北師大版九年級下第三章 圓3 垂徑定理 名師獲獎

第三章圓3.3垂徑定理等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？如果以這個等腰三角形的頂角頂點為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？類比引入③AM=BM,●OABCDM└①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.條件結(jié)論

如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M。

（1）該圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

（2）你能圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由。猜想探索連接OA,OB,則OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL).∴AM=BM.∠AOC＝∠BOC∴點A和點B關(guān)于CD對稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。(包括優(yōu)弧和劣?。缀握Z言垂徑定理條件結(jié)論（1）過圓心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧分析CD為直徑，CD⊥AB｝｛點C平弧ACB點D平分弧ADB1.判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBA注意：定理中的兩個條件缺一不可——直徑（半徑），垂直于弦××√想一想BOCDAOCDE2、請畫圖說明垂徑定理的條件和結(jié)論.垂徑定理的逆定理●OCD●AB如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M.（1）下圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

（2）圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.M③CD⊥AB,垂徑定理的逆定理●OCD

由①CD是直徑②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●AB平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M.垂徑定理的推論的題設(shè)和結(jié)論可用符號語言表示為：為什么要強調(diào)這條弦不是直徑？是因為若弦是直徑，則直徑之間即使互相平分，也不一定互相垂直。M平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.如果該定理少了“不是直徑”，是否也能成立？想一想OCDBAEODCF例：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中CD,點0是CD所在圓的圓心），其中CD=600m，E為CD上的一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑?！小小兄R應(yīng)用解這個方程，得R=545.EODCF解：連接OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m?！逴E⊥CD根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2.所以，這段彎路的半徑為545m.1、1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（即弧的中點到弦的距離）為7.2米，求橋拱所在圓的半徑。（結(jié)果精確到0.1米）。隨堂練習(xí)2、如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？OCDBAOCDBAOCDBAFE有三種情況：1、圓心在平行弦外；2、圓心在其中一條弦上；3、圓心在平行弦內(nèi)。隨堂練習(xí)若⊙O中弦AB∥CD。那么AC＝BD嗎？為什么？⌒⌒解：AC＝BD，理由是：作直徑MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD∴AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直徑平分弦所對的?。逜M－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON⌒⌒1、利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.2、解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過