坐標系中的圖像如下：所以方程有個根，故答案為：37．（2023下·高一課時練習(xí)）如果方程在上有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像判斷即可；【詳解】

結(jié)合三角函數(shù)圖像可知，當時，直線有兩個交點，故答案為：38．（2023下·四川廣安·高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】【分析】將問題化為與在上有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)在上有兩個不同的實數(shù)根，又，故在的圖象如下，只需與在給定區(qū)間內(nèi)有兩個交點即可，如圖，，則.故答案為：39．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是．【答案】【分析】先求出的范圍，由函數(shù)沒有零點可得到且，由此可得且，從而得出的范圍.【詳解】解：因為，且，所以，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得且，故，解得，因為，故或，當時，，當時，，故.故答案為：.310．（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.一、單選題1．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎匠蹋?若，則方程有（

）解A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個【答案】D【分析】在同一平面直角坐標系中分別畫出和的函數(shù)圖象，通過平移的函數(shù)圖象即可得解.【詳解】如圖所示：當時，方程在上有唯一解，當且時，方程在上有兩個解，綜上所述：方程在上有1個或2個解.故選：D.2．（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可確定在內(nèi)的正負；結(jié)合在內(nèi)的正負可確定不等式的解集.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，當時，；當時，；若，則或；當時，；當時，；的解集為.故選：C.3．（2023上·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】作出正、余弦函數(shù)圖象，利用圖象直接判斷兩者交點個數(shù).【詳解】分別作出，在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖象可知：，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為3.故選：A.4．（2023下·浙江紹興·高一紹興市稽山中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則方程的根的個數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想進行判斷即可.【詳解】當時，，當時，，當時，，根據(jù)函數(shù)的解析式特征，可知，由，所以函數(shù)在同一直角坐標系內(nèi)的圖象如下圖：方程的根的個數(shù)就是這兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，通過圖象可以判斷只有9個交點，故選：A5．（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（其中，，）圖象上的一個最高點是，由這個最高點到相鄰的最低點圖象與軸的交點為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的最大值可求得的值，利用題中信息求出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，再由結(jié)合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】因為，且函數(shù)最高點到相鄰的最低點圖象與軸的交點為，所以，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，由題意可得，可得，因為，則，所以，，解得，因此，.故選：C.二、多選題6．（2023上·高一課時練習(xí)）已知，，則的圖象（

）A．與的圖象形狀相同，位置不同B．與的圖象關(guān)于軸對稱C．向右平移個單位長度，得到的圖象D．向左平移個單位長度，得到的圖象【答案】ACD【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式變形，利用函數(shù)圖象平移規(guī)律分別判斷選擇支.【詳解】，，選項A，將圖象向左移個單位可以得到的圖象，故與的圖象形狀相同，位置不同，故A選項正確；選項B，由，且，故，所以與的圖象不關(guān)于軸對稱，故B選項錯誤；選項C，因為，所以把余弦曲線向右平移個單位長度，得到正弦曲線，故C選項正確；選項D，因為，把余弦曲線向左平移個單位長度，得到正弦曲線，故D選項正確.故選：ACD.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線的交點個數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】作出函數(shù)、的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：當或時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點；當或時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點.故選：ABC.三、填空題8．（2023上·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，在同一坐標系下畫出函數(shù)和函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷兩函數(shù)有兩個不同的交點時實數(shù)k的取值范圍.【詳解】由題意，得畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點．故答案為：9．（2023上·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像與直線的交點有個.【答案】2【分析】作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù).【詳解】作出函數(shù)的圖像與直線，如圖所示：所以交點個數(shù)為2.故答案為：210．（2023·全國·高一課堂例題）不等式的解集為．【答案】【分析】可先求出，的解集，在將代替解出，則不等式的解集可求.【詳解】畫出時，的圖象．令，，解得或又的周期為，所以的解集為．用代替解出．可得則的解集為.故答案為：.11．（2023上·上海靜安·高三?？计谥校┤艉瘮?shù)，則圖象上關(guān)于原點對稱的點共對【答案】【分析】由題意可知觀察的圖象與關(guān)于原點對稱的函數(shù)的圖象交點個數(shù)即可，由此作出相應(yīng)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意圖象上關(guān)于原點O對稱的點的個數(shù)，只需觀察的圖象與關(guān)于原點對稱的函數(shù)的圖象交點個數(shù)即可，作出函數(shù)和的圖象如圖：由上圖可知：兩個圖象交點個數(shù)為4個，即函數(shù)，則圖象上關(guān)于原點對稱的點共4對.故答案為：4．四、解答題12．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在同一平面直角坐標