湖北省部分市州2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

機(jī)密★啟用前湖北省部分市州2024年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單選題：每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1.已知為虛數(shù)單位，則（）A.B.C.-1D.1

2.定義全集，則（）A.B.C.D.3.設(shè)命題：數(shù)列是等比數(shù)列，命題：數(shù)列和均為等比數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數(shù)個數(shù)為（）A.25B.20C.15D.12

5.某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動供學(xué)生選擇，要求每個同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（）A.同時選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人B.同時選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人C.同時選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人D.同時選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人6.圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，底面圓半徑為3，側(cè)面展開圖面積為，底面圓周上有兩動點(diǎn)，則面積的最大值為（）A.4B.C.D.6

7.拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的值為（）A.-2B.-1C.D.8.已知函數(shù)，則下列關(guān)于說法正確的是（）A.的一個周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.的最小值為二?多選題：每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.9.新能源汽車相比較傳統(tǒng)汽車具有節(jié)能環(huán)保?乘坐舒適?操控性好?使用成本低等優(yōu)勢，近幾年在我國得到越來越多消費(fèi)者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：月份123456銷量（萬輛）11.712.413.813.214.615.3針對上表數(shù)據(jù)，下列說法正確的有（）A.銷量的極差為3.6B.銷量的分位數(shù)是13.2C.銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷量關(guān)于月份的回歸方程為，則10.已知圓與軸交于（原點(diǎn)），兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，，則（）A.的最大值為B.的最小值為1C.D.令，則存在兩個不同的點(diǎn)，使11.設(shè)，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，可能作（）A.0條B.1條C.2條D.3條12.如圖，某工藝品是一個多面體，點(diǎn)兩兩互相垂直，且位于平面的異側(cè)，則下列命題正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，線段的最小值為C.工藝品的體積為D.工藝品可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)三?填空題：每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.14.若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則__________.15.已知方程有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的任意一點(diǎn).過右焦點(diǎn)作軸的垂線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，若，且，則橢圓離心率的取值范圍是__________.四?解答題：共70分.解答題需要在答題卡上寫出必要的說明或推理過程.17.（本小題滿分10分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，（1）求的面積；（2）求線段的長.18.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn).（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求的值；否則，請說明理由.19.（本小題滿分12分）第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州舉行.這是中國為世界呈現(xiàn)的體育盛會，也是亞洲人民攜手寫就的嶄新篇章.現(xiàn)有某場乒乓球比賽采用5局3勝制，先贏3局的一方獲勝，比賽結(jié)束.若參加比賽的甲每局比賽戰(zhàn)勝對手乙的概率均為.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率；（2）設(shè)比賽進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果某場比賽賽前有3局2勝制和5局3勝制兩種方案供選手選擇，從概率角度考慮，乙如何選擇對自己有利？請直接寫出選擇方案.20.（本小題渄分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.（本小題滿分12分）已知.（1）證明：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知雙曲線與雙曲線有相同的浙近線，且雙曲線的上焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于2.（1）已知為上任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）已知動直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于.設(shè)點(diǎn).（i）求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）若對于一般情形，曲線方程為，動直線方程為，請直接寫出點(diǎn)的軌跡方程.湖北省部分市州2024年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一?單選題，每小題5分1.B2.A3.A4.B5.B6.D7.C8.D8.【解析】對于A，錯誤；對于B，連續(xù)，不可能在區(qū)間上單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)中心對稱；【對于A，B，C三個選項(xiàng)也可以直接推理論證，可以得出同樣的結(jié)論.】對于D，是偶函數(shù)，.不妨研究，此時,令，則，在時恒成立在時單調(diào)遞減，，D正確.應(yīng)選擇D.附圖象：二?多選題，每小題5分，全選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.9.ACD10.AC11.BC12.BC11.【解析】如圖，設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則函數(shù)圖象在點(diǎn)B處的切線方程為，即，整理得，，解得國當(dāng)時，，方程僅有一個實(shí)根，切線僅可以作1條；當(dāng)時，，方程有兩個不同實(shí)根，切線可以作2條.答案為.12.【解析】根據(jù)題意可以構(gòu)造長寬高分別為的長方體，如圖對于，異面直線與所成角的余弦值為錯誤：對于，當(dāng)為的中點(diǎn)時，垂直于長方體的上下底面，此時線段的最小值為正確：對于，工藝品的體積，C正確；對于D，由于的頂點(diǎn)都在長方體的頂點(diǎn)處，的外接球即為長方體的外接球，設(shè)的外接球半徑為，則，外接球的表面積為，不可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)，錯誤.答案為.三?填空題，每小題5分.14.715.寫或不扣分16.15【解析】令，則，而在上遞增結(jié)合函數(shù)和的圖象易知，或.16.【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，，結(jié)合圖形知，又，即計算得，，所以.四?解答題17.（10分）【解析】（1）而，.（2）解法（1）：在中，在等腰中，Rt中，.解法（2）：由得，18.（12分）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，則，建系如圖，則，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，則由，取由，取設(shè)二面角的大小為，所以二面角的正弦值為.②存在符合題意，且.理由如下：解法①：（幾何法）取中點(diǎn)，連接，則，而平面平面，平面；過作交于，連接.同理可知，平面；由平面平面，平面點(diǎn)即為所求的點(diǎn).四邊形為平行四邊形，，所以.為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)（即）解法②：（向量法）令，則若平面平面注：其他解法，可以酌情給分.19.（12分）【解析】（1）比賽進(jìn)行4局后甲獲勝，則甲在前3場需要勝2局，第4局勝，（2）由題意知，的取值可能為.，，的分布列為：345（3）乙應(yīng)該選擇3局2勝制.附理由如下：（供研究使用，考生無需在答題卡上計算）“3局2勝制”，乙可能2：0，2：1兩種方式獲勝，獲勝概率：“5局3勝制”，乙可能3：0，3：1，3：2三種方式獲勝，獲勝概率：因?yàn)?，所以乙?yīng)該選擇3局2勝制對自己更有利.20.（12分）【解析】（1）證明：當(dāng)時，，由于當(dāng)時，，，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，數(shù)列是常數(shù)列.【也可以由累乘法或迭代法求得】也可分類討論得：21.（12分）【解析】（1）證明：先證當(dāng)時，.令，則在時恒成立，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，.要證，只需證明，即證令，則.（或）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而在在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，.（2）令，則，令，則在上單調(diào)遞減，，而在上遞減，在上遞增的值域?yàn)椋╥）當(dāng)，即時，恒成立，所以在遞增，符合題意；（ii）當(dāng)3